книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях
..pdfПодставляя решения (Х.21) и (Х.23) в граничные усло вия (Х.4) для сжимаемого тела и в граничные условия (Х.5) для несжимаемого тела на каждой из поверхностей раздела, получаем бесконечную однородную систему алгеб раических уравнений. Предварительно следует ввести за мену неизвестных постоянных по следующим формулам:
(Х.24)
Если рассмотреть бесконечную однородную систему от носительно новых неизвестных (Х.24), то можно доказать, что ее определитель является определителем нормального типа. Доказательство проводится так же, как и в моногра фиях [12, 14]. Ввиду изложенного из условия существова ния нетривиальных решений системы получаем характери стический бесконечный определитель. Поскольку он нор мального типа, то для приближенного нахождения корней его можно заменять конечным определителем.
Выясним, может ли в теле, армированном конечным чис лом волокон, возникнуть потеря устойчивости с кручени ем, т. е. можно ли так подобрать в решениях соотношения между постоянными, чтобы выполнялось одно из условий (Х.9) и (Х.11). Исследование выполним для части функций
X, зависящей от постоянных Вр. Если удастся доказать, что для этих частей может выполняться одно из условий (Х.9) и (Х.11), то результат сразу же обобщается и на все решение. Учитывая изложенное, выражение (Х.6) и вто рые соотношения выражений (Х.21) и (Х.23), можно за писать в д-й системе координат для матрицы
f n = B^nK n ( M |
+ i n ( M 2 ' |
2 в ? ( - 1 ) Х |
- , х |
|
р = 1 |
V = —оо |
|
х |
(kyfyp) ехР * (v —«) ЧV |
(Х.25) |
|
Аналогичным образом получаем для <7-го волокна
(Х.26)
16 '3-1305 |
241 |
Заметим, что имеют место следующие свойства:
(я) е=/„(*); K - n (x)=zKn(x); |
BLnв |
Bqn\ |
|
||
Im£g = ImBo)e = |
0; |
BLn ^ B n;4 |
В ^ = |
В(')Ч; |
(X‘2?) |
Im fig sIm B iI)? = |
0; |
n > 0. |
|
|
j |
Решения (X.21) — (X.23) соответствуют части решения (Х.6) без индекса «тильда». Чтобы получить часть решения, соответствующую части решения (Х.6) с «тильдой», необхо димо взять решения типа (Х.21) — (Х.23) и над постоянны ми поставить индекс «тильда», причем постоянные с «тиль дой» имеют свойства (Х.27). Учитывая это, можно запи сать для матрицы и волокна:
т -)-оо |
|
р—I V = —оо |
|
X (%&Rqp) exp i (v — n) ф9р; |
( X .28) |
1 = в£Х{$лг,).
Заметим, что в силу свойств (Х.27) для функций /„ и
/„ выполняются, как и в (Х.6), тождества
f-n = |
1-п =fn, Im /0s= Im/0 = 0; п > 0 . (Х.29) |
Исследуем вначале ртени е для ^-го волокна. Учитывая (Х.26), (Х.27), второе выражение (Х.28) и (Х.29),потребуем, чтобы выполнялись условия (Х.9). В результате получаем
условия для постоянныхВп* и У л4'-
В{п)ч + шЦ* = 0; п > 0 . |
(Х.30) |
Соответствующая часть функции Х(1)» при этом прини мает вид
f = 2 *пt(fin)? |
cos (по + уха) + I (В<1)? - |
Eg*) X |
п = О |
|
|
X sin(«0 + уха)1 /„ ($&уг,). |
(Х.31) |
|
Таким образом, решение для <у-го волокна можно преобра зовать к виду, описывающему потерю устойчивости с кру-
242
чением, что и следовало ожидать, так как в предыдущем па раграфе для одного изолированного волокна такое реше ние записано в явном виде сразу.
Исследуем решение в д-й системе координат для матрицы, используя (Х.25) и первое соотношение (Х.28). Потребуем, чтобы выполнялись условия (X.9). Поскольку функция Мак дональда и Бесселя являются линейно-независимыми ре шениями, то условия (Х.9) должны выполняться отдельно для множителей, стоящих возле этих функций. Из выраже ний (Х.9), (Х.25) и (Х.28), сравнивая коэффициенты при функции Макдональда, получаем
B4n + iB4n = 0i п > 0. |
(Х.32) |
Сравнивая коэффициенты при функциях Бесселя, нахо дим
т +оо |
|
|
2 ' 2 (— 1 |
„ (SsY^p) exp t (v — п) <р9 (£v + |
iBZ) = 0, |
р=1 v=—eg |
|
|
|
«>■0; |
(X.33) |
Из условия (Х.ЗЗ), учитывая свойства (Х.27), выводим
т |
оо |
|
2 ' |
2 ev (— 1 )v lKv -п (C,vR Q P ) exp i (v — n) Ф |
x |
C=1 v=0 |
|
|
X (Bv + iK ) + Kv+n (ZSVRQP) exp i (— v — n) Ф?р x |
||
|
X (Bv +<JBV)J = Of n > 0. |
(X.34) |
Поскольку условия (Х.32) и (Х.34) должны выпол няться одновременно, то, учитывая (Х.27), получаем
т оо ' ч
2' 2 М — 1fbvK v+ n (UyRqv) exp i [— (V + n)\ %p = 0, v=o
0; |
<7=1, |
(X.35) |
. Таким образом, для того, чтобы решения для матрицы можно было представить в виде (Х.10), необходимо на по стоянные Вр наложить дополнительные условия (Х.35).
Поскольку решение в форме (Х.10) содержит количество постоянных, соответствующее числу граничных условий на поверхности раздела, а дополнительное условие (Х.35) уменьшает количество независимых постоянных, то коли чествопостоянных в решении (Х.10) при выполнении условий
1 6 * |
243 |
(Х.35) не соответствует числу граничных условий. Сле довательно, решение нельзя представить в виде (Х.10). Исключение представляет случай тождественного выполне ния условий (Х.35), что для произвольного п 7> 0 и произ вольного расположения волокон невозможно, так как в
условии (Х.35) величины В? — независимые постоянные. Следовательно, для нескольких волокон нельзя построить решение, соответствующее потере устойчивости с кручени ем в таком смысле, как это было оговорено в § 1 данной гла вы. Этот вывод важен тем, что позволяет в случае несколь ких волокон ограничиться решениями типа (Х.20). Здесь может возникнуть кажущееся противоречие в связи с тем, что для одного изолированного волокна (см. параграф 2 дан ной главы) удается построить решение, соответствующее потере устойчивости с кручением. Однако следует заметить, что хотя в случае одного изолированного волокна указан ное решение и имеется, все же оно дало характеристический определитель, полностью совпадающий с определителем, по строенным по решению типа (Х.20). Таким образом, и в случае изолированного волокна решение, соответствующее потере устойчивости с кручением, не привело к новым ре зультатам.
§ 4. Тело, армированное двумя волокнами одинакового радиуса
Рассмотрим подробнее, в качестве примера, задачу для тела, армированного двумя волокнами, радиусы поперечно-
лг/ |
|
|
'2 2 |
го сечения которых равны (рис. 27). |
||
|
|
|
|
В этом случае решения для воло |
||
|
*н |
|
|
кон имеют вид (Х.21). Запишем ре |
||
|
|
* а |
шение для матрицы в виде рядов |
|||
|
|
|
|
Фурье в первой и второй систе |
||
|
Рис. 27 |
|
|
мах координат, учитывая при этом, |
||
|
|
|
что <р12 = |
0, ф21 = я и R12 = Rti- |
||
Из |
выражений |
(Х.23) |
||||
в первой |
системе координат полу |
|||||
чаем |
|
|
|
|
||
У = |
у sin yxa |
2 |
WnKn (£iVri) + |
]nt o i ) X |
||
|
n=—COl |
|
|
|||
|
+oo |
A \K \—n( № 12)} exp inBj; |
||||
x |
2 (— 0 |
|||||
|
|
|
|
} - |
|
|
244
AL„ = AP; |
BLn= |
Bpn; CLn = |
C„; |
|
ОС= cos yxa |
2 U |
^ n t o ) + |
/n( M X |
(Х.36) |
|
«=—eo l |
|
|
|
+oo
x2 в%(— l)V/Cv-„ (SaV^ia) + Cj,/C„ (SaY^i) +
v= —oo
2 (— l)VCv/CV-n (SaY^ijj)! exp inBv
Аналогично находим во второй системе координат
|
= vsinv-va 2 |
W nKn( W |
+ In( M X |
||
|
4-00 |
|
П=а—OOV |
|
|
|
|
|
\ |
|
|
X |
2 |
(— l)"Al/Cv-n(^v/?ls)}expm02; |
|||
|
V = — OO |
|
) |
|
|
A -n^ |
A p; |
BLn= Bp; CLn = |
Cpn\ |
||
%= cos yxa |
+“ |
f |
(X.37) |
||
2 |
\BnKn(SaY'a) + |
/„ (?aYr2) x |
|||
|
|
|
n = — CO \ |
|
|
X |
2 |
(— 1) BlvKv—n (SaV^ia) H" СпКп(£зУгa) + |
|||
|
V—г ..QO |
4-00 |
|
\ |
|
|
|
|
|
||
+ |
l n(Ълуг2) |
2 |
(— l)”C j/tv-n (SsY^ia)} exP inQ2- |
||
|
|
|
V= —.00 |
|
) |
При подстановке в граничные условия необходимо про извести замену неизвестных типа (Х.24). Решения типа (X.21), (Х.36) и (Х.37) охватывают всевозможные формы по тери устойчивости для двух волокон, их можно получить, выбирая зависимости между состояниями. К таким фор мам относятся потеря устойчивости в плоскости волокон, по теря устойчивости из плоскости волокон и т. д. Получае мые характеристические определители, как следует из ре зультатов предыдущего параграфа, будут определителями нормального типа.
Выясним, каким условиям будут удовлетворять постоян ные, входящие в решения, если попытаться построить реше
245
ние для случая потери устойчивости с кручением. Из условий (Х.35) выводим условия следующего типа:
2 |
Ev(— 1) BvKv+n (£27^ 12) = |
|
V = 0 |
|
|
" |
_. |
(Х.38) |
2 |
Ev-fiv/Cv+n ($27^12)= о» ^ |
о. |
V = 0
Как и при конечном числе волокон, соотношения (Х.38) для двух волокон, за исключением тривиального случая, уменьшают количество произвольных постоянных, что не дает возможность удовлетворить граничным условиям. Та ким образом, и для двух волокон нельзя построить решение, соответствующее потере устойчивости с кручением.
§ 5. Тело, армированное одним бесконечным рядом волокон одинакового радиуса
Рассмотрим тело, армированное бесконечным рядом во локон одинакового радиуса (рис. 28), расстояние между ося
ми двух соседних волокон обозначим через |
Введем мест |
ные системы координат (jclin, х2, х3), где п = |
0, ± 1 , ...,±оо. |
Для простоты ограничимся случаем, когда после потери ус тойчивости сохраняется периодичность вдоль оси ожх с пе риодом 7?! (период структуры). Следует заметить, что по аналогии с результатами предыдущей главы можно постро ить решения, периодические по xlt с периодом, кратным пе риоду структуры. В более общем случае следует исполь зовать теорию дифференциальных уравнений с периоди ческими коэффициентами. Для рассматриваемых форм
246
потери устойчивости получим совпадающие результаты. Ре шения уравнений для матрицы запишем в виде
-]-оо -|-оо
= |
Y sin ух3 |
J] |
2 |
|
4 |
S |
|
|
|
|
|
I по |
|
р— 00 |
|
||
X = |
cos уха |
|
2 |
|
|
2 |
lB„K„ (£гТгр) + |
с„ X |
|
|
дв РР р=*—оо |
(Х.39) |
|||||
х/С „(^тгр)]ехрш0р; |
|
|
||||||
/4_л =Л „; |
В—я s |
|
^п> С_пз Сп; |
п 0; |
||||
1ш А0== Im В0 = |
1ш С0 = 0. |
|
||||||
Решение в виде (Х.39) является периодическим по х, и удовлетворяет условиям затухания «на бесконечности» при х2 -*■ ©о. В силу периодичности решения (Х.39) гранич ным условиям можно удовлетворять только на одной из поверхностей раздела сред. В качестве такой поверхности выберем поверхность, связанную с системой координат, отмеченной индексом «0», который будем опускать. В связи с этим решение для волокна имеет вид (Х.21), если во всех величинах опустить индекс «0». Учитывая соотношения (Х.22), решение (Х.39) запишем в виде
Т = |
Ysinyjfi, 2 |
U „/<n(£i'r) + |
|
|
|
п = — со [ |
|
-j-OQ |
СО |
|
|
+ |
2 А ^ Л Ь у г ) 2 к— i)v + (— 1)"] х |
||
V = — во |
|
р = 1 |
|
х Kv-n (fciypRx) J exp m0; |
|||
|
|
|
(X.40) |
X = |
cos удг3 |
2 |
\ B n K n (ЬтО + C a K a i b > y r ) + |
|
|
Пв=—.со l |
|
+ 2 |
2 |
l ( - i ) v + ( - i ) v] i f i v / „ ( ^ ) x |
|
p = I V = — во |
|
|
|
X /Cv—& TP^i)-fC v/n(&tT^)^v-n(?8YP^i)lJ^P iw0.
Подставляя решения (Х.21) и (Х.40), выполнив вначале замену типа (Х.24), в граничные условия (Х.4) для сжимае мого и в граничные условия (Х.э) для несжимаемого тела,
247
после обычной процедуры получаем характеристическое" уравнение в виде бесконечного определителя нормального’ типа. Доказательство этого утверждения проводится так же, как и в монографиях [12, 14]. Указанное свойство характе ристического бесконечного определителя дает возможность при приближенном вычислении корней заменять его ко нечным определителем. Необходимо отметить, что входя щие в решение (Х.39) ряды типа
+<*> |
|
Е Кп ( Ш Р) ехр ш0р |
(Х.41) |
p g~— со
в силу свойств функций Макдональда являются сходящими ся [14].
Выясним, каким условиям будут удовлетворять постоян ные, входящие в решения, если попытаться построить реше ние для случая потери устойчивости с кручением. Из усло вий (Х.35) следует, что постоянные, кроме условий типа (Х.ЗО), должны еще удовлетворить условиям
2 4 |
[ ( - 1 ) 4 ( - l)"]B v S ^v +n t o t f i ) = 0, n > 0 . (Х.42) |
V = 0 |
р = 1 |
Следовательно, и в случае одного ряда волокон нельзя построить решение, соответствующее потере устойчивости с кручением.
Аналогичным образом строятся решения для тела, ар мированного конечным числом бесконечных рядов волокон.
§ 6. Тело, армированное двоякопериодической системой волокон
Рассмотрим тело, армированное двоякопериодической системой волокон одинакового радиуса. Геометрические па раметры решетки в плоскости поперечного сечения приве дены на рис. 29. Введем местные системы координат (x\tPq, х2.рч* хз)- Примем, что и после потери устойчивости сохра няется периодичность структуры. В этом случае для мат рицы необходимо простроить двоякопериодические решения. Граничным условиям будем удовлетворять только в одной системе координат, учитывая, что в силу двоякой периодич ности решения на других поверхностях раздела граничные условия при этом будут удовлетворяться автоматически.
248
В указанной системе координат во всех величинах можно отбросить индексы, указывающие принадлежность к этой системе координат. Связь между координатами можно за
писать |
|
в |
следующей форме, |
учи- |
|
хг рп |
|||||||||
тывая, |
|
что |
дг|,оо = |
хг; *2,оо = |
|
х2\ |
|
|
|||||||
Г(Ю= |
|
®00 = |
®" |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
; |
|
rexpi'0 = Rpqexp icpp<( + |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+ |
rP4 exp i0Pe.P q - |
|
(X.43) |
|
|
||||||
Решения |
для |
волокна |
выберем в |
*2>ы |
|
||||||||||
виде (Х.21), |
опуская индекс, ука |
|
|
||||||||||||
зывающий номер |
системы |
коорди |
|
|
|||||||||||
нат. Решение для |
матрицы, удов |
|
|
||||||||||||
летворяющее условиям двоякой пе |
|
|
|||||||||||||
риодичности, |
согласно |
(Х.20) |
|
вы- |
|
Рис. 29 |
|||||||||
берем |
в виде |
+оо |
|
+оо |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
V = |
у sin -у*3 |
S |
Л„ |
|
2 |
Кп (£iYrp?) ехР т 0р«; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
П~ —ОО |
P,Q—’ ОО |
|
|
|
|
||||
X = |
cos у*а |
2 |
2 |
|
№ ,дп (bvrp<i) + |
/v лл\ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
пшя—оо p4q~—оо |
|
|
|
|
|
(А .44) |
|||
+ СпКп Иьзугрд)\ exp inQpq] |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= |
Ап; |
В_„ = |
Bni |
С.п = |
Сп\ |
п 0; |
|
||||||
1ш Л0=з 1ш В0в Im С0 = 0. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Подставляя выражения (Х.22) в решения (Х.44), полу |
||||||||||||||
чаем решение, представленное в виде ряда |
Фурье, |
||||||||||||||
¥ |
= |
у sin y*s |
2 |
\ а пКп(&уг) + |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Пв—«о I |
|
|
|
|
|
|
|
||
+ |
Ai(£lYr) |
|
2 |
(--- l)V^4v |
2 |
|
Kv—n(y^lRpq)X |
||||||||
|
|
|
|
|
V-=a -OO |
|
|
p,g=—oo |
|
|
|
||||
X exp i (v — п) фр,| exp itiQ; |
|
|
|
|
|
||||||||||
X = |
cos yxa |
2 |
IBnKnЫяг) + |
CnKn № sr) + |
(X.45) |
||||||||||
|
|||||||||||||||
|
+oo |
|
|
|
rt*—w l |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
+oo |
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ |
|
2 |
|
(— 0 |
2 |
|
|
(^SYO ^ ,<v—n |
x |
||||||
|
V=—oo |
|
|
|
P.9==—OO |
|
|
|
|
|
|
||||
2 4 9
К exp i (v — n) фр<7 + Cv/„ (SsYr) Kv-n (CsV^pe) X
X exp i (v — n) cpp^lj exp inQ.
Подставляя решения (X.21) и (X.45), выполнив пред варительно замену типа (Х.24), в граничные условия (Х.4) для сжимаемого и в граничные условия (Х.5) для несжимае мого тела, в результате обычной процедуры выводим ха рактеристическое уравнение в виде бесконечного определи теля нормального типа. Доказательство этого утверждения проводится так же, как в монографиях [12, 14]. В моногра фии [13] такое доказательство проведено для случая малых докритических деформаций, которое полностью переносит ся на рассматриваемый случай. Используя свойства функ
ций Макдональда, можно показать, что ряды типа +оо
2 Kn(ltyrp4) expinQpq (Х.46)
Р . « = — со
являются сходящимися и их можно дифференцировать. Доказательство этого утверждения проводится так же, как и в монографии [14].
Выясним, каким условиям будут удовлетворять постоян ные, входящие в решение, если попытаться построить ре шение для случая потери устойчивости с кручением. Из условий (X.35) следует, что постоянные, кроме условий типа (Х.ЗО), должны еще удовлетворять условиям
2 eV ( |
I f В, |
Kv+n (?2?^Р?) X |
|
V«*0 |
P,Q—— 00 |
(X.47) |
|
X exp i [— (v + |
n) фрв] = 0, n > 0. |
||
Условия (Х.ЗО) и (X.47) уменьшают число неизвестных постоянных и не дают возможности удовлетворять гранич ным условиям на поверхности раздела сред. Следователь но, и для тела, армированного двоякопериодической систе мой волокон, нельзя построить решение, соответствующее потере устойчивости с кручением. В связи с этим следует заметить, что в монографии [13], как частный случай, рас смотрены задачи о потере устойчивости двоякопериодиче ской системы волокон с кручением. В силу допущенных там неточностей изложенные обстоятельства не были замечены. Таким образом, указанные частные результаты работы [13] для потери устойчивости с кручением следует считать не верными.
250