книги / Устойчивость упругих тел при конечных деформациях

эти величины и изменение объема можно выразить главные

удлинения, а следовательно, главные значения тензора деформаций Грина:

направлениях полностью характеризуют деформацию в точке, то в силу (1.29) величины А и две из величин /, у и а вследствие зависимости (1.28) полностью характеризуют деформацию в точке при известных главных направлениях. Кыражения типа (1.24) — (1.29) получены в 145—471 при использовании тензора деформаций Грина.

Если считать, что уже осуществлен переход к главным осям тензора деформаций Альманси, можно получить ре­ зультаты, аналогичные (1.24) — (1.29), приняв за исход­ ное деформированное состояние. Результирующим назо­ вем материальное волокно, которое одинаково наклонено к главным осям тензора деформаций Альманси после де- «|юрмации. Аналогичным образом определяются другие величины. Выполнив необходимые вычисления и учитыная (1.16) — (1.19), получим выражения, полностью сов­ падающие с формулами (1.24) — (1.29), если в последних все величины отметить индексом Д .

Поскольку главные значения тензора деформации Апьмлнси или главные удлинения при известных главных на­

можность полного описания деформаций в точке как в пе­ ременных Лагранжа хт, так и в переменных Эйлера В лагранжевых переменных показано четыре случая: 1) при

помощи компонент тензора деформаций Грина по форму­ лам (1.12) — (1.15); 2) при помощи главных значений вт или главных удлинений Кт, если известны главные направ­ ления тензора деформаций Грина; 3) при помощи главных

I I

(1.29), если известны главные направлении тензора дефор­ маций Грина.

В эйлеровых переменных также имеется четыре возмож­ ных случая: 1) при помощи компонент тензор.! деформа­ ций Альманси по формулам (1.16) — (1.19); 2) при помощи

главных значений ет или главных удлинений Кп, если из­ вестны главные направлении тензора деформации Альман­ си; 3)при помощи главных значений тензора Генки—Альмам-

си hm (1.23), если известны главные направления тензора деформаций Альманси; 4) при помощи трех из величин

А, у, / и а по формуле, аналогичной (1.29), если известны главные направления тензора деформаций Альманси.

§ 3. Различные системы инвариантов тензоров деформаций и связь между ними

В публикациях по теории упругости конечных дефор­ маций встречаются различные системы инвариантов тензо­ ров деформаций. Поскольку в уравнения состояния также входят инварианты, то наблюдаются различные формули­ ровки уравнения состояния. С целью получения общих для всех формулировок результатов в настоящем парагра­ фе приведем различные системы инвариантов и укажем связь между ними. Все результаты запишем для тензора деформаций Грина. Для нахождения результатов для тен­ зора деформаций Альманси необходимо над всеми величи­

Выразим все системы инвариантов через алгебраические инварианты. Поскольку тензор деформаций Грина пред­ ставляет собой симметричный тензор второго ранга, для определения его главных значении имеем характеристи­ ческое уравнение

Величины £ п которые также являются инвариантами,

1 2

назовем главными инвариантами. Они. определяются через алгебраические по формулам

£ i = A ; E2 ==±(A2t - A j ; Е3 = -±-(2Л3- З А А . + >1?).

(1.32)

Рассмотрим систему инвариантов, третий из которых представляет собой изменение объема. Эта система инва­ риантов принята в исследованиях [60, 61, 63 и др.[. Они связаны с системой алгебраических инвариантов следую­ щим образом:

Можно ввести еще одну систему инвариантов, удобную при определении главных значений

е = 4 ~Аи е ^ - т У ъ А ъ — АЪ

_ ± (1-34)

cos Зф = ] / 2 (9Л3— 9АгАа + 2Л?) (ЗЛ2— Л?)~ Т -

Главные значения тензора деформаций Грина выража­ ются через инварианты е, et и ф (1.34) по формулам

ет = е + V T е{cos фт ; фх = ф; фя = Ф + -§- я;

(1.35)

Фз = Ф — § -я .

Эти инварианты появляются при решении уравнения (1.31), когда используются тригонометрические функции. Величина е1 называется интенсивностью девиатора соотнетствующего тензора, а величина ф — фазой.

Аналогичные соотношения имеют место и для инвариан­ тов тензора деформаций Альманси. Для установления свя­ зи между различными системами инвариантов тензора Грина и различными системами инвариантов тензора де­ формаций Альманси достаточно установить связь между алгебраическими инвариантами А т тензора деформаций

Грина и алгебраическими инвариантами Ат тензора

1 3

деформаций Альманси. Для этого поступим следующим об­ разом. Заметим, что компоненты тензора деформаций Гри­ на определяют положения главных осей этого тензора в теле до деформации. Материальные волокна, направленные по этим осям, ортогональны до н после деформации. Ком­ поненты тензора деформаций Альманси определяют поло­ жения главных осей этого тензора в теле после деформации. Материальные волокна, направленные в но этим осям, также являются ортогональными до и после деформации. Таким образом, компоненты тензора Грина определяют в теле до деформации положения тройки ортогональных материальных волокон, которые остаются ортогональными и после деформации, а компоненты тензора Альманси оп­ ределяют в теле после деформации положения этой тройки ортогональных материальных волокон, которые были орто­ гональными до деформации.

Исследуя удлинения этих волокон и учитывая выраже­ ния (1.12) и (1.16), получаем

Из (1.30) и аналогичных формул для тензора Альманси, а также из (1.36) выводим

аналогии с (1.30) — (1.34) для тензора деформаций Генки — Грина можно образовать системы инвариантов Ат, &т,

1{т (т = 1, 2, 3) ие<л>, e\h) и ф<Л). Все эти системы инвари­ антов выражаются через алгебраические инварианты тензора деформаций Генки — Грина по формулам, которые получим из (1.31) — (1-34), поставив везде индекс h. Алгебраиче­

14

ские инварианты тензора деформаций Генки — Грина име­ ют вид

алгебраические инварианты тензора деформаций Грина. Аналогичная ситуация имеет место и для систем инвариан­ тов тензора деформаций Генки — Альманси, если во всех соотношениях, характерных для тензора деформаций Ген­ ки — Грина, поставить индекс Д . Алгебраические же ин­ варианты тензоров Грина и Альманси связаны соотноше­ ниями (1.37).

Таким образом, получили, что все системы инвариан­ тов для тензора Грина (Ет (1.32), 1т (1.33), (е, е{ и ф (1.34)),.

АА -А А А

тензора Альманси (Ет, lm, e,ei и ф), тензора Генки — Грина (Em, Im\ ef* и ф<Л)) и тензора Генки— Альманси (£„’,

Лп\ е(,|), e[h) и ф<л>), определяемые формулами, аналогич­ ными (1.32), (1.33) и (1.34), вычисляются через алгебраи­ ческие инварианты тензора деформаций Грина.

Следуя (1.34), введем интенсивность Э{ и фазу Р [46,. 47] девиатора логарифмических удлинений формоизмене­ ния Грнна, главные значения которых с, учитывая (1.25), запишем в виде

После вычислений получаем

Необходимо отметить, что все инварианты, введенные и настоящем параграфе, не имеют физического смысла за. исключением инварианта / 3, связанного с изменением, объема. В работах [45—47] были введены следующие инва­ рианты: относительное изменение объема Д (1.15); резуль­ тирующее удлинение (удлинение формоизменения резуль­ тирующего волокна) I (1.27); результирующий сдвиг у (1.24) и направляющий угол формоизменения а. Эти инпарианты имеют физический смысл и были названы естест­ венными. Следует отметить, что из трех инвариантов е.

1 5

■у и os только два независимых, так как один из них опре­ деляется из соотношения (1.28). Таким образом, естест­ венными инвариантами называют Л, -у и ос.

Учитывая соотношения (1.24), (1.27), (1.28), (1.12), (1.35) и (1.36), можно выразить инварианты у, а и / через

£, et и ф:

<1 + А)8= 1 + 6е + 6(2е2— е\) +

/3 = ( Н - 2 « ) ( 1 + Д ) 3 .

(1.41)

Приняв во внимание (1.34) и (1.35), получим выражения для определения естественных инвариантов через алгебраи­ ческие инварианты тензора деформаций Грина.

Аналогичным образом найдены формулы

125/ = In2[1 + 2 (e-f- V^^cosiJjj)] + 1па[1 + 2(е +

- f V ^ i cos фа)]+1п2[1 + 2 (e+ V 2 et cos ф3)1— In2(l-f-A);

(I. 42) •4 У~2Э] cos 3P — In [1 -\- 2 (e -\- )/2 e{cos ф,)] In [1 + 2(e +

H-V 2 «/cos ф2)] ln[l + 2 (e + K2 «/Cosi])3)] + - ^ In3(1 + A) —

— -g-ln (1 + A) {In [1 —f—2 (^ —V 2 efcos TJ,)J In [1 -f- 2 (e -f-

46

с алгебраическими инвариантами тензора деформации Грина.

Таким образом, в настоящем параграфе через алгебраи­ ческие инварианты тензора деформаций Грина выражены

Рдевиатора тензора логарифмических удлинений формо-

А>4

изменения Грина; инварианты 3£ и р девиатора тензора логарифмических удлинений формоизменения Альмапси; естественные инварианты Д, у, /, а тензора деформаций

А А А

Грина; естественные инварианты А, у, I, а тензора дефор­ маций Альманси. Следовательно, при использовании лю­ бых из этих инвариантов можно перейти к единой системе инвариантов (алгебраические инварианты тензора дефор­ маций Грина А,„), что необходимо для единой формулиров­ ки уравнений состояния.

Изложенные системы инвариантов и связи между ни­ ми (например, при лагранжевом описании) остаются в силе и для произвольного симметричного тензора второго ранга. Эти же результаты применимы и для произвольной криво­ линейной системы координат.

В заключение отметим, что поскольку в дальнейшем будет часто использоваться система инвариантов (1.34), приведем значения этих инвариантов, выраженные через главные значения тензора деформаций Грина,

I

cos Зф = <Г3(Ei — е) (ея— е) (е3— е).

Заметим, что в работах [36—391 использованы несколь­ ко другие инварианты симметричного тензора второго ран­ га. Чтобы избежать недоразумений, укажем, что инвариан­

1 8

§ 4. Описание напряженного состояния. Виды тензоров напряжений и связь между ними

Приведем некоторые известные формы тензоров напря­ жений, которые встречаются в публикациях по теории упругости конечных деформаций. Не будем стремиться к достаточно полному перечню используемых в литературе тензоров напряжений, поскольку соотношения между раз­ личными системами инвариантов тензоров деформаций, приведенные в параграфе 3 данной главы, позволяют по­ лучить выражение для упругого потенциала через любые инварианты тензора деформаций. Последнее обстоятельство позволяет при любом потенциале записать уравнения со­ стояния для конкретного тензора напряжений. Поэтому ниже изложим лишь сведения, позволяющие получить общие результаты при любой постановке задач.

системы координат, определяемой ортами ут, анализ напря­ женного состояния ничем не отличается от соответствую­ щего анализа в классической теории упругости. В этом случае вводится симметричный тензор напряжений Коши, компоненты которого в указанной системе координат обо­

значим через 2#да,. Вектор напряжений по площадке, опре­ деляемой в деформированном теле ортом /т , обозначим че­

рез 2 т - Проекции этого вектора на орты уп запишем через компоненты тензора напряжений Коши в виде

Тт, измеряемый на единицу площади недеформированного тела

(2J . (1.48)

Проекции вектора Тт на орты уп обозначим через tmn, они называются компонентами несимметричного тензора напряжений Кирхгофа. Учитывая (1.47) и (1.48), находим

Кроме того, введем еще обобщенные напряжения, обо­

значенные в [36] через aim, а в [63) — через Smn. Ниже бу­ дем применять оба обозначения. Обобщенные напряже­ ния определяются по формуле

получения общих результатов по теории устойчивости они не потребуются.

Установим связи между компонентами рассмотренных тензоров напряжений. Из (1.46) и (1.51) получим связь между компонентами тензора напряжений Коши и тензора

Соотношения между тензорами обобщенных и истин­ ных [Ощп] напряжений имеют вид (1.50); между несиммет­

20