книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

ричным тензором напряжений Кирхгофа и тензором обоб­ щенных напряжений

Существует и другое представление обобщенных напря­ жений [46, 47]. Для его вывода сначала установим связь

между истинными напряжениями атп и атп. Из выражений (1.47) и (1.52) получаем

ют между собой компоненты всех приведенных выше тен-

S*

зоров. В "эти соотношения также входят величины Кт, ~ .

Коши, тензор обобщенных напряжений и тензор [опт) ис­ тинных напряжений, другие тензоры — несимметричны.

Для симметричных тензоров различные системы инва­ риантов имеют вид результатов предыдущего параграфа, если в последних поставить индекс, указывающий принад­ лежность конкретному тензору.

Инварианты, соответствующие (1.34), для тензора

{сГотп} истинных напряжений обозначим через &а>, e f], ф<0),

21

§ 5. Уравнения движения. Граничные и начальные условия

В случае использования эйлеровых координат %т и тензора напряжений Коши {2,г 11} уравнения движения упругого тела при конечных деформациях ничем не отли­ чаются от уравнений движения классической теории упру­ гости. В задачах устойчивости предпочтительнее применять лагранжевы координаты, так как при этом известно поло­ жение тела до потери устойчивости, а не после потери устой­ чивости. По этой причине основные уравнения движения и граничные условия следует преобразовать к переменным Лагранжа. Вывод соответствующих уравнений или их преобразование имеется в монографиях [11, 13, 30, 36, 39, 40, 42, 61, 63 и др.]. В приведенных ниже уравнениях обо­ значения близки к изложенным в [13, 36, 391. Для несим­ метричного тензора напряжений Кирхгофа уравнения дви­ жения имеют вид

где Х ’т и р — соответственно проекции на орты ут объемных сил и плотность, отнесенные к единице объема до дефор­ мации.

Граничные условия на части поверхности Sx в напряже­ ниях и на части поверхности S2 в перемещениях записыва­ ются в форме

где Nt — проекции орта нормали к поверхности тела до

деформации на орты ут\ Рт — проекции на орты ут по­ верхностной нагрузки, действующей на тело после дефор­ мации, но отнесенной к единице площади до деформации.

В случае динамических граничных и смешанных задач необходимо присоединить соответственно условия

Следует отметить, что в общем случае возможен еще на части поверхности S3 тип граничных условий, которые' отличаются от (1.59). Это так называемые смешанные ус­

2 2

ловия, когда задано несколько (меньше трех) условий типа (1.58) и недостающее число условий типа (1.59):

В формулах (1.62) и (1.63) t может принимать одно или два значения из чисел 1, 2, 3, что дает возможность получить любые смешанные условия.

При использовании другого тензора напряжений выра­ жения (1.57), (1.58) и (1.62) изменяются, а (1.59), (1.60) и (1.63) остаются в силе. В случае использования тензора обобщенных напряжений (1.50) выражения (1.57), (1.58) и

Заметим, что выражениям (1.64) — (1.65) можно при­ дать несколько другой вид, если учесть (1.10). Тогда мож­

чимся при рассмотрении уравнений движения, граничных и начальных условий, поскольку изложенного мате­ риала вполне достаточно при исследовании задач устой­ чивости в общем виде для различных постановок задач теории упругости конечных деформаций.

23

§ 6. Элементарная работа. Упругий потенциал.

Сжимаемые и несжимаемые тела

Чтобы замкнуть систему уравнений теории упругости конечных деформаций, необходимо еще задать соотноше­ ния, связывающие тензоры напряжений н тензоры дефор­ маций. Для их установления необходимо учитывать свойства тела (модели). В настоящей книге рассматрива­ ется нелинейно-унругос тело, единственное свойство кото­ рого — обратимость происходящих в нем процессов. По­ этому при построении зависимостей между напряжениями и деформациями имеется две возможности. Первая, восхо­ дящая от Коши, заключается в представлении тензоров напряжений (их компонент) функциями весьма общего вида от компонент тензора деформаций. Этот способ харак­ теризует полную восстанавливаемость геометрической фор­ мы тела. При второй возможности, восходящей от Грина, задаются выражением потенциальной энергии и по этому выражению строят соотношения между компонентами тен­ зоров напряжений и деформаций. Заметим, что требование существования потенциальной энергии деформаций (упру­ гого потенциала) выделяет из упругих тел частный вид упругого тела, названный Трусделлом«гиперупругим» телом, в работе [35] это тело названо идеально упругим.

Элементарную работу внешних сил, приложенных к бесконечно малому элементу тела, отнесем к единице объема тела до деформации. Согласно данным 111, 30, 35,

В соответствии с законами термодинамики [11, 30, 35, 36, 39, 42, 63] для упругого тела при адиабатическом и изотермическом процессах деформирования существует функция, отнесенная к единице объема тела до деформации и названная удельной потенциальной энергией деформации, полный дифференциал которой равен удельной элементар­ ной работе внешних сил

Необходимо отметить, что удельная потенциальная энергия деформации в случае адиабатического и изотер­ мического процессов отождествляется соответственно с

24

внутренней и свободной энергиями, также отнесенными к единице объема тела до деформации. Функция ф на­ зывается упругим потенциалом. Будем считать, что упру­ гий потенциал является произвольной дважды непрерыв­ но дифференцируемой функцией компонент тензора де­ формаций Грина. Примем во всей книге упругий потенциал дважды непрерывно дифференцируемой функцией. Вычис­ ляя вариацию потенциала, из (1.69) получаем

Считая упругий потенциал функцией частных производ­ ных перемещений, из соотношений (1.71) получаем форму­ лу для определения компонент несимметричного тензора

юла. В случае же несжимаемого тела поступим следующим образом [61, 63]. Для несжимаемого тела должно выпол­ няться условие несжимаемости

где / 3 — квадрат относительного изменения объема (1.33). Провариировав выражение (1.73), найдем

Поскольку для несжимаемого тела вариации eit уже зависимы (1.74), то, вводя множитель Лагранжа р из выра­ жений (1.69) и (1.74), получаем

25

Формы упругого потенциала для различных кристалли­ ческих классов рассмотрены в монографии [63]. Заметим, что, например, для трансверсалыю-изотронного тела, ось изотропии которого совпадает с осью Ох3, упругий потен­ циал имеет вид

где Im (т = 1, 2, 3) — инварианты (1.33);

Изложенные в настоящем параграфе результаты отно­ сятся как к анизотропным, так и к изотропным телам. Из выражения (1.69), в частности, следует, что для произволь­ ного нелинейно-упругого анизотропного тела приращения компонент тензора деформаций Грина являются обобщен­ ными перемещениями, если в качестве обобщенных сил выбрать обобщенные напряжения оц (1.50). Из выражения (1.71) также для произвольного нелинейно-упругого ани­ зотропного тела получаем, что приращения частных про­ изводных перемещений будут обобщенными перемещения­ ми, если в качестве обобщенных сил выбрать компоненты несимметричного тензора напряжений Кирхгофа.

§ 7. Свойства элементарной работы. Формы упругого потенциала

и уравнения состояния для изотропных тел

Вначале рассмотрим гиперупругое тело. Предваритель­ но заметим, что для нахождения соотношений типа (1.68) и (1.69), выраженных через инварианты, поступим следую­ щим образом. Поскольку левые части (1.68) и (1.69) пред­ ставляют собой скалярные величины, то в правых частях перейдем к главным осям соосных тензоров. Главные зна­ чения по простым формулам (1.35) определяются через ин­ варианты типа (1.34), которые связаны с алгебраическими инвариантами (1.30). В дальнейшем с учетом результа­ тов, приведенных в § 3 данной главы, можно перейти к лю­ бой системе инвариантов любых тензоров напряжений и деформаций. Изложенный прием используем для получе­ ния некоторых результатов этого параграфа.

Переходя к главным осям, преобразуем выражение

26

где ат — главные значения тензора истинных напряжений (1.47), совпадающие с главными значениями тензора истин­ ных напряжений (1.51) в силу (1.55); hm — главные зна­ чения тензора деформаций Генки — Грина (1.20).

Введем удельную элементарную работу [46,47] 87, отне­ сенную к единице объема деформированного тела,

6'Л = (1 + Д) om&im = (1 + Д) om6hm;

(1.80)

е7 = ombhm=-- am6hm.

Из выражения следует, что приращения главных зна­ чений тензора деформаций Генки — Грина (1.20) использу­ ются в качестве обобщенных перемещений, если главные значения тензора истинных напряжений — обобщенные

Рассмотрим несколько свойств элементарной работы, отнесенной к единице объема тела после деформации. Вна­ чале приведем значение 67, выраженное через естествен­

истинных напряжений (о^), определяемые по формулам, аналогичным (1.34),

Запишем значение 87, выраженное через инварианты Д, 9 t и р (Э{ и р — интенсивность и фаза девиатора лога­

27

к единице объема деформированного тела работа изменения

объема (первый член) в (1.81) и (1.82) и работа формоизме­ нения (остальные члены).

Предположим [46, 47], что б'f — полный дифференциал

Таким образом, из экспериментально обнаруженного факта зависимости изменения объема Л только от гидроста­

тического давления е(п) (е(<7) = ет (Д)) согласно (1.85)

следует, что зависимость инвариантов е\а) и ф<0) только от естественных инвариантов формоизменения у ч а имеет вид

Выражения (1.83) — (186) получаются только при условии, что удельная элементарная работа, отнесенная

28

к единице объема тела после деформации, является полным дифференциалом [46, 47].

Вычислим удельную элементарную работу, отнесенную к единице объема тела до деформации, через инварианты е, е, и ф тензора деформаций Грина (1.34) и инварианты

е*, е* и ф* тензора обобщенных напряжений {<т*/}. Инвари­

анты е*, е* и ф* вычисляются через компоненты а*/ по фор­ мулам, аналогичным формулам (1.34). После ряда преоб­ разований получаем

б'Л = Зе*бе Зе’ cos (ф — ф*) б —

Введем обозначения: К* — обобщенный модуль объем­ ного расширения; G — обобщенный модуль сдвига; со — фаза подобия девиаторов,

Поскольку величина б'Л является полным дифференциа­ лом, то из условия существования полного дифференциала получаем соотношения

Заметим, что в выражении (1.87) в отличиеот (1.79), (1.81) и (1.82) не выделяется работа по изменению объема и работа формоизменения, так как величина е в теории конечных деформаций уже не характеризует изменение объема 1 + + Л. Действительно, из выражений (1.79), (1.80) и (1.81) на­ ходим

б'А = е(0,бД -[- (1 + Д) Р&у + (1 + Д) Q6a. (1,90а)

Первое слагаемое в (1.90а) представляет собой работу по изменению объема, а два других — работу по изме­ нению формы. В связи с этим величины К* и G* не яв­ ляются мерами сопротивления тела гидростатическому давлению и сдвигу. В теории малых деформаций они харак­ теризуют сопротивление тела гидростатическому давлению и сдвигу.

29

Покажем, что в гиперупругом изотропном теле тензор обобщенных напряжений (1.50) и тензор деформаций Грина (1.8) соосны. Для этого вычислим компоненты тен­ зора обобщенных напряжений по формулам (1.70), прини­ мая упругий потенциал ф функцией алгебраических ин­ вариантов тензора деформаций Грина. Учитывая (1.30), получаем

напряжений и тензор деформации Грина в гиперупругом изотропном теле соосны.

Выражения (1.87) — (1.92) при несколько отличной системе инвариантов получены в [36—39].

Поскольку величина б'А является полным дифференциа­ лом, то из выражения (1.81) и условия существования полного дифференциала, принимая упругий потенциал функцией у, а и Д, получаем

c o s (^ _ P )]= = ^ - [ е Г ^ з ш ^ - Р ) ] , (%).

30