книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

Заметим, что условие самосопряженности (IV.40) не зависит от формы упругого потенциала для гиперупруго­ го тела и от уравнения состояния для общего упругого тела, а зависит только от возмущений поверхностных и объемных сил. Этот результат получен для произвольного сжимаемого анизотропного гиперупругого тела и для про­ извольного сжимаемого изотропного общего упругЬготела при ограничениях, связанных с дифференцируемостью дважды непрерывно упругого потенциала и один раз непрерывно функцией (рт (см. гл. II). Внешние силы, для которых выполняется условие (IV.40), называются кон­ сервативными, для которых не выполняется условие (IV.40), — неконсервативными. В случае «мертвых» сил

(Р*т = А* = 0) условие (IV.40) выполняется.

Если условие (IV.40) выполняется, то задача (IV.19), (IV.26), (IV.22) и (IV.24) -является самосопряженной, по­ этому ее собственные числа Q2 будут действительными. Следовательно, Q могут быть или мнимыми или действи­

из статической задачи при использовании динамического метода (IV. 19), (IV.26), (IV.22) и (IV.24) получаем стати­ ческую задачу с применением метода Эйлера (IV. 19), (IV.21), (IV.22) и (IV.24).

Таким образом, достаточными условиями использова­ ния метода Эйлера при исследовании статических задач устойчивости произвольных сжимаемых упругих тел (совпадение результатов при применении метода Эйлера с результатами при применении динамического метода) являются условия в виде (IV.40).

§ 7. Достаточные условия применения метода Эйлера для несжимаемого тела

Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять возмущения объемных и поверхностных сил, чтобы резуль­ таты для статических задач несжимаемого тела, получен­ ные методом Эйлера, совпадали с результатами для этих же задач, полученными при помощи динамического метода. Статические задачи для несжимаемого тела при

1 1 1

динамическом методе исследования сводятся к (IV.28), (IV.34),(IV.31) и (IV.24), а статические при исследовании методом Эйлера — к (IV.28), (IV.30), (IV.31) и (IV.24).

Пусть 1игп и аит (rn = 1, 2, 3, 4; ы4 = р) компоненты двух произвольных дважды дифференцируемых векторов, удовлетворяющих условиям (IV.31) и (IV.24) и условию несжимаемости (II.6). Соответствующие им возмущения объемных и поверхностных сил представим в виде (IV.36). Достаточное условие применения метода Эйлера для не­ сжимаемых тел можно записать в виде условия (IV.40), которое должно выполняться для любых 1ит и 2ит, удов­ летворяющих сформулированным выше требованиям. По­ кажем вначале, что в этом случае собственные значения задачи (IV.28), (IV.34), (IV.31) и (IV.24) действительные (Im О2 = 0). Предположим обратное, т. е. что какоето собственное число Й* является комплексным. Тогда сопряженное число тоже будет собственным числом и из

Выберем в качестве 1ит и 2ит функции ит и йт, кото­ рые удовлетворяют условиям (IV.31), (IV.24) и (II.6). Подставляя выражение (IV.34) в (IV.42), учитывая усло­ вия (IV.31), (IV.24), (П.6) и (III.4) и применяя формулу Гаусса — Остроградского, после преобразования полу­ чаем

£ (Um^maU-a. UmNtnafla) dV = | {[Ыто(И/тарН<х,р),| —■

falma.Э^о,э)»< “Г ИщМтаЦа. — итЛ1{па^а ~Г

ит(Go [fimn + «т.п] °а)>;] + 6т4 (1 —6<х4) X

1 1 2

— «imap(U m .iU a.fi — «m.i«a,p) + (u mM ma.Ua — UmM \X t«a) +

— Um [(1 — 604) XI-map«a,g + Go”фтп + Um.n)«a])»{ +

+(UmM m aU a — UmMma.Ua) (1 — 6 0 4 ) +

+p (Q2 — Q2) Um«m(l — 6a4)] (1 — M } dV =

Подчеркнутые в (IV.43) выражения равны нулю в силу

условий несжимаемости (II.6).

Таким образом, если предположить, что существует комплексное собственное число, то из выражений (IV.34), (IV.40), (IV.43) получаем

для несжимаемого тела и функции удовлетворяют усло­ вию несжимаемости (II.6), то задача (IV.28), (IV.34), (IV.31) и (IV. 24) имеет действительные собственные числа. Учитывая это и рассуждая аналогично рассуждениям, при­ веденным в § 6 гл. IV, получаем достаточное условие применения метода Эйлера при исследовании статических задач устойчивости для произвольного несжимаемого те­ ла. Это условие имеет вид (IV.40), но в отличие от сжимае­ мого тела функции ит также должны дополнительно удов­ летворять условиям несжимаемости (Н.6).

§8. Сведение задан устойчивости

кбесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений

Сформулированные в § 4 и 5 гл. IV динамические за­ дачи устойчивости и статические задачи при динамиче­ ском методе исследования сжимаемых и несжимаемых тел можно свести к бесконечным системам обыкновенных дифференциальных уравнений, используя метод Бубно­ ва — Галеркина. Для статических задач, используя метод Бубнова — Галеркина, получаем бесконечную систему ал­ гебраических уравнений. Не уделяя внимания обоснова­ нию применения метода Бубнова — Галеркина, проил­ люстрируем его применение на примере сжимаемого тела. Представим функции в виде рядов

(IV.45)

Систему функций {<ртр} будем считать полной и удов­ летворяющей условиям (IV.24). В этом случае уравнения метода Бубнова — Галеркина запишем в форме

Подставим выражения (IV.45) и (IV. 1) в уравнения ме­ тода Бубнова — Галеркина (IV.46) и приравняем нулю множитель при 6/р. G помощью формулы Гаусса — Остро­ градского после ряда преобразований получаем бесконеч­ ную систему обыкновенных алгебраических уравнений:

где

— ^ фтрПтафар^^»

114

Для ^мертвых» нагрузок система (IV.47) принимает вид (IV.&0), где

Bpq = j" N i(Dimnf>J<Po.q,fi<[>mpdS—

S ,

1 (tolmoLfflaq.ldtiympdV = ^ %mct0фa^,g<Pmp,<^fl/,. (I V.53)

** *

Впервые уравнения трехмерной теории упругой устой­ чивости при малых докритических деформациях были полу­ чены в работах [54, 791 из соображений физического ха­ рактера без использования линеаризации. В дальней­ шем различные варианты уравнений трехмерной теории упругой устойчивости при малых докритических деформа­ циях были получены путем линеаризации нелинейных уравнений [55, 56, 66, 69, 36], причем наиболее строго эти уравнения выведены в работах [66, 36]. Анализ при­ ближенного подхода, основанного на использовании урав­ нений Ляме, дан в монографии [13].

Впервые уравнения трехмерной теории упругой устой­ чивости при конечных докритических деформациях в общей постановке путем линеаризации получены в [60], которая явилась основой для дальнейших исследований. В этой работе основные уравнения выведены в координа­ тах начального деформированного тела.

Условия устойчивости трехмерного тела при малых до­ критических деформациях рассматривались в [80]; при конечных докритических деформациях условие устойчи­ вости исследовалось в [76, 93, 63], результаты, описанные в § 2 и 3 гл. IV по форме изложения близки к [63].

Вопросам устойчивости и единственности в теории ко­ нечных деформаций посвящена работа [64], эти же резуль­ таты помещены в монографии [11].

Достаточные условия применения метода Эйлера для исследования устойчивости линейно-упругих сжимаемых тел при малых докритических деформациях в форме, по­ добной (IV.40), получены в монографии [10], когда докритические деформации определялись по геометрически линейной теории. В случае нелинейно-упругих сжимаемых тел при конечных докритических деформациях эти усло­ вия получены в виде (IV.37) в работе [97]. В гл. IV данной монографии эти условия найдены для сжимаемых и не­

116

Ч А С Т Ь В Т О Р А Я

УСТОЙЧИВОСТЬ ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ

Г л а в а V

РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ В КРУГОВОЙ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И ПРЯМОУГОЛЬНОЙ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ

В настоящей главе в явной форме записаны решения статических линеаризированных задач при однородных Докритических деформациях в круговой цилиндрической и прямоугольной системах координат для сжимаемых и несжимаемых тел в случае плоской и Пространственных задач. Рассмотрены также соответствующие граничные условия. Эти результаты будут использованы в дальней­ шем для решения статических задач при «мертвых» • на­ грузках.

§ 1. Плоская задача для сжимаемого тела

Рассмотрим плоскую задачу в плоскости хгох2при одно­ родной докритической деформации. В этом случае име­ ют место соотношения (III.62). Для статических задач из выражений (II 1.65) получаем формулы для определения перемещений в виде

118

(V.2)

1^1P'12 I (tfnta 2 — ^ia)

Сформулируем граничные условия для функции %, соответствующие граничным условиям в напряжениях. Согласно выражениям (Ш.71), (V. 1) и (V.2) получаем гра­ ничные условия в напряжениях при хг = const (проек­ ции составляющих поверхностных сил, выраженных через напряжения или функцию X, что тождественно)

Согласно выражениям (III.70), (V.1) и (V.2) находим граничные условия в напряжениях при х2 = const (проек­ ции составляющих поверхностных сил, выраженные через напряжения или функцию X, что тождественно)

1 1 9

Согласно выражениям (11.55) и (V.1) получаем гранич­ ные условия в перемещениях при х, = const и х2 = const, выраженные через функцию X,

Таким образом, все величины и граничные условия для плоской статической задачи сжимаемого тела при однород­ ной начальной деформации выражаются через функцию X, которая является решением уравнения (III.67).

Рассмотрим различные случаи представления решения уравнения (Ш.67) в зависимости от выражений (III.69).

Если величины г\1 и i)§ (III.69) вещественны, различны и положительны, то

X = [л* ехр ~ ~ Т1йх2 + В* ехр (- ■ j - V s ) +

+sin— Im rpr2+

120