книги / Турбулентное смешение газовых струй
..pdfИной причиной обусловлено заметное отличие от еди ницы параметра Ç/Ç0 в основном участке. Здесь прояв ляется неточность (систематическая ошибка) в определе нии средней величины массовой концентрации, которая используется при вычислении расхода данного вещества. Как уже говорилось, средняя весовая концентрация рас считывалась по формуле (1.13), по измеренным значениям средней по времени объемной концентрации. Формула (-1.43) получена из точного соотношения (1.12) в предполо
жении, что с'к = 0. Отбрасывапие этого члена в соотно
шении |
(1.12) приводит к |
завышению величины с при |
> ц2 |
и ее занижению |
при < р2>так как, вообще |
говоря, c'y' ]> 0. В соответствиисэтимданныенарис. 1.30, 1.32 и 1.35 показывают, что проведенное интегрирование дает завышенное значение расхода вещества для струи
фреона-12 (щ ]> р2) и заниженное —для гелия (Hi<c Уг)* То, что эта разница более ощутима при измерениях в ос
новном участке, объясняется тем, что в начальном участке струи баланс сводится не только по зоне смешения, но
ипо ядру струи, где пульсацииконцентрацииотсутствуют
ивеличина c'y' = 0.
2.Важной интегральной характеристикой смешения при распространении турбулентных струй является ко
личество вещества, вовлеченного ею в зону турбулентного перемешивания, или, так называемый, присоединенный расход струи
ДС° = (G —(?„)/(?„,
где
0
причем интегрирование ведется по параметрам осред-
ненного течения.
Увеличение массы, вовлеченной в струю, по мере расширения зоны смешения неразрывно связано с тече нием, возникающим вне струи и описываемым, как пра вило, в рамках теории'потенциальных (безвихревых) тече ний [10]. В случае неподвижной окружающей среды (т = 0) такое течение сопряжено с наличием градиентов давления в среде, охватывающей турбулентную струю;
щ
•
/ •
у *• •
/1 \
5 |
W 15 х° |
|
6} |
Рис. 1.36. Изменение величины присоединенной массы вдоль на чального участка струй различных газов: а) фреона-12, п = 0,27; fl нагретого воздуха, п = 1,3; в) гелия п = 8,2 при т = var (обо значения, как на рис. 1.15).
конечно, случайный характер и обусловлено выбором гра ниц струи и особенностями сопловых устройств. Законо мерности изменения расхода в струе, представленные на рис. 1.36 и 1.37, могут быть использованы для приближен ных расчетов при тп Ф 0 в том случае, когда начальные характеристики потоков (пограничные слои, интенсив ность турбулентных пульсаций) близки к тем, которые имелиместовописанныхопы
тах (см. § 2). Пример такого |
|
|
Таблица 1.7 |
|
расчета дан в [И]. Необхо |
п |
0,27 |
1,7 |
7,25 |
димо отметить, что условия |
||||
истечения полностью опреде |
С |
0,072 |
0,265 |
0,685 |
ляют величину присоединен |
||||
ного расхода в тех случаях, |
0 |
1,4 |
2,7 |
0,8 |
когда параметр т близок |
хо |
|||
к единице. Например, для невозмущенного потока при
отсутствии пограничных слоев величина присоединенного расхода с приближением параметра т к единице неогра ничен уменьшается. Это означает, что в зависимости от условий истечения при т ~ 1 можно получать различ ные значения присоединенного расхода. В связи с этим данные о влиянии параметра т на характеристики струи не могут быть обобщены по присоединенному расходу.
Влияние отношения плотностей на величину присоеди ненного расхода в затопленной струе (т = 0) было иссле довано вработе [12J. Там же приведен анализ этого влия
ния с использованием соображений подобия и размерно стей.
Для основного участка струи было получено, что ин тенсивность нарастания расхода, характеризуемая копстантой С, увеличивается с ростом отношения плотностей: С СО7Î0’5.
Зависимости, соответствующие этой закономерности, приведены на рис. 1.37 штриховыми линиями; они удов летворительно согласуются с измерениями при т = 0.
3 Г. Ы»Абрамович и др,
Глава II
Теоретический анализ смешения спутных потоков различной плотности
§1. Выбор модели турбулентного переноса
1.Анализ работ, посвященных теоретическому иссле дованию смешения струй различной плотности, свидетель ствует о разнообразии способов осреднения уравнений движения, методов их замыкания, приемов решения и т. д. Тем не менее в подавляющем большинстве работ ключевым моментом является выбор модели для напряжений тур булентного трения.
Вприближении пограничного слоя уравнения движе ния, описывающие смешение плоских или осесимметрич ных струй, содержат одну составляющую тензора напря
жений трения çTu'v'.
В конце прошлого века Буссинеск предложил по ана логии с ламинарными течениями для определения напря жения трения в турбулентном пограничном слое следую
щее соотношение: |
|
х = —рШ = ~рЕ ^. |
(2.1) |
Здесь х —напряжение трения, р —плотность, и —про дольная скорость, и и v' —составляющие пульсационной скорости (черта означает осреднение по времени). Величи на Е в этом отношении эквивалентна коэффициенту ки нематической вязкости v в случае ламинарных течений и называется коэффициентом турбулентной вязкости.
В отличие от своего ламинарного аналога, коэффици ент Е является функцией координат, зависит от конкрет ных условий течения и обычно во много раз превосходит v. Корреляционные члены, появляющиеся при осредне нии, в уравнениях движения, диффузии и энергии в общем виде можно представить так:
• / |
г» ду |
(2.2) |
|
- T " |
~ D<-W' |
||
|
где у' —величина пульсации некоторого скалярного па раметра, например, массовой концентрации, плотности, энтальпии и т. д. Коэффициент Dv является турбулент ным аналогом коэффициента диффузии. Для случая, когда у —массовая концентрация, соотношение (2.2) было использовано Шмидтом. Обычно в полуэмпирических тео риях принято считать, что все коэффициенты D{отли чаются от Е лишь постоянным множителем, поэтому проблема замыкания осредненных уравнений сводится к нахождению Е.
Коэффициент молекулярной вязкости находится из кинетической теории газов в виде v со 1тит, где 1т — длина свободного пробега, а ит —скорость теплового движения молекул. Продолжая аналогию между турбу лентной и молекулярной вязкостью, естественно пред положить, что коэффициент турбулентной вязкости про порционален характерной скорости и масштабу турбулент ных вихрей. Конкретный вид такой связи был предложен
в работах А. И. Колмогорова [13] |
и Л. Прандтля [14]j |
E = /cj/êL, |
(2.3) |
где 2е = и'2 -f- v'2 + w'2 —величина, пропорциональная кинетической энергии турбулентности, L —интеграль ный масштаб турбулентности, характеризующий некото рый средний размер турбулентных вихрей, к —эмпи рическая постоянная. Входящие в соотношение (2.3) величины е и L неизвестны, и поэтому само по себе это соотношение не позволяет замкнуть систему уравнений движения.
Более ранние из предложенных для турбулентной вяз кости Е соотношений имели более простой вид. В этих соотношениях значение Е не связывалось с характеристи ками турбулентности, а выражалось непосредственно че рез осредненные параметры потока. Наиболее известной из гипотез такого рода является теория Л. Прандтля, предложившего два широко используемых в настоящее время соотношения для турбулентной вязкости:
|
(2.4) |
Е —хЬ (Ищах Minin)• |
(2.5) |
Эти соотношения принято называть соответственно «старой» и «новой» формулами Л. Прандтля. В первом соотношении I означает так называемый «путь смеше ния». По своему смыслу величина I пропорциональна интегральному масштабу турбулентности. Обычно пред полагается (см., например, [1] и [15]), что I не зависит от поперечной координаты у; изменение I вдоль продольной координаты х представляется двумя различными спосо бами:
I = |
Сух, |
(2.6) |
I = |
с2Ъ, |
(2.7) |
где Ь = Ь (х) —характерная толщина слоя |
смешения |
|
или струи. Следует отмстить, что соотношение (2.6) имеет смысл только в приложении к слою смешения, так как в этом случае b (я) —х, в общем случае более универ сальна формула (2.7). Постоянные к, cxii с2определяются из сопоставления теории с опытными данными, и поэтому указанную теорию принято называть «полуэмпиюической» теорией турбулентности.
Соотношения (2.4) и (2.5) аналогичны выражению (2.3), если предполояшть, что пульсации скорости про порциональны характерной разности (или градиенту) скоростей, а масштаб турбулентности пропорционален характерной толщине профиля скорости.
2. Сложность самого процесса турбулентного смеше ния, которыйзачастую зависит от мпогих факторов, прямо не учитываемых в теории, внешняя противоречивость и неточность экспериментальных данных привели к тому, что в последнее десятилетие появился ряд новых соотно шений для турбулентной вязкости.
Рассмотрим кратко некоторые из этих соотношений, получивших значительное распространение. Прежде всего
к их числу следует отнести теорию Рейхардта и особенно метод, эквивалентной—задачи, деарии теплопппвптптплтет.
который был разработан на основе этой теории Л. А. Вулисом и его сотрудниками [16]. Исходной посылкой этой теории является предположение о возможности представ ления турбулентного трения в виде
Такое представлепие рv!v' позволяет путем формаль ных преобразований свести уравнения движения к более простому виду, совпадающему с уравнением теплопровод ности. Это уравнение липейно относительно ри2и в ряде случаев имеет аналитическое решение. Единственным аргументом, в пользу этой теории, является ее согласова ние с некоторыми экспериментальными данными. Это не удивительно, так как функция А (я) в (2.8) подбирается специально для того, чтобы обеспечить такое совпадение. Экспериментальные данные по смешению струй с различ ной плотностью (см. гл. I и III) показывают, одпако, что автомодельности полей риг по параметру п = p2/pi в опы тах не наблюдается. Отсюда следует, что функция А (х) не универсальна и неизвестным образом зависит от опре деляющих параметров. Кроме того, указанная теория обладает принципиальным недостатком, отмеченным в ра боте [9], так как опа противоречит принципу относитель ности Ньютона. В самом деле при переходе к системе
координат, |
движущейся с |
постоянной |
скоростью, |
х' = х + u^t, |
в уравнении |
движения в |
соответствии |
с соотношением (2.8) появится дополнительная сила, что противоречит указанному принципу механики.
В работах А. Ферри и его сотрудников [17J на основе обобщения экспериментальных данных по смешению сверхзвуковых турбулентных струй было получено выра
жение для турбулентной вязкости: |
(2.9) |
Е = х&тЬ, |
отличающееся от соотношения Прандтля (2.5). Здесь ит —скорость на оси струи, a b —ее толщина. В работе [18] те же авторы предлагают соотношение
Х2 (рака - ртит) b
(2.10)
Еще более сложное выражение предложено ими в рабо те [19];
(2.11)
В соотношениях (2.9) —(2.11) делается попытка учесть особенности смешения сжимаемых турбулентных потоков путем изменения формы связи Е с параметрами потока и введением в эту связь явной зависимости от разницы плотностей в поперечном сечении струи. Прежде всего следует отметить, что всем этим соотношениям присущ уже упоминавшийся принципиальный недостаток, свя занный с нарушением принципа относительности Нью тона. Крометого, эти соотношения, полученные на основе обобщения ограниченного числа экспериментальных дан ных, не универсальны и не достаточно хорошо согласуют ся с другими опытными данными [20].
В противоположность теории Л. Прандтля, согласно которой турбулентная вязкость Е отлична от нуля только в потоке с градиентом скорости (см. (2.4) и (2.5)), из соот ношений (2.8), (2.9) и (2.11), полученных в работах Л. А. Вулиса, А. Ферри и др., следует, что турбулентная вязкость отлична от нуля и при отсутствии градиентов скорости.
Строго говоря, возникновение турбулентности и, сле довательно, турбулентной вязкости Е всегда обусловлено градиентамискорости. Обнаружение в какой-либо области потока турбулентности при отсутствии градиентов скорости можно объяснить только переносом ее в эту точку диффузией или конвекцией из других участков те чения.
Примеры таких течений, когда вследствие диффузии или конвекции пульсаций скорости турбулентная вяз
кость становится больше, чем это |
следует из |
теории |
Л. Прандтля, анализируются в гл. |
III. Здесь |
же для |
пояснения укажем на достаточно общий пример такого течения, когда смешиваются потоки с повышенным на чальным уровнем турбулентности. Начальные турбулент ные пульсации могут возникать где-то выше по потоку от области смешения, например при прохождении потока через решетку. Вследствие конвективного переноса этих пульсаций повысится уровень пульсаций скорости и в зоне смешения. Турбулентность, привнесенная в зону смешения извне, в соответствии с формулой (2.3) создает турбулентную вязкость, пропорциональную некоторой характерной пульсационной скорости и' и масштабу турбулентности. Если при этом интенсивность турбулент