книги / Методы принятия технических решений

3

КЛАССИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

3.1. Минимаксный критерий

Минимаксный критерий (ММ) [10] использует оценочную функцию (2.6), соответствующую позиции крайней осторожно­ сти.

При

где Zмм — оценочная функция ММ-критерия.

Поскольку в области технических задач построение множе­ ства Е вариантов уже само по себе требует весьма значитель­ ных усилий, причем иногда возникает необходимость в их рас­ смотрении с различных точек зрения, условие £ /о^Е включа­ ется во все критерии. Оно должно напоминать о том, что сово­ купность вариантов необходимо исследовать возможно более полным образом, чтобы была обеспечена оптимальность выби­ раемого варианта.

Правило выбора решения в соответствии с ММ-критерием можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений ||в/?|| дополняется еще одним столбцом из наименьших результатов е1Г каждой строки. Выбрать надле­ жит те варианты £*о, в строках которых стоят наибольшие значения ег> этого столбца.

Выбранные таким образом варианты полностью исключают риск. Это означает, что принимающий решение не может столк­ нуться с худшим результатом, чем тот, на который он ориенти­ руется. Какие бы условия Fj ни встретились, соответствующий результат не может оказаться ниже ZMмЭто свойство застав­ ляет считать минимаксный критерий одним из фундаменталь­ ных. Поэтому в технических задачах он применяется чаще все­

отсутствии риска стоит различных потерь. Продемонстрируем это на небольшом примере (табл. 3.1).

Хотя вариант Е\ кажется издали более выгодным, согласно ММ-критерию оптимальным следует считать E0 = {i:2}. Приня­ тие решения по этому критерию может, однако, оказаться еще менее разумным, если

—состояние F2 встречается чаще, чем состояние Fu и

—решение реализуется многократно.

Таблица 3.1. Пример вариантов решения без учета риска

правда, избегаем неудачного значения 1, реализующегося в ва­ рианте Ei при внешнем состоянии /у получая вместо него при этом состоянии немного лучший результат 1, 1, зато в состоя­ нии / 2 теряем выигрыш 100, получая всего только 1, 1. Этот пример показывает, что в многочисленных практических ситуа­ циях пессимизм минимаксного критерия может оказаться очень невыгодным.

Применение ММ-критерия бывает оправданно, если ситуа­ ция, в которой принимается решение, характеризуется следую­ щими обстоятельствами:

—о возможности появления внешних состояний Fj ничего не известно;

—приходится считаться с появлением различных внешних состояний /у

—решение реализуется лишь один раз;

—необходимо исключить какой бы то ни было риск, т. е. ни при каких условиях Fj не допускается получать результат, меньший, чем ZMм-

Более обстоятельно проблема риска, связанного с приняти­ ем решений, рассматривается в разд. 6.5.

3.2. Критерий Байеса — Лапласа в

напротив, учитывает каждое из возможных следствий.

24 Глава 3

Соответствующее правило выбора можно интерпретировать следующим образом:

Матрица решений ||е^-|| дополняется еще одним столбцом, содержащим математическое ожидание значений каждой из строк. Выбираются те варианты Ею, в строках которых сто­ ит наибольшее значение ew этого столбца.

(бесконечной) реализации какой-либо риск практически ис­ ключен.

Исходная позиция применяющего BL-критерий оптимистич­ нее, чем в случае ММ-критерия, однако она предполагает бо­ лее высокий уровень информированности и достаточно длинные реализации.

3.3. Критерий Сэвиджа

Рассмотрим более подробно критерий Сэвиджа [11J, вве­ денный выше соотношением (2.7). С помощью обозначений

скольку в технических приложениях этот критерий до сего вре­ мени применяется мало.

Основным здесь является предположение о том, что каждо­

и обозначим через W<n) множество всех я-мерных вероятност­ ных векторов. Выбор какого-либо варианта решения Ег приво­ дит ппри достаточно долгом применении Et к среднему результа-

ту 2 eijqj. Если же теперь случайным образом с распределени-

т п

е(р, q) =YZeijPiqj.

1=i /=i

Вреальной ситуации вектор q=(<7i, . . qn), относящийся к со-

стояниям Fjt бывает, как правило, неизвестен. Ориентируясь применительно к значению е(р, q) на наименее выгодное рас­ пределение q состояний Fj и добиваясь, с другой стороны, мак­ симального увеличения е(Р, q) за счет выбора наиболее удач­ ного распределения р вариантов решения £ г-, получают в ре­ зультате значение, соответствующее расширенному ММ-крите- рию.

Обозначим теперь через £(р) обобщенный вариант решения,

Е (ро) = { £ (ро) | Е (ро)е=ЕЛе(ро, q0) =

Рq t = 1 /=1

где р —вероятностный вектор для £\-, a q — вероятностный век­ тор для F j .

Таким образом, расширенный ММ-критерий задается целью найти наивыгоднейшее распределение вероятностей на множе­ стве вариантов Eiy когда в многократно воспроизводящейся си­ туации ничего не известно о вероятностях состояний Fj. Поэто­

му предполагается, что Fj распределены наименее выгодным образом.

3.5. Применение классических критериев

Из требований, предъявляемых рассмотренными критериями к анализируемой ситуации, становится ясно, что вследствие их жестких исходных позиций они применимы только для идеали­ зированных практических решений. В случаях, когда требуется слишком сильная идеализация, можно одновременно применять поочередно различные критерии. После этого среди нескольких вариантов, отобранных таким образом в качестве оптимальных, приходится все-таки волевым образохЧ выделять некоторое окончательное решение [12J. Такой подход позволяет, во-пер­ вых, лучше проникнуть во все внутренние связи проблемы при­ нятия решений и, во-вторых, ослабляет влияние субъективного фактора.

Выбор решения по классическим критериям проиллюстриру­ ем следующим примером.

Пусть некоторую машину (технологическую установку, кон­ вейер, станок и т. п.) требуется подвергнуть проверке с прио­ становкой, естественно, ее эксплуатации. Из-за этого приостанав­ ливается выпуск продукции. Если же эксплуатации машины по­ мешает не обнаруженная своевременно неисправность, то это приведет не только к приостановке работы, но и дополнительно к поломке.

Варианты решения таковы: Е\ —полная проверка;

Е2 — минимальная проверка;

£3 — отказ от проверки.

Машина может находиться в следующих состояниях: F\ — неисправностей нет;

Fo — имеется незначительная неисправность; Fz — имеется серьезная неисправность.

Результаты включают затраты на проверки и устранение не­ исправности, а также затраты, связанные с потерями в продук-

ции и с поломкой. Они приведены в табл. 3.2. Согласно ММкритерию (3.3), .следует проводить полную проверку (E0 = {£i})^ BL-критерий в предположении, что все состояния машины рав­ новероятны (<7/= 0,33), рекомендует отказаться от проверки (E0={£i}. Табл. 3.3 иллюстрирует применение S-критерия. Им

вкачестве оптимальной рекомендуется минимальная проверка. Наш пример сознательно выбран так, что каждый критерий

предлагает новое решение. Неопределенность состояния, в ко­ тором проверка застает машину, превращается теперь в отсут­ ствие ясности, какому же критерию следовать. Таким образом, мы вроде бы мало что выиграли. Самое большее, можно было

Таблица 3.3. Матрица остатков для примера «Решения о проверках машины» и их оценка (в 103) согласно S-критерию

бы проверить после этого, не принимают ли величины eir для какого-нибудь критерия приблизительно равные значения, как, например, в2г= 14,0-103 и е3г= 15,0-103 в табл. 3.3; рекоменда­ ции такого критерия выглядят менее убедительными. Посколь­ ку различные критерии связаны с различными же аспектами ситуации, в которой принимается решение, лучше всего для сравнительной оценки рекомендаций тех или иных критериев получить дополнительную информацию о самой ситуации. Если принимаемое решение относится к сотням машин с одинаковы­ ми параметрами, то целесообразно придерживаться BL-крите- рия. Если же число реализаций невелико, то больший вес при­ обретают более осторожные рекомендации S- или ММ-крите- риев.

В области технических задач различные критерии часто при­ водят к одному результату. Предположим, что в рассматривае­ мом примере серьезная неисправность (состояние Fz) встреча­ ется вдвое чаще, чем любое другое состояние {q\ = q2 \ #з = 0,5); тогда BL-критерий, как и ММ-критерий, рекомендует полную проверку (E0={£i}).

Бывают и такие ситуации, когда все критерии дают одина­ ковые результаты. Если для нашего примера (табл. 3.2) с по­

мощью соответствующих мероприятий удастся так снизить затраты на полную проверку, что в соответствующей строке мы будем иметь еп = —18,0• 103, ем——20,0* 103 и еп =—22,(МО3, то все три применявшихся критерия предпишут полную про­ верку.

Всякий вариант, избираемый в данном случае всеми рассмот­ ренными критериями, является слабо доминирующим. Сильное доминирование имеет место, когда для всех результатов е\\ од­ ного из рассматриваемых вариантов справедливо

ец<ец для /=1, . . п и e\j<eij хотя бы для одного /.

Над указанным вариантом Е\ остальные варианты доминируют. Его можно исключить из матрицы решений, так как для всяко­ го Fj он дает худший результат, чем другие.

Если какой-либо вариант Е\ доминирует сильно, т. е. выпол­ няются условия

ец>ец для всех /=1, ..., п и в\f>eif хотя бы для одного /,

то даже при отсутствии информации о возможных внешних со­ стояниях Fj никакой проблемы относительно принимаемого ре­ шения нет. Для всякого Fj вариант Ei — наилучший.

4

ПРОИЗВОДНЫЕ КРИТЕРИИ

4.1. Критерий Гурвица

Стараясь занять наиболее уравновешенную позицию, Гурвиц [13] предложил критерий (HW), оценочная функция кото­ рого находится где-то между точками зрения предельного оп­ тимизма (2.4) и крайнего пессимизма (2.6):

где с — весовой множитель.

Правило выбора согласно HW-критерию формулируется на­ ми следующим образом:

Матрица решений ||е,7|| дополняется столбцом, содержащим средние взвешенные наименьшего и наибольшего результа­ тов для каждой строки (4.2). Выбираются те варианты £,0, в строках которых стоят наибольшие элементы е,> этого столбца.

Для с= 1 HW-критерий превращается в ММ-критерий. Для с= 0 он превращается в критерий азартного игрока. Отсюда яс­ но, какое значение имеет весовой множитель с. В технических приложениях правильно выбрать этот множитель бывает так же трудно, как правильно выбрать критерий. Вряд ли возмож­ но найти количественную характеристику для тех долей опти­ мизма и пессимизма, которые присутствуют при принятии реше­ ния. Поэтому чаще всего весовой множитель с=0,5 без возра­ жений принимается в качестве некоторой «средней» точки зре­ ния. При обосновании выбора применяют обратный порядок действий. Для приглянувшегося решения вычисляется весовой множитель с, и он интерпретируется как показатель соотноше­ ния оптимизма и пессимизма. Таким образом, позиции, исходя