книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfбольше работы поверхностных и объемных сил на этом перемещении с учетом изменения этих сил. В качестве рассматриваемого положения равновесия возьмем поло жение равновесия деформированного тела, в качестве смежного положения равновесия примем возмущение со стояния равновесия. В этом случае можно записать
м; = и? + 8и,; |
е « 1 . |
(IV.2) |
Из выражений (1.8) и (Н.З) получаем |
|
|
ец = е?у + ее,/ + ~ |
егии ии . |
(IV.3) |
Примем, что удельная энергия деформации является функцией компонент тензора деформаций Грина. Пред ставим ее в виде ряда по параметру е:
ф ' = ф« + |
дФ° |
8</+ |
|
||
+ Я ei/er< |
дФ° |
+ 0(es). (IV .4) |
К |
В соответствии с выражением (IV.2) для смежного деформированного состояния можно записать
Рт = Рт + гР'т\ х ; = х;° + ех; |
(IV.5) |
Работа этих сил на дополнительных перемещениях при переходе от рассматриваемого деформированного состоя ния к смежному будет
|
8 |
+ т\Хт) U J V + J (Р* + пК)umdsjdn= |
|
j |
{j |
||
= |
J (ftC + 4 - X») dV + J (eP*m + ~ P'J) |
(IV.6) |
|
|
r |
S |
|
Выражения (IV.6) верны для всех um = 0 на S8.
Таким образом, дополнительная удельная энергия де
формации ф ' — Ф° и дополнительная работа |
внешних |
сил, соответствующие возмущениям перемещений, |
опреде |
ляются из формул (IV.4) и (IV.6). С учетом |
изложенного |
||
получаем, что достаточным |
условием |
устойчивости на |
|
чального деформированного |
состояния |
является условие |
|
L (е) > О, |
|
(IV.7) |
101
где
L (е) = |
е |
дФ° |
P'°umdS\ + |
|
де" |
||||
|
|
|
||
|
|
д*Ф° |
*lfirt + |
|
|
|
|
||
+ |
ии щ,1 - Х'тит ) ^ |
+ 0(e8).(lV.8) |
Условие (IV.7) должно выполняться для любых до статочно малых положительных и отрицательных е и для любых гладких ит, удовлетворяющих условию (11.17), но первый член L (е) (IV.8) в зависимости от е может быть отрицательным и положительнбтм. Следовательно, коэф фициент при е в (IV.8) должен обращаться в нуль. Отсюда получаем
I {Щ:е"“ |
^ |
1 |
= °- (IV-9) |
Йз выражения (IV.9) |
с учетом |
(1.70), |
(11.3) и преобра |
зования типа (III.14) находим уравнения (1.64) и гранич ные условия на S± (1.65) для определения начального де формированного состояния при дополнительном услрвии (11.17). В связи с этим необходимо добавить условие (1.59).
Учитывая соотношение (IV.9), из условия устойчивос ти (IV.7) и выражения (IV.8) получаем условие устойчи
вости состояния |
равновесия |
; |
||
К д!Ф° |
„ |
, |
дФ° |
V» \ ,,, |
де°идв% |
|
ifirt + |
дв% |
XmU”) dV |
|
|
- j p * mumd S > 0. |
(IV. 10) |
Эго условие должно выполняться для любых достаточно гладких ит, неравных тождественно нулю и удовлетворя ющих условию (11.17).
Если в выражении (IV.8) коэффициент при е2 окажет ся равным нулю, то необходимо рассматривать коэффициен ты при высших степенях е.
102
Условие устойчивости сжимаемых тел с учетом выра жений: (1.70), (П.З) и (11.33) представим в форме
J. (<tymapWot1pWmi/ — ХщЦт) dV — J" РmUmdS 0. (IV.11)
Это условие должно выполняться для произвольных до статочно гладких ит, неравных тождественно нулю и удов летворяющих условию (11.17).
Если возмущения объемных и поверхностных сил от
сутствуют, то |
условие устойчивости |
(IV. 11) |
приобрета |
ет следующий |
вид: |
|
|
|
J a>lmafi^atpum,idy > |
0. |
(IV. 12) |
|
V |
|
|
Выполнив преобразования типа (III. 14), из условия устойчивости (IV. 11) получим линеаризированные урав нения (11.52) и граничные условия (11.53) при дополни тельном условии (11.17).
$ 3. Вывод условий устойчивости равновесия для несжимаемого тела
Для несжимаемого тела должно выполняться условие несжимаемости (1.73). Подставляя выражения (IV.2) в ус ловие несжимаемости (1.73), получаем
еб(/в;/ Н—2~®2[2(GoGo — GOGQ) |
+ |
Gjut^Ufj] -f~ |
+ 0 (e8) = 0. |
|
(IV. 13) |
Умножив выражение (IV. 13) на ^p° + |
|
и проинте |
грировав по объему, добавим к (IV.8). |
В этом случае |
получаем условие устойчивости в виде (IV.7), где выра жение L (е) имеет следующий вид:
L (е) = в | j ги + рЮоец — dV —
- | P 2 U J S J+ 4 { j [ - 5 5 5 5 - '< * ' +
103
+ 2p° (GoGo — GoGo) e,jert + |
+ Golp”j utJuu + |
|
+ pGo'e,/ - |
d V - J / ^ „ d s j + 0 (e3). (IV. 14) |
Если выполнить преобразования, аналогичные преоб разованиям предыдущего параграфа, то получим условие устойчивости равновесия несжимаемого тела в виде
+ (-Щ - + <*V) U,.i“U — |
dV — |
— С PmU^dS > 0. |
(IVЛ5) |
Условие (IVЛ5) должно выполняться для произволь ных достаточно гладких ит, неравных тождественно нулю и удовлетворяющих условиям (II.6) и (Ц.17). Кроме то го, из (IV. 14) условие устойчивости можно получить в виде
J |
l |
[ |
w |
+2p "(OS'G{,“iert +®'oi')]e"e |
|
+ |
+ |
Go'p°juu ut,i -f pG hu — XmU^dV — |
|||
|
|
|
- j p |
; « md S > 0 . |
(IV.16) |
Выражение |
(IV. 15) |
можно получить |
из выражения |
||
(IV. 16), если |
учесть |
условие несжимаемости (11.6). Учи |
|||
тывая (11.44), |
|
(11.97) и (11.100), условию устойчивости |
|||
(IV. 16) можно придать форму |
|
||||
f |
|
“Н pGо фтп 'Ь Um.n)]Um,l |
dV — |
||
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ [ p mu J S > 0. |
(IV. 17) |
|
|
|
|
s |
|
|
104
Необходимо отметить, что в (IV. 16) и (IV. 17) ит долж ны удовлетворять условиям (II.6) и (11.17). Для возму щений объемных и поверхностных сил, независящих от возмущений перемещений, условие (IV. 17) можно запи сать в виде
J |
“Ь рО0 (бтп "Ь Hm,n)] |
> 0. (IV. 18) |
Выполнив преобразования типа (III. 14), из условия устойчивости (IV. 17) найдем линеаризированные уравне ния (11.65) и граничные условия (11.66) при дополнитель ных условиях (II.6) и (11.47).
§ 4. Основные соотношения статических и динамических
задач и методов для сжимаемого тела
Рассмотрим основные соотношения статических и ди намических задач устойчивости и методов их решения для сжимаемого тела при конечных докритических деформаци ях. Основные линеаризированные уравнения имеют вид (III.7):
|
|
LmaMa. — 0- |
|
|
(IV.19) |
|
Для |
динамических |
задач |
операторы |
Lma |
согласно |
|
(II 1.7) |
имеют вид |
|
|
|
|
|
Lma — |
toimaP Q “Ь Л4та 4~ Л^/па |
---- p6ma |
• (IV.20) |
|||
Операторы Lma для статических задач можно записать |
||||||
в форме |
|
|
|
|
|
|
|
Lma — |
® |
i m |
c |
$ |
(IV.21) |
Граничные условия в напряжениях на части поверх ности S1 согласно (11.53) для статических и динамических
задач принимают вид |
|
|
|
|
®/шарМа,рЛ^; = njriaWaj |
|
(IV.22) |
||
pNi |
= |
Пта^а *f- Пта |
Ua- |
(IV.23) |
Граничные условия |
в |
перемещениях |
на |
части по |
105
верхности S a |
для динамических |
и статических задач |
записываются |
в форме |
|
|
«я, Is, “ О- |
(IV-24) |
Таким образом, статические задачи устойчивости при использовании статического подхода (метода Эйлера) сво дятся к однородной задаче (IV. 19), (IV.21), (IV.22) и (IV.24). Требуется определить значения параметров на гружения, входящих в co/тар, при которых существуют нетривиальные решения сформулированной задачи. Кри тические значения параметров нагружения получаются в результате минимизации.
При использовании динамического метода в перемеще
ниях выделим |
множитель ехр/йт, |
а для амплитуд пе |
||
ремещений оставим те же обозначения, что и для |
переме |
|||
щений. Тогда операторы (IV.20) для |
динамических и ста |
|||
тических задач |
принимают вид |
|
|
|
Lma = - j - o w p |
+ Л4& + «ОМ® + |
(IV.25) |
||
Lma. — |
|
®<ineЭ |
Ч* рП^та- |
(IV.26) |
Для динамических задач граничные условия на поверх ности Sx запишем в форме
«Wp«o,pW( Is, = |
+ ® П ^и а, |
|
(IV.27) |
а для статической задачи граничные условия |
на |
оста |
|
ются в форме (IV.22). |
|
|
|
Таким образом, динамические задачи устойчивости при |
|||
использовании динамического метода сводятся |
к однород |
||
ной задаче (IV.19), (IV.25), |
(IV.27) и (IV.24). |
Требуется |
определить значение Й как функцию параметров нагру жения, входящих в со^р, из условия, чтобы существо вали нетривиальные решения сформулированной задачи. Условие устойчивости в этом случае записывается в виде Im Q > 0, а граница области устойчивости определяется из-условия Im Q — 0.
Статические задачи устойчивости при применении ди намического метода сводятся к однородной задаче (IV. 19), (IV.26), (IV.22) и (IV.24). Дальнейшее рассмотрение та кое же, как и для динамической задачи при динамическом методе исследования.
106
Аналогичным образом можно записать основные соот ношения и при использовании тензора напряжений Кирх гофа, учитывая результаты, приведенные в § 6 гл. II.
§5. Основные соотношения статических
идинамических задач и методов для несжимаемого тела
Рассмотрим основные соотношения статических и дина мических задач устойчивости и методов их решения для несжимаемого тела при конечных докритических деформа циях. Основные линеаризированные уравнения, включаю щие уравнения движения (равновесия) и условия несжи маемости, согласно (IV.81) запишем в форме
N таИ<х = О, a, т = 1, 2, 3, 4; н4 = р. (IV.28)
■Операторы Nma для динамических и статических за дач имеют вид
N ma — | 'gX[ Himafr |
4" М-\па 4~ Alma |
P^/na |
j X |
X (1 — fW) (1 -- Sa4) -f- 6a4 (1 — Sm„) ^ |
Go (6mn 4* Um,n) "Г |
||
4" Sm4 (1 — ^a4) Go (&an 4* Ua,n) |
^ , ($jm,a)> |
(IV.29) |
Nта — ^ Q— Kimaf, ^ 4* Mnmj (1 — ^m4) (1 — ^al) 4“
4“ ^a4 (1 — Q— Go (Smn 4* um,n) 4"
4- Sm4 (1 - Ы Go (6an 4- U°a,„) -A . . |
(I V.30) |
Граничные условия в напряжениях на части поверх ности S L для статических задач согласно (11.66) и (IV. 1) запишем в форме
[Xfmo'pHa.p 4" Go |
Фтп 4" Um.n) |
= |
= Il/na^ai т, a, i= 1, 2, 3, |
(IV.31) |
|
а для динамических — в форме |
|
|
[XjmapWa,p 4" Go (Smn 4" Um.rt)^4] N{ |
= |
|
r- UmaWa 4* Пта |
Ha, M, OC, t = 1, 2, 3. (IV.32) |
107
Граничные условия в перемещениях на части поверх ности S2 остаются в виде (IV.24).
Таким образом, статические задачи устойчивости для несжимаемого тела при использовании статического мето да (метода Эйлера) сводятся к однородной задаче (IV.28), (IV.30), (IV.31) и (IV.24). Требуется определить зна чения параметров нагружения, входящих в nimap и
Go" (f>mn + Hm,n), при которых существуют нетривиаль ные решения сформулированной задачи. Критические зна чения параметров нагружения получаются в результате минимизации.
При |
использовании динамического подхода |
в переме |
|||||||
щениях ив р выделим множитель ехр Й2т, а для |
амплитуд |
||||||||
перемещений |
и р оставим те же |
обозначения, что и для |
|||||||
перемещений и р. В этом случае |
операторы |
(IV.29) для |
|||||||
динамических и статических задач принимают вид |
|||||||||
N ma — ^-^7 Xjtnap ^ |
4~ М \п а -}- iQM jrxx. 4~ |
|
X |
||||||
X (l - |
м |
(1 - б«о + ба4(1 - |
6m4) -JL С(? (бта + |
и°т,п) + |
|||||
|
|
+ |
бт4 (1 - |
ба4) Go"(6^ + |
«“.„) ~ |
; |
(IV.33) |
||
|
N т |
а — |
^ f a j Х /тар Q ™ |
"Т Л ^ т а "Т ® т ар П 2| X |
|
||||
X (1 — бт4) (1 — 6а4) 4" ®о4 (1 — бт4) |
Go (6тп -р ыт,л) 4* |
||||||||
|
|
4~ &т4(1 — 6а4) Go" (6<хл 4“ ыа.п) ^ |
• |
(I V.34) |
|||||
Для динамических задач граничные условия на |
|||||||||
запишем в форме |
|
|
|
|
|
|
|||
[Х/тарПа.З 4" |
Фт п 4" и т,п) П4] N / |
|
= IlmaWa 4* ®Птаыа- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV.35) |
Для статических же задач при применении динамического метода граничные условия на части поверхности Si ос таются в виде (IV.31).
Таким образом, динамические задачи устойчивости для несжимаемого тела при применении динамического метода сводятся к однородной задаче (IV.28), (IV.33), (1V.35) и
108
(IV.24). Требуется определить значение Q как функцию параметров нагружения, входящих в x,mctp и Go" (6m„ +
+ ит.п), из условия, чтобы существовали нетривиальные решения сформулированной задачи. Условие устойчивости при этом записывается в виде I m Q > 0 , а граница об ласти устойчивости находится из условия Im Q = 0.
Статические задачи устойчивости для несжимаемого тела при использовании динамического метода сводятся к од нородной задаче (IV.28), (IV.34), (IV.31) и (IV.24). Даль нейшее рассмотрение такое же, как и для динамических задач при динамическом методе исследования.
Аналогичным образом можно записать основные соот ношения и при применении тензора напряжений Кирх гофа, учитывая результата, приведенные в § 7 гл. II.
$ 6. Самосопряженность задач. Достаточные условия применения метода Эйлера для сжимаемого тепа
В § 4 и 5 г л . III изложены основные соотношения дина мических и статических задач, а также динамического метода и метода Эйлера. Для динамических задач очевид но следует использовать только динамический метод. Для статических же задач можно применять динамиче ский метод и метод Эйлера. Поскольку метод Эйлера зна чительно проще динамического, важно указать достаточ ные условия использования метода Эйлера. Заметим, что в случае малых докритических деформаций достаточные условия применения метода Эйлера получены в моногра фии [10].
Предварительно выведем условия самосопряженности статических задач для сжимаемого тела при динамическом методе исследования (IV. 19), (IV.26), (IV.22) и (IV.24). Пусть 1ит и йит — компоненты двух произвольных дваж ды дифференцируемых векторов, удовлетворяющих усло виям (IV.22) и (IV.24). Соответствующие им возмущения поверхностных и объемных сил обозначим следующим об разом:
X |
= AC V ; |
2х'т= |
•р* |
• |
(IV.36) |
2Р* П(1)2и |
||
* т— Alma wa> |
г т — Alma и(Х- |
109
Учитывая принятые обозначения, условие |
самосопря |
женности запишем в виде |
|
J ( Ч Ч * Ч — Ч ^ Ч ) dV = 0. |
(IV.37) |
v |
|
Условие (IV.37) должно выполняться для любых Ч и 2ит, удовлетворяющих сформулированным условиям. Под
ставляя выражения (IV.26) |
в условие (IV.37), |
учитывая |
|||
(III.3), (IV.22) и (IV.24) и |
применяя |
формулу |
Гаусса — |
||
Остроградского, после |
преобразований получаем |
||||
j|" |
— ^UmLma}ua) dV = J |
(tO/map Ma,p)>f |
|||
~ ( ® < m a p 1W«,p),( -f- lUmMma?Ua |
2UmMma ual dV = |
||||
— J l(1Mm£0<"iap2t<a.P — 2Unjt0/map1U«,p)>« |
|
||||
“ |
®iniap C'1 |
aWm,/^Mo!,p) Ч- |
|
||
-p (1итМтз.2иа — |
|
dV — |
|
||
= I |
iv( ( v ^ p - v « A P ) ® < ”»p(!S+ |
|
|||
S.+S, |
|
|
|
|
|
+ J |
- Ч Х ^ И а ) ^ = |
|
|||
|
V |
|
|
|
|
= J (Ч П & Ч - Ч П {£ а Ч ) dS + |
|
||||
|
s, |
|
|
|
|
+ |
J( \ С |
^ а |
— 2UmM(JicUa) dV■ |
(IV.38) |
|
|
V |
|
|
|
|
Из выражений (IV.37) и (IV.38) находим условие само |
|||||
сопряженности в форме |
|
|
|
||
S (Ч П ^ Ч - Ч П £ а Ч ) d S + |
|
||||
S, |
|
|
|
|
|
+ I { \ пМ(^ и а - |
*итм № и а) dv = 0. |
(IV.39) |
|||
v |
|
|
|
|
|
Используя обозначения (IV.36), условие самосопряжен |
|||||
ности (IV.39) запишем в виде |
|
|
|||
f ( Ч 2Х ; - |
Ч '* т ) d V + \ ?и^Р 'т- |
Ч 1^ ) dS = 0. |
|||
* |
|
* |
|
|
(IV.40) |
1 1 0