книги / Методы принятия технических решений
..pdf142 |
Глава 9 |
валов, по всей вероятности, содержат меньше представительных значений, чем центральные. Ясно, что параметр будет оценентем лучше, чем больше число щ выбранных реализаций.
9.5.1. Разделение общего числа представительных значений по параметрам внешнего состояния
Чем больше общее число L параметров исходной информа ции, которые приходится учитывать и комбинировать, тем боль ше возрастают, естественно, и расходы, а число N всех комби наций, в соответствии с формулой (6.1), составляет
L
N == П Пи
1
где щ — число состояний /-го параметра исходных данных. По скольку число N принимаемых в расчет внешних состояний для. многих ситуаций принятия решения предопределяется затрата ми на обработку, из множества всех возможных следует вы брать такие сочетания, которые наилучшим образом характери зовали бы состояние исходных данных и его изменения.
Этот отбор должен, насколько возможно, удовлетворять сле дующим требованиям: 1) число щ значений параметра Xi долж но соответствовать его влиянию на результат; 2) сочетания зна чений параметра хи которые оказывают одинаковое или сходное влияние на результат, не должны быть представлены в N со стояниях многократно; 3) отбор должен быть в максимальной степени независимым от субъективного отношения исследовате ля; 4) те из выбранных сочетаний, которые по характеру ре шаемой задачи маловероятны, должны быть исключены.
Хотя субъективное .влияние исследователя часто очень вели ко, сам по себе субъективный отбор широко укоренился в прак тике и достаточно надежен. Все требования, кроме третьего, могут быть в достаточной мере рационально выполнены при субъективном отборе. В работе [12] предложено три формали зованных метода, которые, правда, трудоемки, однако они лишь в очень незначительной степени связаны с субъективными факторами.
Для множества значений параметров |
хи |
/=1, ... |
, L, рас |
сматривается параллелепипед или другая |
соответствующая |
||
L-мерная область. В первом методе в эту |
область |
вносятся |
|
N сфер одинакового и максимально |
возможного |
диаметра. |
|
Центры сфер определяют, например на границе параллелепи педа, подлежащие выбору реализации Хц и одновременно со четания исходных данных. Этот метод применим только для небольшого числа неопределенных параметров, примерно до
Анализ ситуаций выбора решения |
н а |
£ = 10. Кроме того, для этой задачи еще не существует общего решения.
По второму методу внутри выбранной области располагают равномерную сетку. На этой сетке выбирают заданное число узловых точек таким образом, чтобы расстояние их друг от друга было максимальным. Для отбора применяют теорию ли нейных кодов [12].
Третий метод формального отбора основан на использова нии метода Монте-Карло и метода классификации. По задан ным каким-либо образом распределениям х{ определяют стати стически большое число точек в области неопределенности па раметра Xi. Полученное множество точек разделяют на N групп. Групповые «центры» выбирают при этом так, чтобы средне квадратическое расстояние между точками в группе было ми нимальным, а расстояния между центрами — максимальным.
Отметим, что Беляев, автор работы [12], отдает предпочте ние второму методу. Эти три формализованных метода распо лагают представительные значения xt равномерно, что противо речит первому требованию отбора. Если для более значимых вариантов желательно более детально задать параметры, то сле дует действовать, как указано в работе [20].
Число групп NWi некоторого параметра полагают пропор циональным его значимости Bi\
NWt=PBi. (9.13)
Здесь Р — коэффициент пропорциональности, который даль ше точно не определяется. В соответствии с формулой (6.8) из разд. 6.2 для рассматриваемого параметра /о справедливо ра венство:
NWl0.= PRlQHlQ. |
(9.14) |
Однако энтропия Hio сама зависит от числа групп. |
Чтобы |
представить эту зависимость, функции распределения |
следует |
ограничить конечной областью, поскольку в противном случае число групп независимо от ширины интервала А* становится бесконечно большим.
Пусть все распределения вероятностей сосредоточены на ко нечных областях шириной b и пусть ширина интервала группы
для всех параметров постоянна, одинакова |
и равна А, так что |
b= ANW. |
(9.15) |
Определение ширины b получается из предположения о нор мальном распределении. Если обрезать это распределение на границах За с обеих сторон, то в этих границах будет заключе но 99,73 % всех возможных вероятностных событий. Логично и
Я 44 |
Глава 9 |
в отношении всех рассматриваемых нами распределений принять для b область внутри границ ±3<т. Для трех важных типов распределений это дает следующие результаты,
а) Нормальное распределение:
&н = 6(Т, |
|
|
(9.16) |
Я „ = In (2i2neNW/6), |
(9.17) |
||
где о — параметр нормального распределения. |
|
||
б) Распределение Вейбулла: |
|
|
|
Ь = у/ 5,9145/т), |
б—11 е, |
(9.18) |
|
Яв= 1п . e N W |
+ |
(9.19) |
|
6 ^ 5 , 9 1 4 5 |
|
6 |
|
ггде т) — масштабный параметр распределения, б — параметр формы распределения, е=0,5772 — константа Эйлера,
в) Логарифмически-нормальное распределение:
Ьл.и = е*>та*«*, |
(9.20) |
Н„.н= In NWal(2ne—2,782с, |
(9.21) |
где а, (х — параметры распределения.
Энтропию можно теперь представить следующим образом:
H=\nNW+hv, |
(9.22) |
откуда hv= H—\nNW. Величина hv представляет не зависящую от числа групп часть энтропии — так называемую главную со
ставляющую (ом. разд. 6.2), называемую также |
дифференци |
|
альной энтропией. |
для приведенных |
выше рас |
Дифференциальная энтропия |
||
пределений равна: |
|
|
InN W = In |
- —0,3728, |
(9.23) |
hB = HB—\nNW=ln —T~ |
— pJbiL e> |
(9.24) |
6 - j / 5 ,9 1 4 5 |
6 |
|
Лл.н=Ял.„—lnNW= 1,418+In o—2,782o. |
(9.25) |
|
Для равномерного распределения: |
|
|
/грав„ = 0. |
|
(9.26) |
В табл. 9.4 представлена зависимость дифференциальной энтропии вейбулловского и логарифмически-нормального рас пределений от некоторых параметров распределения; указаны
|
Анализ ситуаций выбора решения |
145 |
||
Таблица 9.4. Дифференциальная энтропия вейбулловского |
||||
|
и логарифмически-нормального распределений |
|||
|
Р а с п р е д е л е н и е В е й б у л л а |
|
Л о г а р и ф м и ч е ск и -н о р м а л ь н о е |
|
|
|
|
р а с п р е д е л е н и е |
|
|
|
|
|
|
б |
лв |
Ч а ст н ы е |
о |
Лл.н |
с л у ч а и |
||||
0,5 |
2,4389 |
|
0,1 |
1,1618 |
1 |
0,7774 |
= ^ЭКСП |
0,5 |
0,6652 |
2 |
0,2933 |
|
1 |
1,3631 |
3 |
0,3063 |
—hn |
5 |
10,8816 |
3,754 |
0,3728 |
|||
4 |
0,5032 |
|
10 |
24,0985 |
10 |
0,9608 |
|
||
также частные случаи перехода к экспоненциальному и нор мальному распределениям.
С помощью дифференциальной энтропии можно теперь вы брать необходимое число NWi0 дискретных значений рассмат
риваемого параметра L), если N — число всех внеш них состояний, которые следует учесть при решении задачи.
Нетрудно показать, что справедливо следующее уравнение:
NWk =exр |
_ L |
L |
(9.27) |
|
PL п |
(In NW,+h,) П * , _ |
hi |
|
Шо |
1 |
|
где Р — коэффициент |
пропорциональности, |
NWi — число рас |
|
сматриваемых значений параметра, Ы— дифференциальная эн тропия распределения параметра, Ri — релевантность парамет ра, 0 — индекс рассматриваемого параметра.
Это уравнение может быть использовано для_определения числа групп NW итерационным методом, причем Р выбирается произвольно. Осуществляют это следующим образом:
NWi^NW^NWt^f.i^U
NW2=NW2(NWU NWi*) : Ш , 2
и так далее, заканчивая, когда
\NWi* — NWi\=NW,
где NW — допустимое отклонение.
10— 152
146 |
Глава 9 |
Требования к точности приближения не должны устанавли ваться слишком высокими, потому что все равно каждое число должно быть округлено. При практических расчетах число групп NWi0 для одного параметра xi0 целесообразно задать за
ранее, причем в качестве базового параметра х;0 имеет смысл выбрать параметр с наиболее низкой релевантностью:
Xlo: |
= |
(9.28) |
Число групп для других параметров получают теперь из |
||
(9.14) и (9.22): |
|
|
NW,0 |
Ri _ |
NWi |
In NWl()+hi0Ri0~ |
(9.29) |
|
InNWi+hi |
||
c 1= 1 ...L.
Из соображений возможности расчета обычно задается то максимальное ЧИСЛО СОСТОЯНИЙ ИСХОДНЫХ данных Ломакс, которое можно обработать, так что справедливо соотношение
П NWi = Nмакс» |
(9 .30) |
Варьируя шаг за шагом заданное вначале число групп NWlo, достигают этой границы, причем целесообразно на основе
соотношения
Hh= l n N W lo+ h lo> l
начинать с наименьшего числа
(9.31) и увеличивать это число до тех пор, пока не будет достигнуто
условие (9.30). |
по формулам (9.29) — |
|
Однако и при этих вычислениях |
||
(9.31) |
не следует требовать излишней точности, так как, безус |
|
ловно, |
будут необходимы округления |
результатов. |
9.5.2. Распределение заданного числа представительных значений по диапазону неопределенности параметра
Когда рассматривают некоторый параметр х состояния ис ходных данных, можно выставить еще одно требование к вы бору дискретных представительных значений параметра:
—распределение дискретных значений по интервалу \х,х],
вкотором они заключаются, должно отвечать вероятности реа лизации соответствующих состояний.
Анализ ситуаций выбора решения |
147 |
|
Это требование может быть удовлетворено, если выбранные |
||
дискретные значения х/, /=1, |
п, представляют, |
соответст |
венно, такие подынтервалы Ах/ интервала [х, лг], на которых вероятности реализации неизвестного параметра одинаковы. Площадь под соответствующей функцией плотности вероятно
стей f(x) в интервале [х, х] нужно для этого разбить на л рав новеликих по площади параллельных полос, расположенных перпендикулярно оси х (рис. 9.12). В результате получается в
Рис. 9.12. Распределение дискретных значений неизвестного параметра по ин тервалу значений его возможных реализаций.
общем случае неравномерное распределение значений х;-, за
ключенных в подынтервалах АX/ области [х, х]. Если F(x) — первообразная функция /(х), т. е. F'(x)=f(x), то при одинако вых приращениях AE=const величина первого приращения рав на площади полосы, начинающейся в X и имеющей ширину Ах=Дхь
v |
v |
х+Ах |
(9.32) |
AF=F(x+Ax) — F(x) — $ f (x)dx. |
|||
X
Разлагая AF в ряд Тейлора с учетом F'(x)=f(x),
AF=F(x+Ax) — F (x) (x) +F' (x)Ax+ -i- F"(x)Ax2 +
F'"(x)Ax3+ . . . —F(x)= Axj^/(x) +
+ ± f'( x) Ax + - j f"(x)Ax2 + ... ] , |
(9.33) |
получаем
Ax—AF j || f(x)+ f'(x)Ax+ -j- f"(x)Ax2+ ... j . (9.34)
откуда, ограничиваясь соответствующим числом членов ряда, стоящего в знаменателе, можно получить приближенные значе-
10*
148 |
Глава 9 |
|
ния Да:. На практике |
обычно ограничиваются квадратичным |
|
членом ряда, так что |
|
|
A x ^ A F / ( f (х) + |
- L f' W AJC+ -i- Г (x) Ax* ). |
(9.35) |
Соотношение (9.35) может быть использовано для итеративно* го определения Ах:
tAx)n+1 = AF Д /(*) + |
у Г Й ( Д х ) л+ |г Й ( 4 х ) „ 2 ) |
(9.36) |
с начальным значением |
|
|
|
Ax0=AFff(x). |
(9.37) |
Условием сходимости для итеративного процесса при достаточ но малом AF является |Г (*) | < 2 |/(х ) | . Полагая Дд:=Дд:ь по лучают х+Ах\=х1 и, продолжая процедуру, описанную для пер
вого шага, получают Ах2, Х\ + Ах2 = х2 и так далее для после дующих подынтервалов. При этом между площадью AF и вы бранным числом п подынтервалов существует связь:
n-AF= | f(x)dx. |
(9.38) |
* |
|
Часто расчет производных, входящих в формулы (9.34), (9.35) и (9.36), затруднителен, вследствие чего используют разност ные величины, получая приближенные значения:
Г Ос) |
Сх+Ах) - f ( x - Ах)], |
(9.39) |
Г (х) * ~ ^ [ f |
(х+Ьх) - 2/ (х) + / (х - Ах) ] , |
(9.40) |
что приводит, вместо (9.35), к |
|
|
Ax^AF — ?--------- % ------ *---------. |
(9.41) |
|
|
5 /(х + Д * )+ 8 /(* ) — f(x —Ах) |
|
Соответствующие аппроксимации и расчеты будут тем точнее, чем меньше выбранная величина ДF.
На рис. 9.13 показаны меняющиеся по знаку отклонения рассчитанных значений оценочной функции ZBL в зависимости от п. Такие отклонения могут в особых случаях привести к тому, что будут выбраны неоптимальные варианты. На откло нения влияют:
—функция распределения параметра внешнего состояния в области неопределенности;
—оценочная функция;
—критерий решения.
В большинстве случаев желаемая точность может быть до-
Анализ ситуаций выбора решения |
149 |
стнгнута с небольшим числом представительных значений. Ко нечно, при использовании единственного представительного значения получается детерминированная задача. В отдельных случаях при небольшом числе представительных значений и большой значимости параметра (разд. 6.2) может потребовать ся контроль возможных ошибок (рис. 9.13). При нормальном и всех других функциях распределения, особо выделяющих
Рис. 9.13. Отклонения оценочной функции.
ZBL — оценочная функция; |
— вычисленные значения аппроксимации оценочной |
|
функции. |
средние значения, следует предпочесть наименьшее число пред ставительных значений параметра и эквидистантную последова тельность нечетных чисел, тогда как, например, при двух пред ставительных значениях отклонение расчетных величин может оказаться больше, чем при единственном представительном значении параметра. На рис. 9.14 это ясно видно, как и влия ние критерия выбора решения. В данном случае были выбраны гибкий критерий с зависящей от п оценочной функцией и дове рительный фактор У (а) произвольной формы. Видно, что при больших числах п и малых значениях доверительного факто ра У (а) функция сохраняет монотонность, тогда как при малых числах представительных значений параметра и больших зна чениях доверительного фактора У (а) монотонность не сохра няется. При этом малая величина доверительного фактора У (а) в гибком критерии выбора решения (7.1) означает предпочте ние минимаксному критерию (3.3), а большая величина У (а) означает, что предпочтительным становится BL-критерий (3.6). Для функций распределения, в которых наиболее вероятные
150 |
Глава 9 |
V(a)--1
0,8
- 0,6
0,5
0,3
-0,1
о
Рис. 9.14. Зависимость оценочной функции от числа интервалов дискретизаций параметра п и доверительного фактора Г (а).
Таблица 9.5. Число интервалов дискретизации независимых параметров Х\ и х 2 для примера из разд. 6.7
Шаг |
ЛМР| |
NW, |
Я |
1 |
3 |
10 |
30 |
2 |
4 |
11 |
44 |
3 |
5 |
13 |
65 |
4 |
6 |
15 |
90 |
5 |
7 |
17 |
119 |
Анализ ситуаций выбора решения |
151 |
значения не концентрируются близ середины, следует предпо честь нечетные числа. На рис. 9.13 видно также, что при такой функции распределения отклонения для четных чисел п пред ставительных значений параметра (обозначенные крестиками) равны нулю.
Метод, обеспечивающий одновременное выполнение требо ваний разд. 9.5.1 и 9.5.2, можно построить таким образом, что бы переходить от более грубого к более тонкому разбиению на интервалы области изменения параметра. Рассматривают оце
ночную функцию |
e(yi, Xu) с t = l , . . . , |
m , / = l , . .. ,n ,/ = 1 , . .. , L |
и выбирают из |
L параметров такие |
в интервале измене |
ния которых \xi, х{\ оценочная функция испытывает наибольшие изменения. Этот интервал затем разбивают пополам, и оба подынтервала рассматриваются таким образом, как будто они соответствуют двум различным параметрам. Затем из L+ 1 па раметров вновь отыскивают такие, которые дают на своем ин тервале наибольшую разницу значений оценочной функции, и де лят эти интервалы. Этот процесс продолжается, пока не будет достигнут удовлетворительный уровень разбиения. Этот метод пригоден прежде всего для 1МОИОтонных функций.
9.6. |
Пример расчета числа |
|
дискретизирующих шагов для оценочной |
||
|
функции (6.69) |
|
В разд. 6.7 были уже рассчитаны релевантности (коэффи |
||
циенты влияния) независимых параметров |
Х\ и х% рассмотрен |
|
ной там оценочной |
функции; результаты |
расчета приведены |
в табл. 6.7 и 6.8. |
|
|
Дифференциальная энтропия ht для равномерно распреде ленного параметра Х\ по формуле (9.26) равна нулю, а для
распределенного по нормальному закону параметра х%— по формуле (9.23) Л2= —0,3728.
В модели выбора решения из соображений приемлемого объема вычислений при удовлетворительной точности принято Лгчакс = Ю0 внешних состояний. В связи с тем, что RI<.R2, в ка
честве базового выбран параметр |
По формуле |
(9.31) |
||
минимальное |
число групп |
(интервалов |
дискретизации) |
NW\ = |
= <д-о=2,72, |
т. е. NWi = 3. |
Из (9.29) для параметра Ха получа |
||
ем NW2 —10.
Число интервалов для базового параметра теперь шаг за
шагом |
увеличивают, |
пока не будет достигнуто ММакс=Ю0. |
В табл. |
9.5 показаны |
результаты расчетов по формуле (9.29) |
по шагам. Четвертый шаг с NW1= 6, NWa=l5 и ЛГ=90 оказы вается последним. Параметр Х\ разделен на 6, а параметр Ха—
на 15 интервалов.