книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

Аналогичным образом можно представить решение- и для других случаев.

Таким образом, все величины и граничные условия вы­ ражаются через функцию X, которая имеет вид (V.6) — (V-8).

§2. Пространственная задача для сжимаемого тела в круговой цилиндрической системе координат

Рассмотрим представление решений и граничных усло­ вий в круговой цилиндрической системе координат (г, 0, дса), когда выполняются условия (III.44). Для статических задач общее решение при однородной докритической де­ формации запишем в форме

Величины аи и цг/ определяются по формулам (11.41) и (11.42) с учетом (III.44) и (111.45).

Используя выражения (III.59), запишем формулы для: нахождения составляющих поверхностных сил на круго­ вой цилиндрической поверхности, принимая во внимание,, что в этом случае

Аналогично с учетом выражения (111.60) получаем фор­ мулы для определения составляющих поверхностных сил

121

при ха = const в круговой цилиндрической системе коор­ динат

+ *1(айЗ+ o & f ) .

Из (V.9) и (V.ll) после ряда преобразований находим выраженные через функции Y и X формулы для определения составляющих поверхностных сил на круговой цилиндри­ ческой поверхности

122

Аналогичным образом из (V.9)н (V.12) после ряда пре­ образований получаем выраженные через функции ¥ и X формулы для определения составляющих поверхностных сил при х3 = const-.

pr= Pi3^i (1 + Via1) —г— щ^г-v +

Из выражений (V.9), (V.13) и (V. 14) находим граничные условия в перемещениях и напряжениях, сформулирован­ ные для функций ¥ и X, которые являются решениями урав­ нений (II 1.51). В зависимости от соотношений между Ц

(III.47) возможны различные случаи представления реше­ ния в круговой цилиндрической системе координат. Рас­ смотрим случай, когда £| и вещественные и не равны

между собой. Если к тому же они все положительные, то решение можно выбрать в одной из форм:

123

^ — [Атп/„(у£2Г) Ч" А тпК п(у^Г) ~Ь

+ Атп1п(yt-S) + АтпКп(y£3r)] cos (п0 + ух3); (V. 16)

V = h (-Щ- г) sinnQ^Akn e x p х3+

где /„ (х) — функция Бесселя; /„ (х) — функции Бесселя чисто мнимого аргумента; Кп (х) — функции Макдональ-

да; Ь = \УЩ .

Если при вещественных и не равных между собой вели­ чинах Щи Щодна из них (например, (|) является отрица­

тельной, то ранения несколько изменяются. Запишем в этом случае решение, соответствующее решению (V.15),

Ч = [AlmnI n (y^s) -f A Z ,K n(ySiOl sin yx3sin n0;

-f- Amnln (v^3r) 4” AmnKn(vSsOl COS yx3 COS Я0,

где Nn (x) — функция Неймана.

Аналогично записываются и другие решения для это­ го случая, а также для случая, когда две из величин Щ

отрицательные.

Если при вещественных и различных £| и £§ все величи­ ны ZJ отрицательные, то в (V.15) — (V. 17) функции /„ (х) и

Jп (х) необходимо поменять местами, а функции Макдо­ нальда заменить функциями Неймана.

Дальнейшие рассуждения по построению рапений в за­ висимости от соотношений между £* с целью сокращения

проведем применительно к решениям типа (V.15).

Если >• 0, а и £| комплексные, то согласно (III.55) находим

¥ = [Amnln(у£/) + Al£nKn(y^r)! sin ух8 sin п0;

'X =*=[АптReJH(у?/) + Amn Ini J„(у£*г) +

124

“Ь АтпR e / t f W > + Arm Irn H^n (vSar)lcos Y*s COS n0,

где HW(x) — функция Ханкеля первого рода; £j = \УЩ",

Ъ = Ц = &

Если ^ > 0 (i = 1, 2,- 3) и £ |= {£, то согласно (III.56) получаем для функции Y такое же выражение, как и первое в (V.19), а для функции ЗС— следующее выра­ жение;

Я = lAmnln (v£ar) + А^пКп(Y^ A)) COS ух8 cos л0 +

+ г [А„п1п(у ^ ) + А^„Кп cos ухаcos (и + 1)6. (V.20)

Аналогично строятся решения и для других соотношений между величинами

Таким образом, все граничные условия сформулированы для функций Т и X, которые для различных соотношений представляются в виде (V.15) — (V.20) и аналогичным об­ разом.

§ 3. Пространственная задача для сжимаемого тела в прямоугольной системе координат

Вначале рассмотрим случай, когда выполняются усло­ вия (III.44). Для статических задач при однородном докритическом состоянии общее решение записывается в фор­ ме (III.52). Учитывая соотношения (11.22), (11.40), (III.44) и (III.52), после ряда преобразований получаем формулы для определения составляющих поверхностных сил при хх = const:

125

ФЛ2

Аналогичным образом получаем формулы для нахождения составляющих поверхностных сил при хг = const и х3 = const:

Р'х = A f r a [ — £ г + 0 + ® & r W ) - | r ] Y -

р\ = И13^1 (1 + «ЗЗ^Г2(iia1)-—^ — Y .

дхфх3 ~

126

Представление решений уравнений (III.51) рассмотрим

только для случая, соответствующего решению типа (V. 15).. При этом решение уравнений (II 1.51) в прямоугольной си­ стеме координат можно записать в следующих формах:

127

Таким образом, граничные условия в перемещениях и напряжениях, используя соответственно (III.52) и (V.21) — <V.23), для функций Ч? и X можно представить в виде (V.24) <и (V.25) и аналогичном им виде.

Заметим, что в данном параграфе рассмотрен случай, когда выполняются условия (II 1.44). Если же однородное докритическое состояние произвольно трехосное, то об­ щие решения (II 1.52) несправедливы. Тогда решения сле­ дует представить в виде (III.40) и (III.41), где дифферен­ циальные операторы L^m имеют форму (II 1.42). Представим решение в следующем виде«

«8 = (*3) sin k-^-XySmn^- х2.

Согласно выражениям (III.42) и (V.26) для определения функций fSH (х3) находим систему уравнений

Л-1 ( Р 13 + 0 33V 2) -^ 2 -------(°11 + ° П ^ Г 2) J tj -----------

128

+ [(«33 + О33Я32) ^ Г ~ (^13 + °П^З 2) (*-^-) —

- (te + A - 2) (ft -J-)2] /Й = 0.

Гранитные условия в перемещениях и напряжениях по­ лучаются обычным образом.

§ 4. Плоская задача для несжимаемого тела

Рассмотрим плоскую статическую задачу в плос­ кости хгох^для несжимаемого тела при однородной докритической деформации. Из выражений (III.101) для статиче­ ских задач находим

Величины ац и р# определяются по формулам (11.50), а*/0 — из (II 1.87), а Я.г связаны соотношением (II.8). Функ­ ция X является решением уравнения (III.68), где величины

til и т]1 получаются из (111.101».

Из выражений (111.97) и (V.28) находим следующие фор­ мулы для определения напряжений через функции X:

01г==^ар ^ |" “ h ^ ) t e r x-

Согласно (III.72), (V.28) и (V.29) получаем формулы для составляющих поверхностных сил при хх — const:

Учитывая (Ш.70), (V.28) и (V.29), определяем формулы для составляющих поверхностных сил при ха = const. За­ метим, что в выражениях (V.30) и (V.31) составляющие по­ верхностных сил выражены через функцию X:

Таким образом, граничные условия в напряжениях и перемещениях, используя соответственно (V.30), (V.31) и (V.28), можно выразить через функцию X, которая опре­

деляется из уравнения (III.68), а величины ц! и т)з — из (III.ЮЗ). Решения уравнения (III.68) для различных слу­ чаев имеют вид (V.6) — (V.8). Необходимо иметь только

в виду, что t)| и т,! находятся из выражений (IIIЛОЗ).

Все соотаошения данного параграфа существенно упро­ щаются, если докритическое состояние также определено в рамках плоской деформации. В этом случае имеют место со­ отношения (III. 104).

130