книги / Методы принятия технических решений

решения, все более близкого к решению по последнему из наз­

принятии решения. Благодаря этому становятся конкурентоспо­ собными и другие варианты решения, отличные от выбранных по ММ- и HL-критериям. Множество вариантов решения, мак­ симизирующее оценочную функцию (7.5), аналогично (6.48) обозначим Е*(е). Согласно условию Gs, из полученного множе­ ства выбираются в качестве оптимальных только варианты решения, которые, кроме выполнения предыдущих условий, оп­ тимальны в смысле BL-критерия (3.4).

Ряд логических условий в выражении (7.1) определяет прЬцедуру принятия решения, заключающуюся в первоначальной фиксации допустимых границ риска, а затем выполнении, э рамках заданных возможностей, поиска оптимального вариан­ та решения. Такой подход наиболее приемлем и при разработке алгоритмов для процедуры принятия решения с помощью ЭВМ. В прикладных задачах, однако, нередко вначале путем варьирования величины риска е,- выполняется оценка возмож­ ного эффекта от решений, соответствующих оценочным функци­

В основе применения описанного выше гибкого критерия выбора решения лежит методический подход к выбору точки

отсчета для величины риска, которой, согласно разд. 6 .6 , дол­ жен быть результат выбора по минимаксному критерию, не зависящий от значений внешних факторов в задаче. Для рас­ ширения области применения критерия на случай опорных ве­ личин риска, зависящих от значений внешних факторов, eZjt /= 1, /z, требуется преобразование оценочных функций G3 и G4 к следующему виду:

Выражения (7.8) и (7.9) представляют собой не что иное, как общий случай формулировки гибкого критерия. В этом легко убедиться, заменив в данных выражениях зависящие от внеш­ них факторов опорные оценки риска ez^ j = 1, ...» п, на резуль­ тат оценочной функции по минимаксному критерию. Тогда для ОУ получаем

+ ( 1 — Ui) (min^z+ei)]}

Минимизация (относительно индекса i) выражения, заключен­ ного в фигурные скобки, адекватна максимизации выражения

94 Глава 7

в квадратных скобках, что соответствует условию G4, а следо­ вательно, и выражению для Zr.

Аналогично ранее обсуждавшимся критериям рассмотрим для наглядности процедуру выбора решения с использованием гибкого критерия на примере с двумя внешними состояниями -Fi и F2. При этом используем среднее значение доверительного фактора, обозначив его через V, и, как и ранее, произведем замену переменных е(у, х\)=и, е(у, x2)=v. Тогда линии уровня

Рис. 7.1. Область предпочтения для случая гибкого критерия.

на плоскости uv для оценочной функции Zr G4 [см. (7.5)] будут описываться уравнением

M+2u + 9min(«, v) =с.

Линии уровня, приведенные на рис. 7.1, полностью соответству­ ют аналогичным линиям для HL-критерия (сравните с рис. 5.8). Линии уровня представляют собой две системы параллельных прямых, встречающихся для фиксированного уровня с на на­ правляющей прямой ы=у. При v^Lu линии уровня описываются уравнением u+ \\v = c, а при v"^u — уравнением 1 0 ы+2 о= с. Величина угла а между этими прямыми линиями зависит от значения доверительного фактора V; как и для HL-критерия, при У= 0 он соответствует семейству линий уровня минимакс­

ного критерия и равен а = я /2 , а при У= 1 соответствует семей­ ству линий уровня BL-критерия, т. е. а = я .

Теперь рассмотрим влияние ограничения G3 возможного риска si и для наглядности примем ei = l, е2 = 2. Отсюда, снача­ ла в общем виде, согласно выражению (7.5), линии уровня описываются выражением

V(uhi + vh2) + ( 1 — V)m in(«+1 , v+2)=k,

а если, как и выше, выбрать V= 1 /4, /ii = 1/3 и /г2 = 2/3, то полу­ чим

u+2v + 9m\n(ut и+1)=с*.

И в этом случае линии уровня образуют два семейства параллельных прямых, которые при одинаковом значении уров­ ня с* имеют общую точку на направляющей прямой, описывае­ мой уравнением v = u—1 (рис. 7.2) . Уравнения прямых одина­ кового уровня с\ как в предыдущем случае, определяются и

Рис. 7.2. Графический выбор вари­ анта решения согласно гибкому критерию с учетом риска.

виде u+ l\v = c' и \0u+2v = c' и, таким образом, угол а между указанными прямыми остается без изменения (см. разд. 5.3.1).

Ход предыдущих рассуждений показывает, что гибкий кри­ терий позволяет согласовать рассматриваемую задачу выбора решения с конкретными условиями. При малой статистической выборке состояний исходных данных, а также небольшой ста­ тистике реализаций решения гибкий критерий действует прак­ тически аналогично минимаксному; с возрастанием объема статистической выборки сочетаний внешних факторов и стати­ стики ранее осуществленных решений гибкий критерий по своим результатам все более и более приближается к BL-кри- терию. Выбранное решение будет тем консервативнее, чем мень­ шим объемом априорной информации располагает лицо, при­ нимающее решение, и чем меньше число ранее известных

случаев решения рассматриваемой задачи. Эти свойства, при­ сущие гибкому критерию, справедливы для любой его версии с использованием доверительных факторов, рассмотренных в разд. 6.4. Гибкий критерий целесообразно применять, имея некоторый опыт и математическую подготовку в вопросах при­ нятия решения; он требует только наличия данных, собранных в процессе постановки и попыток решения задачи, затраты на которые должны быть меньше величины возможного выиг­ рыша.

7.2. Применение

Выбор оптимального варианта решения с использованием представленного в разд. 7.1 гибкого критерия удобно проиллю­ стрировать на примере задачи управления каким-либо процес­ сом. С целью упрощения хода рассуждений рассмотрим четыре

Процесс подвержен влиянию неопределенности параметров К\ и К2, о которых известны только области их возможных значений: для К\ 2,97^Ki=^3,00 и для Кг 2,97^/С2^3,03. Область значений параметра Ki разбита на два класса с пред­ ставляющими их средними значениями 2,975 и 2,985, а область

для каждого из рассматриваемых шести сочетаний исходных данных Л, ...» FQ и необходимые для вычисления эмпирического доверительного фактора.

Для расчета эмпирико-прогностического фактора будем ис­

Результаты табл. 7.5 отражают дальнейшие шаги в процессе выбора решения с использованием гибкого критерия. Первый столбец полностью совпадает с последним столбцом табл. 7.1. При этом видно, что результаты сохраняют ту же монотонность поведения в зависимости от внешних состояний для всех вариан-

Таблица 7.5. Числовые значения величин, используемых при применении гибкого критерия принятия решения

тов решения. Второй столбец содержит для всех четырех ва­ риантов сумму произведений каждого из значений оценочной функции на относительную частоту реализации соответствую­ щего сочетания исходных данных, приведенную в первой строке табл. 7.3. Аналогичным образом получены и два остальных.

Кофлер и Менг определяют оценочную функцию адаптивного критерия следующим образом:

Критерий, определяемый выражением (7.11), может быть оха­ рактеризован как «бернуллизация» минимаксного критерия, по­ скольку выбор оптимального варианта по Бернулли состоит, по существу, в том, что максимизируется математическое ожида­ ние результата. Область применения критерия может быть рас­ ширена, поскольку момент времени принятия решения не зада­ ется, и лицо, принимающее решение, располагает возможностью выбрать благоприятное для себя время.

Множество априорных вероятностных распределений обра­ зует для конечного числа внешних состояний (пусть т — их число) конечномерный симплекс S(m). Частичная информация состоит тогда в знании некоторого (не вырождающегося до од­ ного распределения) собственного поДсимплекса Р. При этом говорят о кусочно-линейной информации (КЛИ), если указан­ ная часть симплекса образует выпуклое многомерное подпро­ странство. Кусочно-линейная информация обладает различны­ ми важными свойствами, например, в вероятностном подпро­ странстве этой информации существует реальная точка экстре­ мума, координаты которой составляют матрицу. Кроме того, на основании априорного вероятностного распределения или априорного задания частотного распределения значений пара­ метра по интервалам можно получить апостериорное вероят­ ностное распределение или, соответственно, апостериорное час­ тотное распределение параметра по интервалам, но, конечно, также кусочно-линейного типа.

Если для симплекса распределения внешних состояний S(m)

ства Р(т) и пространства S(m), представляет собой относитель­ ную энтропию.

Чувствительностью а(ДI) ситуации ES по отношению к за­ данному изменению информации ДI называется приращение