книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

Функции ¥ и ЗС являются решениями уравнений (III.51), величины £* определяются из выражений (Ш.90),

величины alk и ji4ft — из (11.50), оу — из(Ш.86) с учетом соотношений (III.44), (III.88) и (VIII. 16). Решение пред­ ставим в форме (V.25). Из выражений (V.37), (V.39), (V.40) и (V.25) следует, что при х2 = 0 и х2 = а выпол­ няются условия (VII. 14), а при х3 — 0 и х3 = b — усло­ вия (V III.15). Таким образом, можно считать, что при выборе решений в виде (V.25) при условии (VIII. 16) на тор­ цах пластины выполняются в интегральном смысле условия шарнирного опирания. Подставляя решение (V.25) в гра­ ничные условия (V III.17), после обычной процедуры полу­ чаем характеристические определители для изгибной формы потери устойчивости и для потери устойчивости с образова­ нием шейки. Элементы характеристического определителя для изгибной формы потери устойчивости и для потери ус­ тойчивости с образованием шейки имеют соответственно вид.

«п = («11 — «и) т - - Yi sh у,Л; а 12 (у2, У =

=fluV2+OiS(m -J-) —

— (« IT ) ИЧз + °ззХ — $ (2р12— Х3р13+ й12)]| х

Xshy.Ji; а 18==а12(у3, У ;

(VIII.18)

181

— (л -£-) fow + °ззЯ — й (2ри — XVi3 + «аз)]} X

X ch yji; а 18= ап (у3, у ;

(VIII. 19)

Аналогичным образом можно получить характеристи­ ческие определители при другом представлении решений.

В случае неогуковского тела выражения (VIII. 18) и (VIII. 19) значительно упрощаются, так как имеют место соотношения (VI.53) — (VI.55), которые необходимо под­ ставить в (V III.18) и (V III.19).

§ 4. Прямоугольная пластина при двухосной равномерной нагрузке

ох1 и олг2. В этом случае имеют место соотношения (VII.16). Считая поверхности х3 = ±Л незагруженными, из выраже­ ний (V.40) и (VI 1.16) получаем граничные условия при х3 = = ±Л, сформулированные для функций Y и X:

182

образом, при выбранном решении на торцах пластины вы­ полняются в интегральном смысле условия шарнирного опирания. Подставляя решение в виде (V.24) при условии (VII.16) в граничные условия (VIII.20), в результате обыч­ ных преобразований получаем характеристические урав­ нения для изгибной формы потери устойчивости и для по­ тери устойчивости с образованием шейки. Для изгибной формы потери устойчивости и для потери устойчивости с образованием шейки элементы характеристического опре­ делителя можно представить соответственно в форме

— 2A3a13 + 2pu + аИ— XVM)J y tT 3 ch yh£Tl;

«33 = «32 (£з)-

183

Аналогичным образом можно найти характеристиче­ ские определители и при другом представлении решений.

Для потери устойчивости с образованием шейки в выра­ жении (VII 1.23) необходимо поменять местами ch и sh. Уравнение (VI 11.23) и подобное ему для потери устойчи­ вости с образованием шейки дают следующие уравнения:

Y tr3C T V ch yh£Г‘ = 0; y ^ l W sh уЛ£Г‘ = 0. (VI 11.24)

Кроме того, для изгибной формы потери устойчивости и для потери устойчивости с образованием шейки получаем соответственно уравнения

(Л3С1 + 0 1р13 — й (Л К + Лом — 2 Л К + 2ри + Оц—

+ Лам ^— 2 Л К + 2pls + а12 — Л Ю ) S sh yh&'ch yhfr' = 0.

(VIII.26)

Как и в§ 4 гл. V II,можно показать, что корни уравне­ ний (VI 11.24) не имеют физического смысла применительно к прямоугольной пластине. Таким образом, только урав­ нения (VII 1.25) и (VI 11.26) соответствуют изгибной форме

потери устойчивости и потере устойчивости с образованием шейки.

184

§ 5. Круговая пластина при осесимметричной нагрузке

Исследуем задачи для круговой пластины (—h < х3 ■<

<; +Л; 0 < V + л| -< R), загруженной осесимметричной нагрузкой в плоскости х&х* В sfoM случае имеют место соотношения (VI 1.16). Считая граничные поверхнйсти не­ загруженными, из выражений (V.36) и (VI 1.16) получаем граничные условия при х3 = ±Л, сформулированные для! функций V и 5С:

1eft

гдгдхз

выражений (III.44), (II 1.88) и (VII. 16). Для осесимметрич­ ной формы потери устойчивости решение при указанных обозначениях выберем в виде (VI 1.29). В этом случае гра­ ничные условия (VI 11.27) при х3 = ± к принимают следую­ щий вид:

Выбрав решение в форме (VII.29), из выражений (V.32) и (V.33) выводим, что при г — R выполняются в интеграль­ ном смысле условия (VII.31). Следовательно, при г = R выполняются в интегральном смысле условия жесткого

185

защемления. Подставляя решение в форме (VI 1.29) в гра­ ничные условия (VI 11.28), получаем характеристические уравнения, имеющие для изгибной формы потери устойчи­ вости вид (VIII.25), если в последнем заменить у на V.JR. Для потери устойчивости с образованием шейки характе­ ристическое уравнение имеет вид (VI 11.26), если в послед­ нем заменить у на v.klR.

Характеристические уравнения (VII 1.25) и (VIII.26) зна­ чительно упрощаются для неогуковского тела. В этом слу­ чае из выражений (III.88) и

(VI. 13) находим

(VI.54). В дальнейшем для круглой и прямоугольной пла­ стин введем соответственно обозначения » = ^ / | и ш =

ческие уравнения для пластин из материала с потенциалом типа Трелоара. Для изгибной формы потери устойчивости и для потери устойчивости с образованием шейки характе­ ристическое уравнение можно представить соответственно в форме

(Я,®+ I)2 sMir3<o chen — 4Xf sh о ch Xf3® = 0; (VIII.31)

(Я,®-f l)2 ch Я.Г3® sh со — 4Я.? ch со sh XT3<*>= 0, (VIII.32) __i_

где \ — удлинение вдоль ox^, \ = X 2.

18$

Если рассмотреть уравнения (VIII.31) и (VIII.32) для сколь угодно толстой пластины, т. е. устремив ы -> оо, получим одно уравнение

ностной неустойчивости полупространства при равномер­ ном сжатии.

На рис. 10 показана зависимость Хкр от со, причем кри­ вая 1 соответствует изгибной форме потери устойчивости (VIII.32), а кривая 2 — потере устойчивости с образова­ нием шейки (VIII.33) [2, 96].

§ 6. Сплошной цилиндр при осевой нагрузке (стержневая форма потери устойчивости)

Исследуем устойчивость стержня кругового поперечного

(VI.45). Приняв цилиндрическую поверхность незагружен­ ной, получим граничные условия при г = R в виде (VI.50), сформулированные для функций Т иХ, которые являются

решениями уравнений (III.51). Величины £? определяются

ххох,. Представляя это решение в граничные условия (VI.50), после ряда преобразований находим элементы ха­ рактеристического определителя в следующем виде:

187

зом, при выбранном решении на торцах цилиндра в инте­

188

ванием осесимметричной формы потери устойчивости. При­ нимая цилиндрические поверхности незагруженными, по­ лучаем при г = R ± Л граничные условия в виде (VI.50), которые для осесимметричной задачи можно представить о форме

(—£г + 4- -аг) + W - «•■и»)Д+

+ ( * - 'л . + с З ) ^ г ] - ! Г х = о;

(VIII.36)

Величины Z,t, а1к, р,* и о*/ определяются так же, как и в предыдущем параграфе. Решение выберем в виде (VII.38). Подставляя решение (VII.38) в граничные условия (VIII.36), после ряда преобразований выводим формулы

Для получения элементов второй и четвертой строк не­ обходимо в элементах соответственно первой и третьей строк изменить знак перед е на противоположный. Для других представлений решений результаты можно получить в ана­ логичной форме. Для неогуковского тела выражения (VI11.37) существенно упрощаются. В этом случае нужно в формулы (VIII.37) подставить соотношения (VI.53) —

189

(VI.55). После ряда преобразований находим выражения] для элементов характеристического определителя неогу-ч ковского тела:

Для получения элементов второй и четвертой строк не­ обходимо в элементах соответственно первой и третьей строк заменить знак перед в на противоположный. Для случая потери устойчивости сколь угодно толстого цилиндра полу­

при осесимметричной форме потери устойчивости (см. § 9 гл. VI) и устойчивость при осесимметричной форме по­

1 9 0