книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfЕсли функции (коэффициенты Фурье) /„ (уг) и fn (уг) не связаны между собой и являются решением одного и то го же уравнения (отличаются только постоянными множи телями), то можно рассматривать отдельно следующую функцию, характеризующую форму потери устойчивости:
+*»
f(r, 0, х3) = 2 Ах (Уг) cos ух3 ехр i/i0; f~ n ( y r ) ^ fn(yr); 1ш/ф= 0.
Форму потери устойчивости, которая характеризуется функциями типа (Х.7), условно будем называть изгибной формой потери устойчивости. Смысл такого названия ста нет понятным при исследовании потери устойчивости одного волокна. Если решение зависит от одного из следующих ар гументов (п0 + yxg) или (—п0 + уха) и является тригоно метрическими функциями от одного из этих аргументов, то такую форму потери устойчивости будем называть фор мой потери устойчивости с кручением. Смысл и этого на звания станет понятным также при исследовании устойчиво сти одного волокна. В общем случае решение (Х.б) можно преобразовать к следующему виду:
f (г, 0.*з) =4- 2 еп{[(А.+ А.) —»'(А. —L ) ] cos («0+
z л=0
+ v*s) + t [(А, — Ах)— t (A. + Ш sin («0 + yxa) +
+ [(fn + Tn) + » (A. — In)] COS (— /10 + у*з) — i l(fn — In) +
+ i (fn + Jn)] sin (— /10 + |
y*s)}.* |
e„ = 0,5 при n = 0 и e„ = |
1 при n > 0. (X.8) |
Решение (X.8) будет решением для формы потери устой чивости с кручением в двух случаях. В первом случае долж
ны выполняться условия |
|
|
А .+ «'А.= 0; |
n > 0 - |
(Х.9) |
При этом решение (Х.8), учитывая (Х.б), (Х.8) и (Х.9), |
||
можно записать в виде |
|
|
f (г, в, х3) = S е„ [(/„ + |
Т„) cos (пв + |
ух3) + |
г»**0 |
|
|
+ i (fn — fn) sin (n0 + yx8)J. |
(X.10) |
|
231
Во втором случае должны выполняться условия
fn — ifa = 0; я > 0. |
(Х.111 |
При этом решение (Х.8), учитывая выражения (Х.8) ^
(Х.Ю), можно записать в форме
оо
f(r, 0, Х3) = 2 е„ [(/„ + fn) cos (—я0 + |
ух3) — |
п = 0 |
|
sin ( - я 0 + Т*з)]. |
(Х.12) |
Таким образом, если выполняется одно из соотношений (Х.9) или (X. 11), то решение представляется соответствен* но в одной нз форм (Х.Ю) нлн (Х.Ю) и отвечает потере устойчивости с кручением. Во всем дальнейшем изложении будем считать, что величины $ (II 1.47) для сжимаемого и (II 1.90) для несжимаемого тела являются положительными
и£2, поэтому под величиной & следует понимать ве
личину |£ф Принимая это предположение, ограничимся решениями типа (V.15) и (V. 16). Для других типов решений можно получить аналогичные результаты.
В последующих параграфах настоящей главы для тел, армированных различным числом волокон, рассмотрим представление решений и формы характеристических опре делителей. Если характеристические определители беско нечны, докажем, что они являются определителями нор мального типа, что обосновывает применение приближенных методов для их решения. Заметим, что все величины, кото рые будут встречаться ниже, для сжимаемого тела нахо дятся из соотношений (11.41), (11.42), (II 1.43), (II 1.45), (111.47) и (Х.2), а для несжимаемого — из соотношений (11.50), (III.45), (II 1.47), (111.88), (III.90) и (Х.2). Для по лучения значений соответствующих величин для наполни теля необходимо во всех указанных выше формулах все величины отметить индексом 1 и индексом, указывающим номер волокна.
§ 2. Тело, армированное одним волокном
Рассмотрим устойчивость бесконечного тела, армирован ного одним волокном кругового поперечного сечения радиу са R. Везде опустим индекс, указывающий номер волокна и номер местной системы координат. Решение уравнений (111.51) представим в виде (V. 15) и (V.16). В соответствии с
232
этим и формулой (Х.7) запишем решение для случая изгибной формы потери устойчивости в следующем виде:
’*г='УАпКп(у£\Г) sin Y*3sin n0; X = |
\ВвКв (у£/) + |
|
+ СпКв (у£зг)] cos ух3cos п0; |
|
|
У'0 = |
у А ^ ^ (y£|°r) sin ух3sin м0; |
(X. 13) |
Х(1) = |
[B^I" (y $ ]r) + C(? In(y^r)] cos улгаcos п0; |
|
у = п/1.
Для потери устойчивости с кручением согласно (V. 16)» (Х.9) и (Х.10) решение запишем в форме
4 = уАаКп(ytir)cos (п0 + улг8); Х= [ВпКп(у£/) +
+ СпКп(У^)1 cos (п0 + yjc3);
У(1) = уА?1п(у^Г'г) cos (п0 + удг3);
(X.14)
К1*= [B^/„(y^V) + C^M ytfV )] cos(п0 + yxa);
к = Ry =з я -j - .
Рассмотрим еще случай потери устойчивости с образо ванием шейки (осесимметричная форма потери устойчиво сти). При этом решение уравнений (111.51) выбираем в виде
* = ¥ (,) = 05 |
X = [ВК (уЬг) + СК (y^r)] cos удг3; |
|
Х(|> = |
[B(,,/(y$V ) + C(1,/(y ^ IV)l cosyx3. |
( * 1 |
Решения в виде (Х.13) — (Х.15) удовлетворяют |
усло |
|
виям затухания «на бесконечности» в силу свойств функций Макдональда.
С целью пояснения названия «изгибная форма потери устойчивости — форма потери устойчивости без кручения» и «форма потери устойчивости с кручением» заметим, что решение (Х.13), соответствующее решению (Х.7), описы вает изгибную форму потери устойчивости в плоскости XjOx3, решение (Х.14), соответствующее решению (Х.10), описывает потерю устойчивости, когда ось волокна теряет устойчивость по винтовой линии. Это положение и опреде лило названия форм потери устойчивости.
Подставляя решение в виде (Х.13) в граничные условия (Х.4), после ряда преобразований получаем
233
характеристический определитель в виде (VI.24) при I, /' = 1, 2, 3, 4, 5, 6 для потери устойчивости без кручения:
Я] |
а и = |
— 2р12я£1х |
Кп+1(x£i) + 2pu п(п — |
||||||||
|
1)х |
K n ( a ^ i ); |
Я1 oc a (£a) = |
|
|
|
|||||
= 2ii1^ |
- 1Kn+l ш |
+ h i |
|
+ |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
[ |
« IS |
“r |
H -is |
|
+ |
|
^ |
2 |
|
+ |
|
(« -1 ) *~2] к* Ш ; |
||||
«is s |
«и (Ss)< |
Я} * |
ct14 = |
— 2pi^n^[ *x |
X |
||||||
x /„-и (лй1*) - |
2 ^ ‘n ( n |
- |
1) * - 2/„ к*.1'); |
|
|||||||
|
|
«„(Й 0) = |
2pШ 1,и - ,^„+I(кЙI,) - |
|
|||||||
— |
8(i)» |
«К’+ДО |
|
, |
“ |
rf3’ + « |
|
, |
|||
|
|
|
+ |
«й’ + t f |
+ |
||||||
+ |
2р|гП (n — 1) x—2 |
/„(«Й11); |
а 16^ос15(й,)); |
||||||||
«21 — Я1р18пк |
Kn(£iX); |
Kaa (£2) — Я1Р13 (o13 + |
|||||||||
+ |
His)* («11S2 + «13 —О33ЯГ2) [— t,iKn+\ (и£г) + |
||||||||||
-J-лх |
Kn (x£a)l; |
а 2з^ |
aaa (Sa)l |
|
|
|
|||||
£*21 = |
— Я|1)р1зПК~‘/п (Eill,x); |
|
(^u) = |
|
|||||||
= |
- |
яРУи (а|з + |
jils)-1 (flffar + e ff - |
|
|||||||
-2) Ф п +i (ийм) + n x - lin(ЯЙ1*)];
«26 s «25 (Сз )|
«si = — 2Я?|*мС1х“ ,/Ся+1 (Si*) + [2n (1 - n ) x ~ 2— |
(X-16) |
||
— Si] W |
C . (*Si); |
|
|
|
|
||
« 3 2 (Ss) = |
2 X b i lsn b |
x - l K n + 1 (C,x) + 2Я?(а12л (1 - |
|
— я)х |
(x£a); |
«яз = «за(S3)* |
|
сс34= _2ЯГ>У^{'»х' ,/„+1 & "> * )-
234
_ 12» (1 - я) к " 2 - |
d 11'] M |
V |
/ . ( Л |
|||||
— 2MI)’(*i2 П(1 — П) K~2ln (>t?2I>); |
|
|||||||
«36 — |
« 3 5 ( Ь *)» |
|
|
|
|
|
|
|
ос41 = |
к" W „ (кЬ); |
«42(£г) = |
E^n+i (*4*)— |
|||||
— мС'КпМяУ, |
|
|
|
|
|
|
||
ОС^з ^ |
К 42 (£з)» |
« 4 4 ~ |
|
** |
|
^ A i 0 4 * |
) ’ |
|
« 45 (й!>) = t f ’/i+ i (иЙ11) + |
п и -‘/в(нй,)): |
|||||||
а4в 3= «45 (ЙП); |
а51 = |
к^уКп+i (*£i) — П^п (*4i); |
||||||
« S 2 (£■ ) = — |
(* £ ■ ): |
« 5 3 = « и ( k ) ; |
||||||
« 5 4 = |
« d ’^ n + l |
( и ? ! 1’) + |
« Л . ( « d " ) i |
|
||||
«55 (£21>) = nl„ (* $ ’); |
|
|
|
|
|
|||
« 56 = « 5 5 ( Ь )» |
« 6 1 = « 6 4 = |
|
|
|
||||
« 6 2 (£ 2) = М (° 1 3 + М*1з) |
* ( я и Й |
^ 1 5 ~ |
||||||
— А |
-2) к п(х?а); |
|
|
|
|
|
|
|
« 6 3 = |
« 6 2 (Ы; |
«65(Й°) = |
- |
М" («!з + |
||||
+ |*йГ |
-иВ ? - |
« У ’а М |
и (xtf >); |
|||||
«евs |
«ЛЙ'*)- |
|
|
|
|
|
|
|
Для получения элементов характеристического уравне ния, соответствующего потере устойчивости с кручением (решение (Х.14)), необходимо в формулах (Х.16) изменить
знак на |
противоположный в величинах a llt |
a 14, а г1, «24, |
« 3 2 » « а з» |
« зб » «36»«41»«44»« 52* «68* «56» «евУчитывая эти за |
|
мены и вид характеристического определителя |
(VI.24), по |
|
сле ряда преобразований (первый и четвертый столбец, тре тью и пятую строки умножить на—1), приходим к выводу, что характеристические определители для формы потери устойчивости без кручения и для формы потери устойчи вости с кручением совпадают.
Для осесимметричной формы потери устойчивости, под ставляя решения (Х.15) в граничные условия (Х.4), по сле ряда преобразований получаем характеристический
235
определитель в виде (VI.24) при i, / = 1 , 2 , |
3, 4, где введе |
|||||||||||
ны обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
« и |
(£2) == 2^I[X12^2X |
|
К г |
(«£2) "Н ^1 (« и "Ь Раз) |
'X |
|
||||||
X |
ld«iiPi8 + |
°1з («м + |
азз^1 2)] К |
(«£2); |
|
|
|
|||||
« 12 s |
« и (£з)> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
«1з (tf*) = |
2k[')'V.№$)« T 1I1(*#>) - |
|
|
|
||||||||
- ^ < « & |
+ |
| ^ |
1К Г«8,|»В, + |
|
|
|
|
|||||
+ |
«!з (flfi* + |
о ^ 'Х ? '-2)] I (и$*); |
а и s |
а м ($*>); |
|
|||||||
«21 (£2) ~ |
^lPl3 («13 + |
P 13) |
( « l i d + «13 |
|
|
|||||||
- с 2 ^ Ь ^ ( к Ы ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
« 2 2 = |
« 2 1 (£з)>' |
« 2 3 ( Й |
}) |
= |
^1 V i3 * («13* + |
|
|
|||||
-ь ix^a’r 1 («iV^1’1 + |
«sy— ст^,,>^,»~г) |
(«Й1’); |
( * |
|||||||||
«21 — |
«23 (£з })l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
« 3 1 (£2) = |
£2 ^ 1 (и £г)> |
«32 s |
« 3 1 (£з)> |
|
|
|
||||||
« зз($ >) = |
$ ,М к $ )); |
|
|
|
|
|
|
|||||
«34 = |
«33 (Й *)> «41 (£2) = |
(«18 + |
Mis) |
(« lid |
|
|||||||
— 1*18— «зз^Г2) К (к£2); |
|
|
|
|
|
|
||||||
«42 = |
«41 (Сз); |
«43 (d **) = ---(«1з + |
Р ю ) |
1 X |
|
|
||||||
X (flfftf»• - |
(iff - |
<хW |
* |
) / (««tf»); |
|
|
|
|||||
« 4 4 = « 4 3 ( d " ) .
Характеристические определители с элементами (X. 16) и (Х.17) найдены для сжимаемого тела. Вычислим аналогич ные элементы для несжимаемого тела.
Подставляя решение (Х.13) в граничные условия (Х.5), для несжимаемого тела после ряда преобразований полу чаем характеристический определитель, соответствующий потере устойчивости без кручения. Элементы этого опре делителя имеют вид
«и = — 2р12к—Vi^/Cn+i («Si) + 2р1гк-2« (п — |
1 |
- 1 )K ;(« £ I);
236
«12 (£a) = |
|
К О + A V ud + |
|
|||
+ 2n(n — 1) x~ Via + |
(l^i3+ азз^)] Ka Кг)? |
|||||
«is s |
a la (£,); |
а 14 = — 2 [$ ъ С 'п ф 1 п+х(x$>) _ |
||||
— 2ц$и—*n (ft — 1) /„ (хСг1)y |
|
|
|
|||
«15 (tf*) = |
|
(* jf) - |
|
+ |
||
+ 2n(n — 1) X- Vis + uls + «33( |
^n (*££ V |
|||||
«16 в |
a „ (Й1*); |
«21 = лИм*- X |
K i): |
|
||
«22(У |
= -(* * £ + Sa) Kn+1 K a) Им + «*“ ' (£&3+ |
|||||
Ии^пКл)* |
|
|
^ |
|
||
“» s |
«22(U ; |
«24 = — ли®*-1 Л,(*#*>: |
|
|||
а» ( $ ‘) = - (К ф ' + |
й Ц) fn+i К ? ‘) ^ '3>- |
|
||||
- n x - ^ ^ V + i j ^ / ^ x ^ ) ; |
|
|
|
|||
«26 ^ |
«2В (Й1*); |
«31 = |
- « ! * |
“‘1/Cn+1 |
+ |
|
+ [2п (1 — п) х—2 — £i] КпK i) Ии! |
|
(ХЛ8) |
||||
«32(У = 2ц1^ у Г 1Кп+1 (*Ы — 2^ |
п (и — J) X |
|||||
Х х |
2К п(х£2); |
«зз ^ « 3 2 (&,). |
|
|
|
|
«34 = |
— 2ц{2,^|1,Х—1/ п+1 К ^ ) |
|
|
|
||
— [2п (1 — п) X-2 — tf11’] lnK i 11); |
|
|
||||
«35(Й1*) = 2у№пф>С'1п+\ (ИЙ1*) + |
|
о |
||||
+ М2П(П — \)Х ~% ('> 41)У’ « З в ^ « 3 5 ( Й |
) ; |
|||||
«41 = |
* " 1пКпK i): |
«42(£2) = |
и Кп+1 |
~ |
||
«43=«42 (£з); |
«44 = |
— к~ 'п1п |
|
|
|
|
«45(tf’) = t f ’/-+1 (ИЙ°) + ПУГЧП^ |
^ |
|
||||
«46==«45(Й V |
|
|
|
|
|
|
«51 = KiKn+i К О — п К п М : |
|
|
||||
«52(£2) = — П/С„ (х£2)» |
|
|
|
|||
237
«бз— «62 (У ; «54 = ^Г ^п +i (хЙ°) + riin(кй0);
«ев (Й°) = |
лЛ| (**Й *); |
«5в = |
«65(Й *)» |
«61 S «64 = |
|
|
|
«62(У ~ |
Й^П (*£2)» |
«63 = |
«62 (У ; |
««5 (Й °) = |
- &"г1п(ИЙ0 ); |
«66— «.5 ( й ° ). |
|
Подставляя решение (Х.14) в граничные условия (Х.5), после ряда преобразований получаем, что для вычисления элементов характеристического определителя, соответствую щего потере устойчивости с кручением, необходимо сделать замены, указанные для сжимаемого тела. Выполнив неко торые преобразования, выводим, что характеристические определители для потери устойчивости с кручением и без кручения для несжимаемого тела совпадают. Заметим, что этот вывод получен для одного изолированного волокна. Аналогичный вывод можно сделать и для теории малых докритических деформаций, используя данные работы [13].
Для несжимаемого тела при осесимметричной потере устойчивости находим элементы характеристического опре делителя в следующем виде:
«11 (У = ЗИ иК -'С Л ш |
+ ( ^ 1 з й + |
Pia + |
||||||
+ «33*0К (* У ; |
aJ2= а ц(У ; |
|
|
|
||||
«13(Й°) = |
2 р !^ 1>*-1/1(*Й1)) - |
№ |
№ |
+ |
||||
+ р1з 4 - о Т 'ц / (к^2°); |
|
|
|
|
||||
«14 - |
«18 (Й °); |
а * |
(£2) = |
- (Х»Й + |
y P |
i s ^ i K , ) ; |
||
« 2 2 S |
«2 1 ( У ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(X. 19) |
« 2 4 ^ « 2 3 ( Й 0 ); |
|
|
|
|
|
|
||
«31 (У |
= U K i К |
2); |
«32655 «31 (У ; |
|
|
|||
« з з Л - Й Ч С х ^ » ) ; |
|
|
|
|
||||
«84 s |
«38 (Й ° ) ; |
а я |
( У = |
&К К |
2); |
|
|
|
«42 = |
«41 ( У ; |
|
|
|
|
|
|
|
«43 (Й |
) = * |
Й ' **/ ( * й 0 ); |
а 44 s i |
а 43 (Й 1 )- |
|
|||
238 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Для частных форм упругого потенциала характеристи ческие определители существенно упрощаются.
§ 3. Тело, армированное конечным числом волокон
Рассмотрим тело, армированное конечным числом (т) волокон кругового поперечного сечения радиуса R4 (д = = 1, т) (см. рис. 26). В этом случае граничные усло вия на поверхностях раздела сред для сжимаемых тел име ют вид (Х.4), а для несжимаемых — вид (Х.5). Вначале, учитывая выражения (VI. 15), рассмотрим построение реше ний типа (Х.7). Оно имеет следующий вид для матрицы:
|
+оо |
т |
) |
Y = у sin ухя |
2 |
2 АпКп(Ciугр) ехр ш0р; |
|
|
—00passl |
|
|
+во т |
|
|
|
%= cosyxa 2 |
2 |
[ВРпКп (Ъугр) + С’К Л 3угр)] X |
|
n=_eop=i |
(Х.20) |
||
X exp inep; |
|
|
|
АР — А р * Р р - R P . |
Г р = С р* |
||
/1—ft = |
П™ |
&TU |
п = '-'П» |
у = л//; 1ш Ло з= 1ш £§ е= Im С§ = 0.
Аналогичным образом для <?-го волокна можно записать решение уравнений (II 1.51) в форме
W®* = у sin ух3 2 A ^ 9In(^lyr9)expineq;
Х<1,? = |
cos у*з |
2 [М1,9/„ ( d V ,) |
+ C ™ I n X |
(Х.21) |
|
|
|
—оо |
|
|
|
X (Сз’V ?)l exp in%; |
|
|
|
||
А |
= А п1)9,( |
В^п = |
Вп |
=■ С*1*®| |
|
1ш Л&1* в Im В{о)чв |
ImCtf* = |
0. |
|
||
При удовлетворении граничным условиям на д-й по верхности раздела сред необходимо решения типа (Х.20) и (Х.21) представить в виде рядов Фурье в^-й системе коорди нат. Заметим, что в граничные условия на д-й поверхности входят функции, характеризующие форму потери устойчи вости матрицы, а также те функции, которые характеризуют
239
форму потерн устойчивости только д-го волокна. По' следние в силу (Х.21) уже представлены в виде рядов Фурье
вq-й системе координат, поэтому необходимо представить
ввиде рядов Фурье в q-й системе координат только функ ции, характеризующие форму потери устойчивости матрицы. Для вычисления указанных рядов Фурье воспользуемся теоремой сложения цилиндрических функций, которую за пишем в следующем виде:
|
+оо |
|
Kv {rpc) exp tv0p = |
2 (— 1)v/„ (crq) Kv-n (RgpP) x |
|
X exp i (v — n) ф?р exp inQq} |
(X.22) |
|
c = |
const; rqc R qp. |
|
Подставляя выражение (X.22) в решение для матрицы (Х.20), получаем это решение в виде рада Фурье в q-й си стеме координат
^ = 7 sin ух3 2 { ^ « ( ^ > + / „ ( ^ 9) X П=а—601
т+оо
.X S ' |
2 |
Л?(— 1 YKv-n(ZifRqp)expi (v — |
|||
p=l v= —во |
|
|
|
|
|
— n) Ф9Р| exP in%> |
A-n = |
|
|
||
X = cosyx3 |
2 ( W |
r . t o ) + / « t o ) X |
|||
|
n = — oo V |
|
|
(X.23) |
|
|
|
|
|
|
|
X 2 ' |
2 |
fiv (— \)vKv-n (tiVRqp) exp i (v |
7, n) X |
||
p—1 V=s—cc |
|
|
-fee |
|
|
|
|
|
m |
|
|
X ф?р’+ |
CnKndзУгч) + lП(£зУгв) 2 |
2 |
X |
||
|
|
|
p=\ v= —oo |
|
|
X (— l)vC?Kv-n (ZeyRqp) exp i (v —n) ф,р| x |
|||||
X exp inBq; |
|
|
|
|
|
B tn^ B np-, |
CLn^C *. |
|
|
||
В выражениях (X.23) штрих возле знака суммы обозна чает, что в сумме член при р = q опущен.
240