книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

§5. Пространственная задача для несжимаемого тела

вкруговой цилиндрической системе координат

Представим решения и граничные условия в круговой цилиндрической системе координат (г, 0, х3) для несжимае­ мого тела при однородной докритической деформации при выполнении условий (III.44) и (II 1.88). Для статических задач из выражений (III.89) получаем

Согласно выражениям (II 1.95) находим формулы для определения составляющих поверхностных сил на круго­ вой цилиндрической поверхности:

^ = и 1 з [ х 2 ^ « , + x * ( i + c ; v V ) ^ ] .

Аналогичным образом получаем выражения для со­ ставляющих поверхностных сил при х3 = const с учетом (III.96)

(V.34)

i >;= ih i[ x - i ( i + « a w ) - g - + x i -f-

Рз = [<*§ + *.(И з - Я.-2С13)] Ц - + Х~'р.

Из (V.32) и (V.33) находим после ряда преобразований выраженные через функции Ч*- и X формулы для определения составляющих поверхностных сил на круговой цилиндри­ ческой поверхности:

р ; ■= (сп + 2Я-1р12) - 1 - 7 - ^ - ^ +

+ [ - (С п + Я , V i a ) '^ r + ^ ' '^ ( т Г а ё * + " 7 " й г) +

Таким образом, граничные условия в перемещениях и напряжениях, используя соответственно (V.32) и (V.35), (V.36), можно выразйть через функции Т и х , которые яв­

(11.50) с учетом (III.88). Исходя из изложенного, решения уравнений (III.51) можно представить в виде (V.15) и (V.20) и в аналогичных видах в зависимости от соотношений меж­

ду величинами £?.

§6. Пространственная задача для несжимаемого тела

впрямоугольной системе координат

Рассмотрим вначале случай, когда выполняются усло­ вия (III.44) и (III.88). Для статической задачи при ука­ занном однородном докритическом состоянии общее реше­ ние согласно (III.89) можно записать в прямоугольной системе координат в виде:

133

Учитывая соотношения (11.22), (11.49), (III.44), (III.88) и (V.37), после ряда преобразований получаем формулы для определения составляющих поверхностных сил соответ­

134

Таким образом, граничные условия в перемещениях и напряжениях, используя (V.37) и (V.38) — (V.40), можно выразить через функции Ч*1иХ, которые являются решени­

ями уравнений (III.51), причем величины g2 определяются по формулам (III.90), о,* и \xik — по (11.50) с учетом (III.88). Таким образом, решения уравнений (III.51) пред­ ставляются в виде (V.24) и (V.25) и в аналогичных формах

в зависимости от соотношений между величинами £?.

Если докритическое однородное состояние трехосное произвольное, т. е. не выполняются условия типа (II 1.44) и (III.88), то общие решения в форме (III.89) не справед­ ливы. В этом случае следует обратиться к решениям типа (III.83) — (III.85). Представим решения в следующей форме:

и2 = Дп (*з) s i n k ~ - x 1c o s n - ^ - х2;

135

P = fkn (x3) sin k -^ -x1sinn-^~ x2.

Подставляя выражения (V.41) в систему (III.8a) и (III.83), получаем систему обыкновенных дифференциаль­

ных уравнений для определения функций С**) в следую­ щем виде:

136

— (Мм+ °22&в 2) (П -у-) | /to (ЛГз) +

+ Я.Г, - ^ г /^(х») = °.

Граничные условия в перемещениях и напряжениях за­ писываются обычным образом. Заметим, что в (V.41) и (V.42) величины Я* связаны соотношением (II.8).

* * *

В § 1—6 гл. V были записаны в явной форме решения статических задач при однородном трехосном докритическом состоянии в прямоугольной и круговой цилиндриче­ ской системах координат для сжимаемых и несжимаемых тел. В общем случае тело предполагалось трансверсально­ изотропным, ось изотропии которого совпадает с осью ох3. Эти решения позволяют получить характеристические определители для общих задач в прямоугольной и круговой цилиндрической системах координат при произвольном трехосном докритическом состоянии. Эта возможность бу­ дет проиллюстрирована в последующих главах на кон­ кретных примерах.

Необходимо отметить, что критические значения пара­ метров нагружения, особенно их зависимость от геометри­ ческих параметров, существенно зависят от выбранной формы упругого потенциала. Чтобы полученные в последующих главах результаты имели общий характер для произ­ вольной формы упругого потенциала, не будем фиксиро­ вать форму упругого потенциала вплоть до получения ха­ рактеристических определителей. Лишь при нахождении числовых результатов в качестве примера будем выби­ рать определенную форму упругого потенциала.

137

Г л а в а VI

ПОВЕРХНОСТНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЖАТИИ

В настоящей главе исследуем явление поверхностной неустойчивости при сжатии, имеющее место для массив­ ных тел и заключающееся в том, что при сжатии в массив­ ных телах слои материала, расположенные вблизи свобод­ ной поверхности, теряют устойчивость, а амплитуда воз­ мущений затухает при удалении от свободной поверхности. Такое же явление наблюдается и вблизи границы раздела двух тел. Впервые явление поверхностной неустойчивости рассматривал Био для полуплоскости. Заметим, что полу­ ченные в этой главе характеристические определители оста­ ются в силе и при растяжении. В общем случае тело будем считать трансверсально-изотропным,ось изотропии которого совпадает с осью ох3. Нагрузки будем считать «мертвыми».

' § 1. Полуплоскость из сжимаемого материала

Рассмотрим плоскую деформацию сжимаемого тела В плоскости ххох2 при сжатии вдоль оси охх (сг*° = 0). Пусть

тело занимает нижнюю полуплоскость х2< 0. Поскольку граница полуплоскости незагружена (Р* = Р* = 0), то

согласно выражениям (V.4) получаем граничные условия при х2 = 0:

Решение выберем в форме (V.6). Учитывая условия зату­ хания при х2-»- —оо, находим

Подставляя решение (VI.2) в граничные условия (VI.1), в результате обычной процедуры получаем характеристи­ ческое уравнение в виде

138

Учитывая выражения (III.69) и тот факт, что о£° = О, а также (VI.3) и (VI.4), выводим трансцендентное уравне­ ние для определения критического значения параметра Л, для сжимаемого тела с произвольной формой упругого по­ тенциала. Из уравнения (VI.3) и (VI.4) следует, что крити­ ческое значение параметра X, не зависит от параметра вол­ нообразования I. Аналогичные результаты можно получить и при другом, отличном от (V.6), выборе решений.

Рассмотрим пример для тела с потенциалом гармониче­ ского типа (1.136). Будем считать, что и докритическое состояние определялось в рамках плоской деформации. В этом случае из выражений (1.147) и (11.41) выводим

В этом случае (111.68) переходит в бигармоническое урав­ нение. Его решение, удовлетворяющее условиям затуха­ ния при х2 —со согласно (V.7) выбираем в виде

Здесь в постоянной A t выделим для удобства множитель^.

139

Подставляя решение (VI.9) в граничные условия (VI. 1), получаем характеристическое уравнение в виде (VI.3), где введены обозначения

(VI. 10)

Таким образом для тела с потенциалом гармонического типа выводим характеристическое уравнение в виде (VI.3) с учетом (VI.5), (VI.7) и (VI. 10).

§ 2. Полуплоскость из несжимаемого материала

Исследуем задачу, описанную в § 1 данной главы для несжимаемого материала. Поскольку граница полуплоскос­ ти незагружена (Р| = 0, Р* = 0), то согласно выражениям

(V.31) получаем граничные условия при х2 = 0:

(VI.11)

j[o'ii ■+■^iau ■+

Решение, удовлетворяющее условиям затухания, вы­ берем в форме (VI.2). Подставляя выражение (VI.2) в условия (VI. 11), после ряда преобразований находим харак­ теристическое уравнение

Учитывая выражения (III.103) и (VI.12), а также тот факт, что о*° = 0, получаем трансцендентное уравнение

для определения критического значения параметра Я,х в случае несжимаемого тела с произвольной формой упруго­ го потенциала. Из уравнения (VI. 12) для произвольного несжимаемого упругого тела следует, что, как и для сжимае-

140