книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfнесжимаемости (11.71). Для определения компонент ximap получаем формулу
X/map — Фтп Wm,n) ^Нпар ~Ь
+ Л “ [ М ’4 н" 4 |
) ф , + Н ' |
<п-75) |
С учетом изложенного для |
первого варианта |
теории |
малых начальных деформаций несжимаемых тел нахо дим уравнение движения в виде
lX/mapUa,p 4“ Фтп “Ь Wm.n)Р\,1 “Ь Хщ — Рит ~ |
(П.76) |
|||||
Соответствующие |
упрощения |
необходимо |
провести и |
|||
в граничных условиях на поверхности S1 |
|
|
||||
I^mapWa.P -f- Фтп Н- Um,n) Р\ ^ i |s, ~ Рт, |
(11.77) |
|||||
а в смешанных граничных условиях на S 3 |
|
|
||||
{1и«ТарПа,р “Ь (б,„ -f- Wl.n) Р] |s, — Р1} (1 — 6<l) = |
0; |
^ |
||||
K/lapWa.p + |
(62n + |
ul„)l |s, — P2) (1 — 6e) = |
0; |
|
||
{[Ki3apWa.p + |
(бзп + |
W3.n)] |s, — P3} (1 — 6/3) = |
0; |
^ |
||
|s, = |
0; |
6(2W2|S , = |
0; 6<зua|s, = |
0. |
|
|
Таким образом, |
выражения |
(11.72), (11.76) — (11.78), |
||||
(11.55) исчерпывают постановки динамических и стати ческих линеаризированных задач теории малых началь ных деформаций (первый вариант) для несжимаемых тел. Последующие упрощения проводятся по аналогии с упро щениями для сжимаемых тел.
Таким образом, можно провести следующую классифи кацию линеаризированных задач теории упругости: 1) ли неаризированные задачи при произвольных (конечных) начальных деформациях; 2) первый вариант теории малых начальных деформаций; 3) второй вариант теории малых начальных деформаций; 4) третий вариант теории малых начальных деформаций.
При переходе от теории произвольных начальных де формаций к первому варианту теории малых начальных деформаций предполагается, что удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей и что изменения размеров тела в результате деформации не учитываются. Для перехода ко второму варианту теории малых начальных деформаций дополнительно предполагается, что начальное состояние
6J
можно определить по геометрически линейной теории. В случае перехода к третьему варианту теории малых на чальных деформаций дополнительно к изложенному пред полагается, что углы поворота также являются малыми величинами по сравнению с единицей.
§9. Основные соотношения
вкриволинейной системе координат
Линеаризируем соотношения параграфа 9 гл. I, при чем под линеаризированными соотношениями будем по нимать соотношения между возмущениями. Заметим, что для получения величин начального состояния необходимо в формулах § 9 гл. I везде поставить индекс нуль. Из вы ражений (1.127) получаем
2 е „ = (б Т + V /t/0m) V l u m + (6 Г + V . 4 1) V/Hm. (П .7 9 )
Из последнего выражения (1.128) выводим линеари зированное условие несжимаемости
<% Ф Т + V /tfi) V tum = 0. |
(11.80) |
Из уравнений (1.129) находим линеаризированное уравнение движения
V, [Sln (бЯ* + V„uo) + S‘<?V„uml + Х 'т = 0. (11.81)
Заметим, что здесь, как и в (1.129), для сокращения записи из объемных сил не выделяются силы инерции. Граничные условия на части поверхности Sj принимают вид
I Sln(6? + V„Mom) + Si?S!jxm\ N t |s4 = P'm. (I I-82)
Аналогичным образом получаем граничные |
условия |
||
на части поверхности |
S 2 |
|
|
. |
итIs, = 0. |
(П.83) |
|
Линеаризировав соотношения (1.131), находим для |
|||
сжимаемого тела |
|
|
|
gin _ |
Vp«a |
(11.84) |
|
|
|
||
где
(П .8 5 >
6 2 ,
Запишем смешанные граничные условия на части по верхности S3:
{[S'" (6 nl + Vnu'0) + |
S^Vn«M Nt |Sj - |
P '1} (1 - |
6tl) =0; |
|
{[Sin(6* + Vnut) + S^V„n2I Ni |s, - |
P*2} (1 |
- |
6,2)= 0; (11.86). |
|
{[Sln(63 + V„^) + SinVn«3] Nt |s, - |
P*3} (1 |
-6«) =0; |
||
6л«i |s, = 0; |
6<2H2 |s, = 0; |
6<3u3 |s, = 0. |
||
Соотношения (11.56), (11.57), (11.81) — (11.86) исчер пывают постановку статических и динамических линеари зированных задач для сжимаемых тел в криволинейно» системе координат. Можно для формулировки задач ис пользовать тензор напряжений Кирхгофа. Тогда уравне ние движения принимает вид
|
|
V / m + X*m = 0. |
(11.87) |
||
|
Граничные условия на части поверхности S, запишем |
||||
в форме |
|
|
|
|
|
|
|
* " Х к = Р ‘т . |
(И-88) |
||
|
Смешанные граничные условия на части поверхности |
||||
S 3 будут иметь вид |
|
|
|
||
(*" N, |s .-P * 1) (1- 6 л ) =0; |
|
(f'4 - Is,—Р*2) (1—6Й)= 0; |
|
||
A |
k - P |
,3) ( i - « o ) = |
o; |
(11.89) |
|
6л |
Is, = 0 ; |
6Йн2|s, ==0 ; |
6юн3 |s, = 0, |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Vafi — VpMa. |
(11.90) |
||
|
Линеаризированное |
уравнение состояния представим |
|||
в этом случае в виде |
|
|
|
||
|
|
t l m |
= |
to'^VpHc, |
(11.91) |
где |
|
|
|
|
|
to'""* = я,'л“р(6„т + V„u0m) + -^-gma ( - ц - + |
(и-92) |
||||
Выражения (11.56), (11.57), (11.83) и (11.87) — (11.92)
также полностью исчерпывают постановку линеаризиро ванных задач для сжимаемых гиперупругих тел в криво линейной системе координат.
63
Для получения линеаризированных уравнений состоя
ния несжимаемого тела нужно вычислить величину Gln. С этой целью, линеаризировав шестое соотношение (1.125), толучим
Gtr<f„ + GorGrj = 0. |
(11.93) |
Умножая формулу (11.93) на Go” и учитывая шестое выражение (1.125) и линеаризированное соотношение <(1.127), находим
G,n = - 2 C fO JV |
(11-94) |
Из выражений (11.79) и (11.94) выводим |
|
G"1= — (б? + V t f) (GoPGo" -f GoGpn) VpMa. |
(П-95) |
Из соотношений (1.132) получаем линеаризированное уравнение состояния:
S1" = \ilna®Vp>Ua + pGo", |
(11.96) |
где
х [ - £ г + -ГТ-) ф° - Рп (GfGlr + G?Gg")J. (11.97)
\K t }
Необходимо отметить, что на аргументы упругого по тенциала в силу условия несжимаемости наложена связь
<Jet |б*+ 2e*e||=G0/g0=[det ||G“s || ] [det ||g°pq||]-1= /з = 1. (11.98)
Для несимметричного тензора напряжений Кирхгофа
.линеаризированное уравнение состояния можно записать в виде
t m = K^ P Vp£ia + с ? ( 6 ? + V „ u ? ) р , |
(11.99) |
■где
+г"1т(4 ‘+4 г)ф"+'л:?]- (,иоо)
<64
С учетом выражения (11.99) линеаризированные урав нения движения для гиперупругого несжимаемого тела можно записать в форме
[x"**Vp«0 + Go"(67 + V„Uom) Pi + X’m = 0. (П.101)
Граничные условия на части поверхности S x представим в виде
+ &0п (6? + |
V y 0") р] N |
t |Sl = Р'т. |
(11.102) |
|||
Аналогичным образом получаем смешанные граничные |
||||||
условия на части поверхности S 8: |
|
|
|
|||
{ [^ “PVpHcc + Go" (61, + |
V„u{,) p ] \ s - P 1} (1 —6«)=0; |
|
||||
U ^ V ^ + G '" (6* + |
Vnul) Pi к |
- P '2) (1 ~ M - 0 ; |
|
|||
{[^Vpwa+G'o" (6*+V„t4) pi |Ss - |
/>•»} (1 — 6,3) = |
0; |
( * ' |
|||
6<i«i к = |
°; |
к |
= °> |
б<зи3к = |
°- |
|
Соотношения (11.56), (11.57), (11.80), (11.83), (11.100) — (11.103) исчерпывают постановку статических и динамиче ских линеаризированных задач для несжимаемых гипер упругих тел. Для формулировки задач можно использовать тензор напряжений Кирхгофа. В этом случае уравнения состояния запишем в виде
t‘m = |
+ Gln (67 + |
V„«7) Р . |
(II. 104) |
Условие несжимаемости будет иметь вид |
|
||
til ФТ + |
У/«Г)ит1 = |
0. |
(11.105) |
Соотношения (11.56), (11.57), (11.83), (11.87) — (11.90), (11.104) и (11.105) исчерпывают постановку статических и динамических линеаризированных задач для несжимае мых гиперупругих тел в криволинейной системе координат при использовании несимметричного тензора напряжений Кирхгофа.
В некоторых работах исследования выполнены с при влечением тензора напряжений (1.133). С целью установ ления связи между изложенными результатами, полу ченными с привлечением тензора напряжений (1.133), линеаризируем соотношения (1.133). В результате получа
ем следующую связь между компонентами тензоров х11
и
s " « у ? ь[т" + • № (67 + |
v,«mi. (II.106) |
65
Для несжимаемого тела выражение (11.106) принимает
ВИД
= |
+ Л |
(6Г + VsUo) Vrum, |
(П.107) |
где 7з — третий |
инвариант |
тензора деформаций |
Грина |
(1.128). |
|
|
|
|
* |
* * |
|
Из анализа результатов данной главы видно, что для получения основных выражений для криволинейной систе мы координат необходимо знак частной производной заме нить на знак ковариантной производной и соответствую щим образом расставить знаки ковариантных и контрва риантных составляющих тензоров. Это обстоятельство дает возможность в дальнейшем не использовать тензор ный анализ и весьма просто записывать соотношения для криволинейных систем координат, располагая аналогич ными для прямоугольной системы координат.
Таким образом, в настоящей главе приведены постанов ки статических и динамических линеаризированных задач теории упругости при произвольных начальных деформа циях для сжимаемых и несжимаемых тел в прямоуголь ных и криволинейных системах координат для общей формы связи между напряжениями и деформациями. Кроме того, кратко изложен ход упрощений для малых начальных деформаций и проведена классификация линеа ризированных задач теории упругости. Все результаты получены в координатах недеформированного тела.
Впервые строго линеаризированные задачи для изо тропного гиперупругого сжимаемого и несжимаемого тел исследованы в координатах начального деформированного состояния в работе [60], где приведены основные уравне ния и граничные условия для случая произвольных (ко нечных) начальных деформаций, рассмотрено представле ние решений для статических задач и дан ряд примеров. В этой работе линеаризированная теория упругости при конечных начальных деформациях получила название «теории малых деформаций, наложенных на конечные де формации». Указанное название получило распростране ние в последующих публикациях, где результаты работы [601 получили развитие. Так, в [811 рассмотрены линеа ризированные задачи для тела с криволинейной анизо тропией; в [82] — деформационная анизотропия в коорди
6 6
натах деформированного тела; в 1951 — линеаризирован ные уравнения в перемещениях в координатах начального деформированного состояния тела. В дальнейшем линеа ризированные задачи рассматривались во многих публи кациях, в которых исследовалась устойчивость деформи рования и закономерности распространения волн в телах с начальными напряжениями. Список известных автору публикаций по трехмерной теории упругой устойчивости при конечных докритических деформациях приведен в кон це книги.
Заметим, чтолинеаризированные задачи также связа ны с теорией собственных напряжений Э. Кренера [11].
В менее общей по сравнению с постановкой, приведен ной в [60], впервые линеаризированные уравнения теории упругости получены в работе [55] при некоторых допу щениях и более строго — в работе [66].
Глава III
ОБЩИЕ СВОЙСТВА, ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
И п ред с та в л ен и е реш ен и й л и н еа ри зи ро ва н н ы х з а д а ч
§ 1. Свойства симметрии
Рассмотрим свойства симметрии тензоров, компоненты которых входят в линеаризированные уравнения состоя ния (11.26) — (11.30). Остановимся вначале на тензоре {Atfitap}. Его компоненты определяются по (11.32). Для компонент Этого тензора характерны следующие соотно шения:
hlnafie ^-niaPi А,(пар ф hinQal ^Inafi Ф |
(III. 1) |
Первое соотношение (III.1) следует из условия симмет ричности тензора обобщенных напряжений и выражений (11.26). В справедливости двух последних соотношений (III. 1) можно убедиться в результате непосредственной проверки, если выбрать упругий потенциал в виде ф =
— Ф (Лх) и подставить в выражение (11.32). Учитывая выражения (11.43) и (11.41), получаем
№ла0**рп<ар; 1}1псф ф 1Члра5 1*{лсф Ф Раргл- (III.2)
Б* |
67 |
Перейдем к исследованию свойств тензоров {о/пар} (11.33) и {Xfmctp} (11.44). Для компонент тензора («/тор} характерны следующие соотношения:
®/таЗ Ф |
|
ОДтаЗ Ф |
%/пЗа* |
^ |
©/таЭ Ф |
®apimi |
©/тар = |
Wftamf. |
|
Первое из соотношений (II 1.3) следует из условий несимметричности тензора напряжений и выражения (11.27). В справедливости второго и третьего соотношений (II 1.3) можно убедиться непосредственно, выбрав упругий потенциал в виде ф = ф (i4t) и подстдоив в выражение (11.33) . Четвертое соотношение (III.3) следует непосред ственно из выражения (11.33) при замене индексов. Из выражения (11.44) аналогичным образом получаем
И/maP Ф ttmtaPi |
fQmafi ф |
X/mpa> |
|
(Ш.4) |
|
X/map Ф Иар/iRf |
Щ таР = |
Прост/* |
|
||
|
|
||||
Учитывая последние соотношения |
(Ш .З) |
и |
(Ш*4), |
||
а также и выражения (11.28) и (11.31), выводим |
|
|
|||
(6/лп 4" Mm,n) ^/посР ■= (®ап 4" ^a.n)^-Purn/I |
|
^ |
|||
(бтп 4" Ит.п) Р/пссЭ=Ф ап 4" Ыа,п)Ррпт/* |
|
|
|||
Необходимо отметить, что при формулировке основных |
|||||
линеаризированных задач с привлечением тензора |
напря |
||||
жений Кирхгофа в § 6, 7 и 9 гл. II |
казалось |
бы, можно |
|||
усмотреть аналогию с линейными задачами неоднородного анизотропного тела. Приведенные соотношения свиде тельствуют о том, что предполагаемой аналогии нет, так как для тензоров {ю/map} и {X/map} не выполняются ус ловия симметрии, свойственные тензору упругих постоян ных для анизотропного тела.
Исследуем симметрию матрицы дифференциальных опе раторов системы уравнений (11.51). В общем случае, учи тывая наличие демпфирующих членов в возмущениях объемных и поверхностных сил, эти величины выберем в
следующем |
виде: |
|
Х т — MmocWa 4" М \паЦ a! |
Рт = Птаыа 4* П/naWa, (III.6) |
|
Где Мтх, |
П^а И |
— линейные дифференциальные |
операторы по пространственным переменным, коэффициен ты которых зависят от хи х2, ха и т.
68
Следовательно, систему уравнений (11.51) можно запи сать в форме
Lma.llа = 0; L ma = д С0/тар д --- }- М^а +
+---- рб«ада*. (Ш.7)
Учитывая последнее соотношение (Ш .З), из выраже ний (II 1.7) получаем
Lma'— Lam — (Л4та — Мат) + (Мта — Мат) ■^ . (П1.8)
Таким образом, если выполняется условие симметрии для матриц возмущений объемных сил, то матрица диф ференциальных операторов системы (11.51) является сим метричной. Полученное свойство системы (П.51) интерес но тем, что для коэффициентов coimap линеаризированного уравнения состояния (11.27) не наблюдается, как было по казано, симметрии, свойственной компонентам тензора модулей для линейной теории упругости неоднородного анизотропного тела.
Последние соотношения (Ш .З) и (III.4), а также тожде ства (II 1.5) будут использованы при доказательстве вариа ционных принципов для сжимаемых и несжимаемых тел.
Для несжимаемого тела основные уравнения сводятся к уравнениям движения (11.64) и условиям несжимаемости
(11.68). Учитывая |
(II 1.6) и вводя обозначение ы4 = |
р, ос |
||||
новную систему уравнений можно записать в форме |
||||||
где |
NтаРа. — 0, |
Я1, о. — 1, 2, 3, 4, |
(Ш.8а) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Nта — |
|
+ Мта + Мта~^~------Р^та |
X |
|||
’X (1 — 6mi) (1 — &ал) + 6a4 (1 — &mi) |
Go" (6тп+ Mm.л) + |
|||||
+ |
6т4(1 - |
6«4) G‘0n(6an + uln) - А , |
(&л.а). |
(Ill.86) |
||
Учитывая последнее соотношение (III.4), из выражений |
||||||
(Ш .86) получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
Nma — Л/am = |
|
|
|
|
= [(М & - |
М £{п) + |
(Л4т« - |
М й.) |
(1 - |
бтп) (1 - |
во*) + |
-f* {6a4(1 — 6m4)[Gj" (6mn -f- tlm.nl.l —
“ “ 6m4 (1 |
S a l) [Go (8 си + U(VI) ) . 4 I ($ m ,a)- ( I I I .8 B ) |
Таким образом, для симметрии матрицы дифференци альных операторов несжимаемого тела необходимо и до статочно, кроме условия симметрии матриц возмущений объемных сил, потребовать выполнения условий
[Go"фтп + |
= 0. |
(III.9) |
Условия (III.9) выполняются, например, для случая однородного начального состояния.
§2. Вариационные принципы статических
идинамических задач для сжимаемого тепа
Общие предположения при формулировке всех вариа ционных принципов следующие: возмущения объемных и поверхностных сил не зависят от возмущений перемеще ния и варьируемые функции являются необходимое число раз непрерывно дифференцируемыми функциями.
Для сокращения записи граничные условия смешанно го типа на части поверхности S 3 рассматривать не будем, так как они легко включаются в описанные ниже вариа ционные принципы.
Для вариационных принципов первого типа граничные условия в перемещениях не являются естественными ус ловиями. Второй тип принципов — аналог принципа Ху — Вашицу. Для этих принципов характерно то положение, что все соотношения задач, включая и граничные условия в перемещениях, получаются из условия стационарности соответствующих функционалов.
Остановимся на вариационных принципах первого типа. В этом случае статические задачи сводятся к соот ношениям (11.52), (11.53) и (11.55), динамические гранич ные задачи — к (11.51), (11.53), (11.55) и (11.56), дина мические смешанные задачи — к (11.51), (11.53), (11.55) и (11.57). Варьируются только функции ит. Введем функ ционалы
IX(й) = | |"2"®1/тврИт^НцР— dV — | Р (ШЛО)
70