книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

сжимаемого тела Д = О (1.15) при следующем уравнении:

состояние е'0) = 2 вЭ]'1, где 9t — интенсивность девиатора логарифмических удлинений формоизменения Грина

(1.40), е\а) — интенсивность (1.34) тензора истинных напря­

жений (отл) (см. § 4 гл. I). Из рис. 12 следует, что сущест­

бые удлинения Я.) не происходит потеря устойчивости. Из сравнения этого вывода с выводами § 5 гл. VII видно, что в зависимости от формы упругого потенциала можно получить не только количественные, но и качественные выводы противоположного характера. Это обстоятельство следует иметь в виду при анализе решения конкретных задач в любой из постановок.

§ 8. Полый цилиндр при осевой нагрузке (неосесимметричная задача)

Рассмотрим задачу предыдущего параграфа при неосе­ симметричной форме потери устойчивости. Принимая ци­ линдрические поверхности незагруженными, получаем при г — R ± h граничные условия в виде (VI.50). Величины

Oik, и а;/ определяются так же, как и в § 8 гл. VI. Ре­ шение основных уравнений выберем в форме (V.15). Под­ ставляя решение в форме (V.15) в граничные условия (VI.50), выводим после ряда преобразований характеристи­

ческое уравнение, предварительно выделяя в Ат„ и Ат„. множитель у. Элементы характеристического определителя имеют следующий вид:

191

Для определения элементов второй, четвертой и шестой •строк необходимо в элементах соответственно первой, тре­ тьей и пятой строк изменить знак перед в на противополож­ ный. Следует отметить, что в данном параграфе приведена наиболее общая задача в цилиндрических круговых коорди­ натах для. несжимаемого тела. Как и в предыдущих пара­ графах, на торцах цилиндра выполняются условия (VI 11.35). Таким образом, при выбранном решении на торцах цилин­ дра реализуются в интегральном смысле условия шарнирно­ го опирания. Аналогичные результаты можно получить и при другом представлении решений. Для неогуковского те­ ла выражения (VIII.38) значительно упрощаются.

* * *

В настоящей главе получены характеристические урав* нения для ряда задач устойчивости несжимаемого трансвер •

192

сально-изотропного тела при произвольной форме упругого потенциала. Из полученных характеристических уравне­ ний можно найти известные частные случаи для конкретной формы упругого потенциала.

Устойчивость полого и сплошного изотропного ци­ линдров при осевом сжатии рассмотрены в работе [921 для изотропного тела с произвольной формой упругого по­ тенциала. Примеры приведены для неогуковского тела. Исследование выполнено для осесимметричной и неосесим­ метричной задач.

Осесимметричная задача, в основном, для случая растя­ жения изотропного тела с потенциалом общего вида иссле­ дована в работах [85, 911. Примеры приведены для неогу­ ковского тела. Изучены различные случаи представления решения.

Неосесимметричная задача (стержневая форма потери устойчивости) для неогуковского тела рассмотрена в рабо­ те [91. Осесимметричная задача для полого изотропного ци­ линдра при частном виде упругого потенциала исследова­ на в работе [311. Результаты экспериментов приведены в [521.

В работе [62] рассмотрена задача для изотропного кругового цилиндра при неоднородном докритическом со­ стоянии (осевая нагрузка и кручение).

Для полой изотропной сферы, загруженной равномер­ ным внешним давлением, при различных граничных усло­ виях задачи исследованы в работе [861. Материал пред­ полагался изотропным. Записано представление реше­ ний в сферической системе координат. Численным инте­ грированием получены результаты для тела с потенциа­ лом Муни.

Устойчивость при растяжении полосы и прямоугольно­ го образца рассмотрена в [84, 87]. Несколько работ посвя­ щено исследованию устойчивости полосы при сжатии. Для изотропного тела с потенциалом общего вида эта задача исследована в [881, где приведен пример для неогуковского тела. В последующем только для неогуковского тела эта задача рассматривалась в работах [9, 67, 721. Задача о двух­ осном сжатии полосы для тела с потенциалом Муни иссле­ дована в 1581; поверхностная неустойчивость полупростран­ ства в случае неогуковского тела — в (711. Ряд плоских задач с прямолинейными границами рассмотрен в моногра­ фии [561.

Ч А С Т Ь Т Р Е Т Ь »

УСТОЙЧИВОСТЬ АРМИРОВАННЫХ ТЕЛ

Г л а в а IX

УСТОЙЧИВОСТЬ СЛОИСТЫХ СЖИМАЕМЫХ И НЕСЖИМАЕМЫХ ТЕЛ

В IX и X гл. выясним механизмы потери устойчиво­ сти слоистых и волокнистых сжимаемых и несжимаемых материалов. Этот вопрос особенно важен в связи с тем, что при построении теорий прочности при сжатии композит­ ных материалов в качестве возможного механизма разру­ шения принимают потерю устойчивости структуры. Во всем изложении будем считать армированные тела кусочно-од­ нородными, т. е. будем исходить из точной постановки.

§ 1. Постановка плоских задач. Возможные формы потери устойчивости

Исследуем плоскую деформацию в плоскости л^ол:2, ког­ да имеют место соотношения (III.62). Будем считать, что материал состоит из слоев связующего и наполнителя, ко­ торые чередуются вдоль оси оха- Все величины, относящие­ ся к наполнителю, будем отмечать индексом 1. Так, толщи­ ны слоев обозначим через 2h и 2Л(1) (рис. 13, а). Каждый из слоев отнесем к системе координат, центр которой располо­ жен на средней линии слоя. Докритическое состояние при­ мем двухосным однородным:

Исследуем потерю устойчивости в структуре материала, когда длина волны формы потери устойчивости определя­ ется не длиной образца или формой элемента конструкции, а соотношениями между геометрическими и механическими

характеристиками слоев. Такое явление возникает, если кривая зависимости критического удлинения (корень ха­ рактеристического уравнения) от параметра волнообразо­ вания имеет максимум, когда параметр волнообразования отличен от нуля. Для решения рассматриваемых задач не­ обходимо построить решения уравнений (III.68), (III.69) в случае сжимаемого или уравнений (III.68), (IIIЛОЗ) в случае несжимаемого тела, которые являются периодиче-

скими по х2. Потом из условия непрерывности вектора на­ пряжения и вектора перемещений на линии раздела

(IX 2)

нужно получить однородную систему уравнений. Условие существования ненулевых решений даст характеристиче­ ский определитель. Заметим, что для рассматриваемых за­ дач возможны различные формы потери устойчивости. Ис­ следуем только формы потери устойчивости, показанные на рис. 13, б, в, г, д, которые назовем формами потери устой­ чивости соответственно первого, второго, третьего и четвер­ того рода. Необходимо отметить, что для форм первого и

третьего рода период решения вдоль ох2 равен 2 (А + А<1>), т. е. равен периоду структуры, а для форм второго и чет­

вертого рода период решения вдоль ох2 равен 4 (А + А(1)). Таким образом, формы потери устойчивости второго и чет­ вертого имеют период вдвое больший по сравнению с фор­

196

мами первого и третьего рода. Аналогично можно рассмо­ треть и другие формы потери устойчивости с периодом, крат­ ным периоду структуры. Поскольку условия непрерывности векторов перемещений и напряжений записаны только на одной линии раздела, то для любой из форм потери устой­ чивости, кроме условий периодичности, необходимо также выполнить и соответствующие условия симметрии. Так, для формы потери устойчивости первого рода перемещений

«2/ и «и являются четными функциями похц и X2t\ для фор­ мы потери устойчивости второго рода ш — нечетные функ­

ции, a t&'i — четные функции, для формы потери устой­

чивости третьего рода иц и i4V — нечетные функции, для формы потери устойчивости четвертого рода «я — нечет­ ные и и*? — четные функции.

Необходимо отметить, что поскольку исследуемая задача имеет периодические коэффициенты, то для ее решения мож­ но применить теорию Флоке. Для рассматриваемых форм потери устойчивости результаты совпадают. Кроме того, следует отметить, что во всех слоях наполнителя и связую­

щего величины напряжений 022 одинаковы, поэтому везде в этих напряжениях опустим индекс i и 1. В величинах

же а*?, %21 и можно опустить только индекс t, так как они будут разные в заполнителе и связующем.

§ 2. Представление решений для сжимаемого тела

Ограничимся представлением решений типа (V.6), для дру­ гих форм решений можно получить аналогичные резуль­ таты. Учитывая второе выражение (V.1), для формы по­ тери устойчивости первого рода решение выбираем в сле­ дующем виде:

в <1> одинаковы для всех слоев.

•197

Для формы потери устойчивости второго рода решение выберем в виде

%, = (-4 ch -у-т)**-,, + В ch -у- Tj3x2() sin-^- xt;

= [A(t) s h - f T,£>4> + Ba) sh - f ч М > ) sin - f

Решение (IX.4) записано для i-x слоев. Чтобы получить решение для i + 1-х слоев или i — 1-х слоев, необходимо в выражениях (IX.4) изменить знаки перед постоянными

A, В, Л(,) и В(1). Построенное таким образом решение удов­ летворяет условиям периодичности и симметрии, харак­ терным для формы потери устойчивости второго рода, если учесть второе выражение (V.1).

Для формы потери устойчивости третьего рода решение выберем в следующей форме:

Заметим, что в решении (IX.5) постоянные Л, В, Л(1)

и В(1) одинаковы для всех слоев. Учитывая второе выраже­ ние (V.1) и решение (IX.5), получаем, что условия периодич­ ности и симметрии, характерные для формы потери устойчи­ вости третьего рода, выполняются.

Для формы потери устойчивости четвертого рода реше­ ние выберем таким образом:

X, = (Л sh-j- г\ъх21+ В sh -j- т1зХа, jsin -у- хг;

Решение (IX.6) записано для i-x слоев. Чтобы получить решение для i + 1-х или i — 1-х слоев, необходимо в вы­ ражениях fIX.6) изменить знаки перед постоянными Л,

B, Л(,) и Вг}. Учитывая выражения (IX.6) и второе (V.1), получаем, что построенное решение удовлетворяет услови­ ям периодичности и симметрии, характерным для формы потери устойчивости четвертого рода.

198

Следует отметить, что решения (IX.3) — (IX.6) записа­

ны только для случая, когда величины т]| и т]з (III.65) поло­ жительны и не равны между собой. Для других случаев можно аналогичным образом записать решения с учетом выражений (V.7), (V.8) и других возможных представлений.

Учитывая соотношения (V.l), (V.4), (IX. 1) и (IX.2), получаем граничные условия на линии раздела, сформули­ рованные для функций 5Cj и yj1’:

*t »

(IX.7)

199

^ 2 (P'12 "f* ® u ) d X f d X f t l*M“ —^ ^2 X

x j

Таким образом, для сжимаемого тела граничные усло­ вия на линии раздела, сформулированные для функций %,

и И*0, имеют вид (IX.7), а решения для рассматриваемых форм потери устойчивости — вид (IX.3) — (IX.6). Заметим, что с целью получения всех величин для наполнителя не­ обходимо во всех формулах гл. II—V поставить возле всех величин индекс 1.

§ 3. Характеристические определители для сжимаемого тела

Подставляя решения (IX.3) — (IX.6) в граничные усло­ вия (IX.7), в результате обычной процедуры находим ха­ рактеристические определители в виде (VI.24) при i, / = =» I, 2, 3, 4. Запишем элементы характеристического опре­ делителя для формы потери устойчивости первого рода:

®ц (Лг) в Лг^г {1Л1М12 4* Огг) (о22 4* ст22^2 2)] Т)!—

— ft-iPu (<*.?ЯГ2— а и ) 4* а22 (р.12+ апЯГ2)]} сЬл уГ]2;

а 12 s а 11 (Лз)!

200