книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

чае дифференциальные операторы (II 1.86) системы (Ш .8а) приобретают вид

(III.82)

Для трансверсально-изотропного тела, ось изотропии которого совпадает с осью охя, уравнения состояния имеют

91

В дальнейшем будем использовать алгебраические инва­ рианты тензора деформаций Грина.

Рассмотрим более подробно случай (II 1.44). Из усло­ вия (II.8) находим

При этом, как следует из выражений (11.50), имеют место соотношения (III.45). Для статических задач общее решение системы (Ш .8а) и (III.83), учитывая (III.45) и

Решение (III.89) по аналогии с результатами, приве­ денными в параграфе 4 данной главы, уже преобразова­ но к виду, удобному при решении задач для цилиндриче­ ского тела с произвольным контуром поперечного сечения. Здесь также индексами п и в указано дифференциро­ вание по нормали и касательной. Подробный вывод представлений (II 1.89) не приведен потому, что он ана­ логичен преобразованиям § 4 данной главы. При необ­ ходимости можно убедиться непосредственной проверкой в справедливости приведенных представлений общих ре­ шений.

Функции ¥ и X (III.89) удовлетворяют уравнениям

(III.51), а величины £2 определяются по следующим формулам:

Я Via + °зз

Я2 (Я®Рм + О]?)

92

[Я*Лзз—Я * (Вц + |1ц) + °зз] Я 2 —

Заметим, что в (II 1.90) и других формулах этого пара­ графа величины а ^ и р{„ вычисляются по формулам (11.50) с учетом (II 1.88). Можно рассмотреть различные случаи представления решения второго уравнения (Ш .51)по ана­ логии с (III.54) — (III.56).

Для динамических задач общее решение системы

. т ? ! з

^Зт* J 3*а

93

Заметим, что представления решений для статических (III.89), (III.51) и динамических (III.91), (III.92) задач записаны в плоскости Xjpxs в инвариантной форме.

По аналогии с (111.59) и (111.60) преобразуем гранич­ ные условия в напряжениях на поверхности S x к виду, удобному для решения задач в случае цилиндрического те­ ла с произвольным контуром поперечного сечения. Вна­ чале рассмотрим условия на цилиндрической части по­ верхности, когда ось цилиндра совпадает с осью охв (Nx Ф 0, Na Ф 0, Na = 0). После преобразования получа­ ем

(III.93)

Граничные условия на поверхности хй = const:

94

Используя условия несжимаемости, граничные усло­ вия (II 1.93) можно преобразовать к виду

(ст*?+ Я,-1(%) (Un,n uxNij, u2N^n)

— W^i.s — tl^N2,si =

Pjg [Я,2 м„,з -J- Я®(1 +aiift, V ) Пз.п] = Ps.

(I II.95)

Аналогичным образом из выражений (III.94) получаем

[озз -Н Я,(Ял88— Я, п18)] Пз.з -Ь Я> р = Р%.

§7. Представление общих решений плоской

иантиплоской задач при однородной начальной деформации несжимаемого тела

Рассмотрим однородное начальное состояние в виде (II.7) и тело будем считать трансверсально-изотропным, ось изотропии которого совпадает с осью ох9. Исследуем представление общих решений для плоской деформации в плоскости XjOXi. В этом случае имеют место соотноше­ ния (III.6I), причем для определения напряжений соглас­ но выражений (11.49) получаем

Величины ац и р18 находятся по формулам (II.50), а

оц — из (111.87), причем величины Я4 связаны соотноше­ ниями (II.8),

9 5

ха^ ~ р‘^ г ) Ы2+ Я2 а ^ р _ а

Общее решение системы (III.100) представим в форме

96

Для статических задач уравнение (III. 102) можно пре­ образовать к виду (III.68), где введены обозначения

представления общего решения по аналогии с (Ш.54) — (III.56). Граничные условия имеют вид (III.70) — (II 1.71).

Соотношения (III.97) — (111.103) значительно упроща­ ются, если и в начальном состоянии тело находилось в

Рассмотрим представление решений для антиплоской деформации в плоскости Xjoxt. В этом случае имеют место соотношения (III.72) — (III.76), где величины alf и р12 определяются из выражений (11.50).

В случае (III.77) также можно установить аналогию между линеаризированной задачей (плоская деформация) и линейной задачей (плоская деформация) в виде (II 1.81).

** *

Полученные в предыдущих параграфах настоящей главы результаты можно перенести и на различные вари­ анты теории малых начальных деформаций. Так, для пе­ рехода к первому варианту теории малых начальных де­ формаций необходимо во всех соотношениях, приведен­

формации. Для перехода ко второму варианту теории малых начальных деформаций необходимо дополнительно отбросить величины и% по сравнению с единицей.

Результаты по теории малых начальных деформаций изложены в работе [13 и др.Ь

Данные настоящей главы дают возможность найти ре­ шения ряда классов задач, не фиксируя формы связи

между напряжениями и деформациями, вплоть до полу­ чения решений или характеристических уравнений. Лишь при получении числовых результатов необходимо фикси­ ровать форму уравнения состояния.

В случае однородной начальной деформации при отсутствии возмущений объемных сил общие решения, по­ строенные в § 4—7 гл. III, позволяют исследовать стати­ ческие и динамические задачи даже тогда, когда возму­ щения поверхностных сил зависят от перемещений.

При неоднородной начальной деформации, когда воз­ мущения поверхностных и объемных сил не зависят от перемещений, для решения задач можно применять сфор­ мулированные в § 2, 3 гл. III вариационные принципы. Заметим, что из сформулированных вариационных прин­

и напряжениях. Это обстоятельство существенно облег­ чает решение задач, так как не нужно требовать, чтобы координатные функции удовлетворяли предварительно каким-либо условиям в перемещениях.

Г л а в а IV

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ТРЕХМЕРНЫХ УПРУГИХ ТЕЛ

ПРИ КОНЕЧНЫХ ДОКРИТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

В предыдущих главах были рассмотрены вопросы, яв­ ляющиеся общими для всех линеаризированных задач, в том числе задач устойчивости, задач распространения волн в телах с начальными деформациями и задач коле­ бания предварительно напряженных тел. В настоящей главе исследуем специфические общие вопросы трехмер­ ной теории упругой устойчивости при конечных докритических деформациях, при этом будем исходить из линеа­ ризированных задач. Рассмотрим только устойчивость состояния равновесия, хотя исходные линеаризированные задачи (см. § 6 и 7 гл. II) также позволяют исследовать не только устойчивость состояния равновесия. В связи

с этим примем величины и„, а следовательно, и ы/тсф.Ишор, °0ПФпиг + «т.п) независящими от времени.

98

§ 1. Постановка и классификация задач. Возмущения объемных и поверхностных сил

Рассмотрим устойчивость равновесия деформированно­ го тела, обозначив величины, относящиеся к этому состоя­ нию, индексом нуль. С этой целью сообщим телу малые возмущения; все величины, относящиеся к возмущениям, не будем отмечать индексами, а величины, относящиеся к возмущенному состоянию, отметим штрихом. Считая возмущения малыми величинами, приведем линеариза­ цию основных соотношений, и об устойчивости равнове­ сия деформированного тела будем судить по поведению малых возмущений, описываемых линеаризированной за­ дачей. Вопрос об общности такого подхода и об условиях применимости не будем обсуждать, поскольку он принят во всех публикациях по устойчивости упругих тел.

Заметим, что при указанной постановке все основные соотношения линеаризированных задач (см. гл. II) и об­ щие вопросы (см. гл. III) остаются в силе и для задач устойчивости при конечных докритических деформациях.

Поскольку, как будет выяснено в дальнейшем, харак­ тер поведения возмущений объемных и поверхностных сил во многом определяет специфику задач устойчивости, то вкратце напомним, что в довольно общем случае возму­ щения объемных и поверхностных сил можно предста­ вить в виде (II 1.6):

классификацию можно провести по виду линеаризирован­ ных задач.

Можно классифицировать задачи и по методам иссле­ дования: динамическому методу изучения малых коле­ баний около положения равновесия и статическому мето­ ду (методу Эйлера). При динамическом методе состояние равновесия называется устойчивым, если возмущения со временем затухают (условно называют устойчивым также состояние равновесия, когда получаются только

периодические решения), а неустойчивым, когда возмуще­ ния возрастают неограниченно при т оо. При стати­ ческом подходе (метод Эйлера) состояние равновесия счита­ ется неустойчивым, если наряду с исходным состоянием равновесия имеют место смежные близкие к нему другие состояния равновесия. При статическом методе задача сво­ дится к отысканию точек разветвления форм равновесия.

Динамический метод исследования является более общим по сравнению со статическим, он применим к ди­ намическим и статическим задачам устойчивости, хотя и более сложен. Статический метод применим только к ста­ тическим задачам и то не ко всем. В § 6 и 7 настоящей гла­ вы будут получены достаточные условия применимости ста­ тического метода (метода Эйлера) к исследованию стати­ ческих задач устойчивости упругих сжимаемых и не­ сжимаемых тел при конечных докритических деформациях. К динамическим задачам применим только динамический метод.

Можно еще провести классификацию по типам потери устойчивости (динамическому и статическому). При дина­ мическом (колебательном) типе потери устойчивости нарас­ тание возмущений вблизи границы устойчивости имеет во времени колебательный характер; при статическом возмущения вблизи границы устойчивости возрастают во времени монотонно.

Кроме изложенных классификаций можно также клас­ сифицировать задачи по характеру поведения возмуще­ ний объемных и поверхностных сил. Это консервативные и неконсервативные задачи упругой устойчивости. Как будет выяснено в § 6 и 7 гл. IV, только для консерватив­ ных задач устойчивости упругих тел при конечных докри­ тических деформациях можно применять статический под­ ход (метод Эйлера).

§ 2. Вывод условий устойчивости равновесия для сжимаемого тела

Исследуем устойчивость равновесия деформированного тела под действием консервативных объемных и поверх­ ностных сил. Положение равновесия будем считать устой­ чивым, если при произвольном бесконечно малом геомет­ рически возможном перемещении из рассматриваемого по­ ложения равновесия накапливаемая энергия деформации

■ИХ)