книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

мого тела, критическое значение параметра Ях не зависит от значения параметра волнообразования I (VI.6). Этот ре­ зультат получен в условиях плоской деформации.

Рассмотрим пример для тела с потенциалом Трелоара. Из первого выражения (1.33) и формул (1.98), (11.50) находим

о - т = — 8,-*2р°Я* ; n i n = — р ° ( X j + Яг + Яз — Я* — Я„).

(VI.13)

Из первого выражения (1.33) и формул (1.98), (III.86) выводим

Исследуем случай, когда докритическое состояние опре­ деляется в условиях плоской деформации. Тогда имеют место соотношения (III. 104). В этом случае соотношения (VI.13) и (VI.14) соответственно принимают вид

Из соотношений (III.103), (VI.15) и (VI.17) получаем

После ряда преобразований из выражений (VI. 12), (VI.15), (VI.17) и (VI. 18) находим характеристическое урав­ нение

Я8 + 2Я4 — 4Я2 + 1 = (Я2 — 1) (Я« + Я4 + ЗЯ2 — 1) = 0. (VI. 19)

Один корень (Якр яа 0,54) уравнения (VI. 19) имеет фи­ зический смысл, таким образом, для несжимаемого тела с потенциалом типа Трелоара (1.98) в условиях плоской де­ формации явление поверхностной неустойчивости наблю­ дается при уменьшении длины тела на 46%. Заметим, что тело с потенциалом типа Трелоара называется еще неогуковским телом. Для тела с потенциалом Муни (1.99) ре­ зультаты полностью совпадают с результатами для неогуковского тела.

Аналогичным образом можно рассмотреть также случай, когда решение представляется в виде (V.7) или (V.8).

141

§ 3. Устойчивость границы раздела двух сжимаемых тел

Исследуем плоскую деформацию сжимаемого тела в плоскости хгох2 при сжатии вдоль оси охх. Примем, что тело состоит из двух полуограниченных тел, занимающих соответственно нижнюю и верхнюю полуплоскости. Вдоль оси охг осуществлено полное сцепление тел. Докритическое состояние возникло за счет одинакового удлинения вдоль оси охх. Все величины, относящиеся к верхней полуплос­ кости, будем отмечать знаком «плюс», а к нижней — знаком «минус». В силу постановки задачи можно записать

Поскольку между телами предполагается полное сцеп­ ление, то граничные условия при хг = 0 будут иметь вид

Р*+ = Р*-: р'+ = Р\~- u f = иТ\ u t = иГ. (VI .21)

Подставляя выражения (V.1) и (V.4) в условия (VI.21), получаем граничные условия прих2 = 0, сформулированные для функции X:

,-----д* ) д v-

Х2+ (Иг + а ^ ~ § ^ % + = 0*« + «li) дх^х~Х •

142

Для дальнейшего изложения ограничимся решениями типа (V.6). Решения, удовлетворяющие условиям затуха­ ния, выберем в следующей форме:

Подставляя решение (VI.23) в граничные условия (VI.22), в результате обычной процедуры находим характе­ ристическое уравнение

Учитывая (VI.24), (VI.25) и то, что a‘°+ i= a^ ~ = 0» из (111.43) и (111.69) получаем трансцендентное уравнение для определения критического значения параметра Л, в случае произвольных сжимаемых тел. Заметим, что из уравнений (VI.24) и (VI.25) следует, что критическое значение

143

параметра Ях для произвольных сжимаемых тел не зависит от параметра волнообразования I (V.6). Таким образом, ука­ занное свойство наблюдается для поверхностной неустой­ чивости и неустойчивости границы раздела двух тел, если рассматривать эти задачи в условиях плоской деформации.

Рассмотрим пример для тела с потенциалом гармониче­ ского типа (1.136), когда докритическое состояние опреде­ ляется также в условиях плоской деформации. В этом слу­ чае из выражений (VI.5) и (VI.7) находим

аГР*-4ц* К ± *г~}_

Я± + 2ц±

Решение, удовлетворяющее условиям затухания, запи­ шем в следующем виде:

условия (VI.22), получаем характеристическое уравнение для тел с потенциалами гармонического типа.

Необходимо заметить, что если в приведенных выше вы­ ражениях принять равными нулю все величины с индек­ сом «плюс», то получим соотношения § 2 гл. VI, т. е. для задачи с поверхностной неустойчивостью.

§ 4. Устойчивость границы раздела двух несжимаемых тел

Рассмотрим задачу, описанную в параграфе 3 данной главы для несжимаемых тел. Соотношения (VI.20) и (VI.21) остаются в силе. Из выражений (V.28), (V.31) и (VI.21) по-

144

думаем граничные условия при — 0, сформулированные для функций X*.

Решение, удовлетворяющее условиям затухания, вы­ берем в форме (VI.23), где величины г]± и rj* определяются

из соотношений (III. 103). Подставляя решения (IV.23) в граничные условия (VI.29), после ряда преобразований вы­ водим уравнение (VI.24), где введены обозначения

В качестве примера рассмотрим случай двух неогуковских тел, когда докритическое состояние определено в

0 *2* = 0 ; рЙ = - р 0±-

Учитывая первое соотношение (VI.20), из выражений

Подставляя выражения (VI.31), (VI.33) и (VI.34) в фор­ мулы (VI.30) для определения элементов характеристиче­ ского определителя, получаем

146

Если в уравнении (VI.36) принять 0 ->■ ©о, то найдем уравнение (VI. 19), соответствующее поверхностной не­ устойчивости. Для тела с потенциалом Муни (1.99) получа­ ется характеристическое

уравнение в виде (VI.36), если ввести обозначение

Рассмотрим двухосное сжатие вдоль осей охг и ох2 по­ лупространства (х8< 0) из сжимаемого материала. В этой случае

Согласно выражениям (11.22), (II.7), (11.40) и (VI.38) выводим формулы для определения составляющих поверх­ ностных сил при

Решение основных уравнений выберем в виде (V.26) при k = п — 1, где функции /j,®1(ха) определяются из системы

уравнений (V.27) также при k — п = 1. Из общего реше­ ния системы (V.27) выберем решение, удовлетворяющее условиям затухания при х3-> —со. В дальнейшем под функ­ циями /*“>(х8) будем понимать решение системы (V.27), удов­

летворяющее условиям затухания, когда х3 -► —оо. По­ скольку граница полупространства незагружена (Р Д = 0),

то, подставляя указанное выше решение в (VI.39), получа­ ем однородную систему уравнений относительно входящих В /*{?[> (Хд) постоянных

V n ‘ (0) + V f? (0) = 0; K J& (0) + J L y f? (0) = 0;

(VI.40)

- - f - M i* (0) а18- - £ у 1 ? (0) n , + W n ' (0) = 0.

Из условия существования нетривиальных решений со­ гласно (VI.40) находим характеристическое уравнение.

§ 6. Двухосное сжатие полупространства из несжимаемого материала

Исследуем задачу в постановке предыдущего парагра­ фа для несжимаемого материала. Соотношения (VI.38) ос­ таются в силе. Из выражений (II.7), (11.22), (11.49) и (VI.38) получаем формулы для определения составляющих поверхностных сил

(VI.41)

.Решение основных уравнений выберем в виде (V.41) при

k = п = 1, где функции /и (х3) определяются из системы уравнений (V.42) также при k = п = 1. Из общего реше­ ния системы (V.42) выберем решение, удовлетворяющее ус­ ловиям затухания при xs -> —оо. В дальнейшем под функ­

циями /и (ха) будем понимать решение системы (V.42), удовлетворяющее условиям затухания, х3—v —оо. Посколь­

ку граница полупространства незагружена (Р%, = 0), то, подставляя решение в (VI.41), находим однородную систе­ му

1 4 8

с вычислениями, проведенными в § 2 и 4 данной главы, то

ричном докритическом состоянии поверхностная неустой­ чивость появляется при изменении размеров тела на 33%, в то время как при плоской деформации (см. § 2 гл. VI) по­ верхностная неустойчивость появляется при изложении размеров тела на 46%. На рис. 3 [71] приведены значения корней уравнения (VI.43) для различных значений парамет­

ра е = - f .

§ 7. Бесконечное пространство с круговой цилиндрической полостью (сжимаемый материал)

Рассмотрим бесконечное пространство с круговой ци­ линдрической полостью радиуса R, ось которой совпадаете осью охв. Материал будем считать произвольным сжимаемым

149

материалом. Исследуем случай, когда тело сжато вдоль полости

ничные условия на круговой цилиндрической полости, сформулированные для функций V и X при г — R,

(ап ai&) дг дв V +

х(д+ )]т»->

Рассмотрим только один случай представления решений, соответствующий решению (V.15). Остальные случаи можно исследовать аналогичным образом. Положив в решении

(V.15) A t - 0 (i = I. 2, 3), получим решение, удовлетво­ ряющее уравнениям затухания при г оо в силу асимпто­ тических разложений функций Макдональда. Для сокраще­

ния в решении (V.15) примем также m = 1 и в А}п выделим множитель у- Подставляя таким образом построенное реше­ ние в граничные условия (VI.46), после ряда преобразова­ ний находим характеристические уравнения в виде (VI.24) при / , / = 1,2, 3, где введены следующие обозначения:

Ч 1Й Ч- ^2 Ч- 2Ь]П (n 1) х IКя (х^г);

150