книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

X s h n - ^ t j P ; а м ^ а и ( Л

Для нахождения элементов характеристического опре­ делителя, соответствующего форме потери устойчивости второго рода, необходимо в выражениях (IX.8) поменять

Выражения (IX.8) значительно упростятся, если считать,,

что тело сжато только вдоль оси ох1Ут. е. что 022= 0. Если в уравнениях (VI.24) и (IX.8) принять равными нулю все жесткостные параметры, соответствующие связующему, то получим характеристическое уравнение, соответствующее задаче об устойчивости полосы. Если в (VI.24) и (IX.8) по­

ложить hll -*■ 00 и h(l)/l —>00, то найдем уравнение, соот­ ветствующее задаче об устойчивости границы раздела двух сред в виде полуплоскостей. Аналогичным образом можно получить характеристическое уравнение, соответствующее задаче о поверхностной неустойчивости полуплоскости.

Для тела с потенциалом гармонического типа следует применять решение в форме (VI.9).

201

§ 4. Представление решений для несжимаемого тела

Рассмотрим построение решений уравнения (III.68) при условии (II 1.103), которые удовлетворяют условиям перио­ дичности и симметрии, характерным для исследуемых форм потери устойчивости. Ограничимся решением типа (V.6), для других решений можно получить аналогичные резуль­ таты. Учитывая второе выражение (V.28), для формы поте­ ри устойчивости первого, второго, третьего и четвертого рода решение выберем соответственно в следующем виде:

Постоянные для последующих слоев для всех четырех форм потери устойчивости выбираются так же, как и в § 2 настоящей главы. Необходимо отметить, что решения

(IX.9) — (IX. 12) записаны для случая, когда т)! и поло­ жительны и не равны между собой. Учитывая выражения (V.28), (V.31), (IX .1) и (IX.2), выводим граничные условия

на линии раздела, сформулированные для функций %t и Х(У:

202

Таким образом, для несжимаемого тела граничные усло­ вия на линии раздела, сформулированные для функций

и хГ\ имеют вид (IX.13), и решения для рассматриваемых форм потери устойчивости представлены в виде (IX.9) — (IX. 12).

§ 5. Характеристические определители для несжимаемого тела

Подставляя решения (IX.9) — (IX. 12) в граничные условия (IX. 13), в результате обычной процедуры получаем характеристические определители в виде (VI.24) при i, ] =

203.

— 1, 2, 3, 4. Запишем элементы характеристического опре­ делителя для формы потери устойчивости первого рода4

Для получения характеристических определителей, со­ ответствующих формам потери устойчивости второго, тре­ тьего и четвертого рода, следует выполнить замены, ука­ занные в § 3 настоящей главы. Там же указаны частные случаи, которые можно получить из рассмотренных задач для сжимаемого тела. Подобные частные случаи имеют ме­ сто и для несжимаемого тела.

Если считать, что в докритическом состоянии тело так­ же находилось в условиях плоской деформации, то в этом случае для заполнителя и связующего имеют место соотно-

204

шения (III. 104). Из этих соотношений и выражений (IX .1) получаем

205

ношения для определения элементов характеристического определителя в случае неогуковского тела:

« и - (2С10— X- : У >) ch я - j - ; а 12 = Х ~ 4 (2 С10—

—X2p°)ch я - у - Х - 2;

«^ ^ - ( г с ^ - х - у ^ с Ь л - ^ - ;

«м = - X - 4(2 C ft- X y < V h л - ^ Х " 2;

2 0 6

Для одноосного сжатия (а& = 0) характеристические уравнения значительно упродаются, так как в этом случае имеют место соотношения (VI. 17). После ряда преобразова­ ний получаем характеристические уравнения для формы потери устойчивости первого, второго, третьего и четверто­ го рода соответственно в следующем виде:

[2 — р (1 + Я4)]2 cth a th а (1,Я-2 - 4Я2 (1 — Р)2 cth a th а (1) +

+ Р(1 —-Я4)2Шсс(1) th a (1^ “ 2 — Я_2(1 -J- Я4)2(1 - Р ) 2 х

[2 — Р(1 -1- Я.4))2 cth a cth а (|'Я,-2 — 4Я2(1 - P ) 2c th a c th a <u+

+ Р(1 — ^ )2с1Ьсс(|>с1Ьсх(1,Я,-2—Л -2(1 -|-Я,4)2(1 - Р ) 2 Х

[2 — р (1 + Я4)!2 th a cth all)k~ 2— 4Я2(1 —Р)2 th a cthа (,) +

+ р(1 — Я.4)2сШ а,0 сШа(,,Я-2 — Я~2(1 + Я4)2(1 — р)2 х

остаются в силе, только под величиной р следует понимать

207

(IX.21)— (IX.24) найти не представляется возможным за, исключением асимптотических случаев, поэтому для реше­ ния таких уравнений применялись численные методы и ЭВМ.

§ 6. Результаты решения характеристических уравнений

Характеристические уравнения (IX.21) — (IX.24) для четырех форм потери устойчивости исследовались числен­

0,8 п

\

0,7

¥

¥

на рис. 14—19 в виде зависимостей корней уравнений

(IX.21) — (IX.24) от параметра п ~ 1) Для различных зна­

чений параметров р и h/h{1). Кривые, соответствующие раз­ личным формам потери устойчивости, отмечены цифрами, совпадающими с номером формы потери устойчивости. Из рис. 14 и 15 следует, что для рассматриваемых компоновок

2 0 8

потеря устойчивости (потеря устойчивости в структуре):*

Полученные результаты позволяют сделать следующие выводы.

1.Внутренняя потеря устойчивости (потеря устойчивости

вструктуре материала) реализуется не при любых соотноше-

кает, когда менее жесткие слои значительно толще более жестких слоев (при малой концентрации наполнителя).

2. В случае существования внутренней потери устойчи­ вости результаты расчета совпадают для формы потери устойчивости с периодом, равным периоду структуры, и для формы потери устойчивости с периодом, вдвое большим пе­ риода структуры (формы потери устойчивости первого и второго рода). Критическая нагрузка, вычисленная по фор­ ме потери устойчивости с периодом структуры (форма по­ тери устойчивости первого рода), не больше критической нагрузки, вычисленной по форме потери устойчивости с периодом, вдвое большим периода структуры (форма по­ тери устойчивости второго рода).

210