книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

к фиксируемой форме связи между напряжениями и дефор­ мациями. Для иллюстрации рассмотрим соотношение

Хотя соотношения (1.134) напоминают соотношения за­ кона Гука в линейной теории упругости и переходят в них при переходе к теории малых деформаций (линейный ва­ риант), однако они не могут быть соотношениями между напряжениями и деформациями в теории упругости ко­ нечных деформаций не только для гиперупругих, но и для общего упругого изотропного тела. Дело в том, что в ли­ нейных тензорных изотропных соотношениях (1.134) слева стоят компоненты несимметричного тензора истинных на­ пряжений 0,7 [36, 391, справа— симметричного тензора деформаций Грина (1.8). Таким образом, результаты, по­ лученные для аппарата теории упругости конечных дефор­ маций на базе соотношений (1.134), лишены смысла.

Простейшие обобщения закона Гука для теории упругос­ ти конечных деформаций можно получить, если выбрать упругий потенциал в виде (1.96). В случае линейной теории упругости потенциал (1.96) согласно упрощениям§8 гл. I переходит в упругий потенциал, соответствующий закону Гука для изотропного тела. Для теории упругости конеч­ ных деформаций из выражений (1.30), (1.70) и (1.96) находим

обобщенных напряжений, а не несимметричного тензора истинных напряжений.

Существует еще одно обобщение закона Гука для тео­ рии упругости конечных деформаций. Это так называемый потенциал гармонического типа [651. В работе [351 мате­ риал с потенциалом гармонического типа назван полули­ нейным. В этом случае упругий потенциал выбирают в виде

где Я, р — параметры Ляме.

41

Если перейти к главным осям тензора деформаций Грииа, то инварианты

согласно выражениям (1.12) и (1.20) представляются через

(1.138) согласно (1.119), если пренебречь нелинейными чле­ нами в последнем выражении, получаем

тензора деформаций линейной теории упругости, отнесен­ ные к главным осям. Следовательно, упругий потенциал (1.136) для линейной теории упругости совпадает с упругим потенциалом, соответствующим закону Гука для изотроп­ ного тела.

Хотя, насколько известно автору, и не существует экспе­ риментальных исследований, подтверждающих существо­ вание. материала, свойства которого при конечных дефор­ мациях описываются потенциалом (1.136), все же много­ численные публикации выполнены в рамках потенциала (1.136) . В связи с этим вычислим потенциал (1.136) через алгебраические инварианты тензора деформаций Грина, так как при дальнейшем изложении будем считать, что упругий потенциал для изотропного тела зависит от алге­ браических инвариантов тензора деформаций Грийа. В хо­ де вычислений проиллюстрируем то положение, что соотно­ шения настоящей главы позволяют выразить произвольные инварианты тензора деформаций через алгебраические ин­ варианты тензора деформаций Грина. Согласно выраже­ ниям (1.35) и (1.138) получаем

42

Инварианты е, et и ф выражаются через алгебраические инварианты тензора деформаций Грина по формулам (1.34). С учетом изложенного, выразим инварианты Sj и s2 через алгебраические инварианты тензора деформаций Грина:

43

>»•*

+[V 1+4 А*+-fv2 V*A*- A'x

, r 5 9 Л -9 /1 А + 2/1? Xcosa arccos V 2

V ( 3 A , - A f r

(1.142)

Таким образом, согласно соотношениям (1.136), (1.141) и (1.142) выражаем потенциал гармонического типа через алгебраические инварианты тензора деформаций Грина. Рассмотрим случай плоской деформации в плоскости х^ох^. При этом Яд = 1 и инварианты st и Sj принимают следующий вид:

для плоской деформации потенциал гармонического типа, выраженный через алгебраические инварианты

<D= ± - { [ Y l + A1 + V 2 Ai - A 2i - l ] +

+ [ Y \ + A 1- V 2 A %- A * l - l \ } ' +

44

Хотя формулы (1.136), (1.141), (1.142) и (1.147) имеют громоздкий вид, однако при вычислениях коэффициентов линеаризированных уравнений состояния для однородных начальных состояний они значительно упрощаются.

Глава II

ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ КОНЕЧНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ

В настоящей главе сформулируем основные линеари­ зированные задачи теории упругости при произвольных (конечных) начальных деформациях. Рассмотрим три со­ стояния тела. Первое — естественное недеформированное состояние, когда в теле отсутствуют напряжения и деформа­ ции, второе — начальное деформированное состояние (все величины, относящиеся к нему, будут отмечены индексом нуль), третье — возмущенное деформированное состояние, все величины которого равны сумме соответствующих ве­ личин начального состояния и малых величин, называе­ мых возмущениями. Величины возмущенного состояния отметим штрихом, возмущения не будем отмечать никаким индексом. Рассмотрим постановку задач только для обоб­

щенных напряжений а*ц (1.50) и компонент тензора дефор­ маций Грина (1.8), поскольку к ней согласно результатам гл. I сводятся все постановки задач. В отдельных случаях будем использовать компоненты несимметричного тензора напряжений Кирхгофа. Таким образом, можно записать

Предполагая, что все величины с индексом нуль зна­ чительно больше возмущений, линеаризируем соотноше­ ния и уравнения гл. I. Во всем последующем изложении под линеаризированными уравнениями и соотношениями

45

будем понимать уравнения и соотношения для возмущений. Заметим, что если задана величина у в виде у = / (лг), то для возмущений получаем формулу

(П-2)

Формулой (11.2) будем пользоваться при вычислении возмущений. Заметим, что все величины с индексом нуль вычисляются по формулам гл. I, если везде поставить ин­ декс нуль.

§ 1. Геометрические соотношения

Линеаризируем формулу для определения компонент тензора деформаций Грина (1.8):

2tfj = llij -f- Ujj + U°njUnJ + Un,itlnj = (finl + Hn./) Un,i +

Учитывая выражения (II.2) и (11.3), из (1.12) — (1.15) получаем формулы для нахождения возмущений всех гео­ метрических объектов. Из выражений (1.30), (II.2) и (Н.З) выводим формулы для определения возмущений ал­ гебраических инвариантов

**3 — «Эб/двд/(On/ "р UfiJ)

Учитывая результаты § 3 гл. I и формулы (II.4), можно, следуя (И. 2), вычислить возмущения инвариантов любой системы инвариантов. В качестве примера запишем форму­ лы для /х и / 2 (I. 33):

Л — 2 (6«/ + U n j) Un,i\

/а = 4 [(1 + Е°и) &U— е</] (6„/ + ’

Рассмотрим линеаризированное условие несжимаемости (I. 73). С учетом формул (1.74) и (П.З), после вычислений получаем

Величины (JO можно найти по формулам (1.75) или (1.75а), если во всех величинах, входящих в эти формулы, поставить индекс нуль.

46

Рассмотрим упрощения, которые возникают в выраже­ ниях (II.3) — (II.6), когда начальное состояние является однородным и определяется соотношениями

Заметим, что для несжимаемого материала из условия (1.73) и выражений (11.7) получаем зависимость между удлинениями Я/

(Яп — I)2ЯлыП,„.

При выводе выражений (11.10) было учтено, что в случае (II.7)

Из выражений (II.6), (II.7) и (11.13) при однородной начальной деформации определяем линеаризированное условие несжимаемости

Перейдем к линеаризации уравнений движения, граничных и начальных условий.

47

Учитывая (IIЛ), получаем линеаризированные уравне­ ния движения, выраженные через компоненты тензора обобщенных напряжений и соответствующие (1.64)

Линеаризировав выражение (1.53), получим связь меж­ ду возмущениями компонент тензора напряжений Кирх­ гофа и тензора обобщенных напряжений

Рассмотрим упрощения, которые возникают для одно­ родных начальных состояний в виде (*11.7). В этом случае выражения (II. 15) — (11.20) остаются без изменений. В вы» ражениях же (11.21) — (11.24) следует принять

Перейдем к вычислению линеаризированных уравнений состояния для сжимаемых и несжимаемых тел.

§ 3. Уравнения состояния

Для линеаризированных задач теории упругости урав­ нения состояния составляются на основе результатов, приведенных в § 7 и 8 гл. I и § 1 гл. II. Будем требовать, что­ бы для гиперупругого тела упругий потенциал представ­ лял собой дважды непрерывно дифференцируемую функ­ цию, а для общего упругого изотропного тела — чтобы вхо­ дящие в уравнения состояния функции (см. § 8 гл. 1) были непрерывно дифференцируемыми функциями»

49

В общем случае линеаризированные уравнения состоя* ния для сжимаемого тела можно представить в виде

Величины А*„ар и ю;тар. как нетрудно убедиться в ре­ зультате непосредственной проверки, представляют собой компоненты тензоров четвертого ранга. Согласно (11.24) между ними существует связь

Для несжимаемого упругого тела в общем случае ли­ неаризированные уравнения состоянияпредставим в виде

где р/„ар и x;map — компоненты тензоров четвертого ран­ га. Согласно выражениям (11.24) между ними существует связь

Соотношения (11.26), (11.27), (11.29) и (11.30) записаны в общем случае. Ниже вычислим величины р«„<хр, x/map, A./nap и toimap для частных случаев упругих тел.

§ 4. Определение коэффициентов уравнений состояния для сжимаемого тела

Для гиперупругого тела, учитывая формулы (1.70), (11.2), (11.26) и (11.27), получаем

Выражения (11.32) и (11.33) записаны для анизотропно­ го тела. Рассмотрим упрощения, которые возникают для

50