книги / Методы принятия технических решений

5

СВЯЗИ МЕЖДУ КРИТЕРИЯМИ

Уже при введении и обсуждении критериев выбора решений в гл. 3 и 4 стали заметны определенные сходства и различия между ними, которые теперь следует обсудить более подробно. При этом мы хотим прояснить способ действия различных кри­ териев как путем их взаимного сравнения, так и, насколько это возможно, с помощью соответствующих графических представ­

шений (мы используем при этом то положение, что в зависимо­ сти от заданного состояния х требуется выбрать подходящее значение переменной решения у), которые принадлежат беско­ нечным, вообще говоря, областям F (для возможных состоя­ ний) и Е (для переменных решения):

е(у,х), у(=Е, лее/7.

Случай конечных множеств вариантов решений и состояний, только и рассматривавшийся ранее, получается в этой поста­ новке для конечных множеств Е и F. Имея в виду наглядность графической интерпретации, ограничимся в дальнейшем двумя состояниями Л и Fг, тогда как переменной решения у мы поз­ волим принадлежать бесконечной, вообще говоря, области Е.

(и, о)-плоскости представляет тем самым результаты варианта решения у, соответствующие обоим состояниям F\ и F2.

В случае конкретного критерия, оценочная функция которо­ го е,> при наличии двух состояний Fi и F2 есть функция вели­

функцией предпочтения (соответствующей данному критерию). Для большинства критериев задача состоит в максимизации ре­

параллельными переносами некоторой линии вдоль какой-либо

Рис. 5.1. Функция предпочтения.

прямой на плоскости (м, о); назовем эту прямую направляю­ щей LG. Можно представить себе при этом, например, семей­ ство конусов предпочтения для ММ-критерия, вершины которых лежат на направляющей у=х. В этом случае оптимальный ва­ риант решения (для рассматриваемых здесь критериев) полу­ чается просто за счет того, что линия уровня сдвигается до тех пор, пока она в последний раз задевает область полезности — именно, в точке наивысшего уровня.

5.1. Критерии с прямоугольными конусами предпочтения

5.1.1. ММ-критерий

Действуя в соответствии с изложенным в гл. 5 для мини­ максного критерия, задаваемого согласно (2.6) равенством

max e,y=maх min ец, i i /

получаем в двумерном случае (т= 2, ец = и, et2 = v) в качестве

линий уровня семейство кривых

min (w, v) =k,

зависящее от параметра k. Это означает, что на линии уровня,

причем величины qj являются вероятностями:

<7/>0, 2 1.

/- 1

Поскольку и=е(у, F\), v=e(y, F2), линии уровня G-критерия приводятся к виду

угольной системе координат задают опять-таки прямоугольные конуса. Вершины этих конусов лежат на так называемых опор­ ных прямых

В то же время он демонстрирует как аналогии, так и различия между этим критерием и ММ-критерием (рис. 5.1), получаю-

Рис. 5.4. Функции предпочтения G-критерия при qi=*l/3, <72—2/3.

щимся в виде частного случая при qi=q2 = 42. Изменяющиеся значения qi и q2 приводят к различным углам наклона опор­ ной прямой.

Линии уровня из третьего квадранта, т. е. для случая отри­ цательных возможных результатов, не продолжаются во второй и четвертый квадранты. Оптимальное решение определяется

здесь опять-таки перемещением конуса предпочтения вдоль опорной прямой до достижения последней точки в области по­ лезности.

Как видно на рис. 5.5, линии уровня вновь оказываются кону­ сами предпочтения, вершины которых лежат на направляющей

Рис. 5.5. Функции предпочтения S -критерия.

S — LG, проходящей через точку УТ и параллельной бис­ сектрисе u=v. Конусы предпочтения, вершины которых лежат внутри (соответственно, вне) поля полезности, отвечают поло­ жительным (соответственно, отрицательным) значениям уров­ ня k, тогда как конусу, вершиной которого служит сама точка УТ, отвечает значение &= 0.

Чтобы показать, как S-критерий сводится к ММ-критерию,

Отсюда ясно, что минимизация согласно S-критерию величины

т а х [ц — и, v — о]

соответствует максимизации согласно ММ-юритерию величины min[M,t>— (v—и)], т. е. оптимизация в соответствии с S-критери- ем эквивалентна оптимизации в соответствии с ММ-критерием, если только начало координат системы перенести в точку Р0 (0, о—ы).

V“e(y,Fj)

Рис. 5.6. Функции предпочтения для оценочной функции азартного игрока.

По сравнению с ММ-критерием специфика S -критерия со­ стоит в том, что он более приспособлен к полю полезности, а со­ ответствующая ему оптимизация соотносится с утопической точ­ кой УТ, и притом в смысле аппроксимации, равномерной отно­ сительно всех возможных состояний.' На ;рис. 5.5, согласно ска­ занному, точка Р*мм оптимальна в соответствии с ММ-крите­ рием, а точка Р*s оптимальна в соответствии с S-критерием.

5.1.4. Функции предпочтения азартного игрока

Рассмотрим теперь критерий Н, определяемый соотношени­ ем (2.4), в соответствии с которым максимизируется по i оце­ ночная функция max ei,= e,r. Если воспользоваться введенны­

ми выше обозначениями и=е(у, Fi) и v = e(y, F2), то линии уровня (в случае двух состояний) приводятся к виду

max(u, v)=k.

Они представляют собой в этом случае семейство антикону­ сов, раскрывающихся вниз и налево, а их вершины располага­ ются на биссектрисе координатных углов, которая выступает в качестве направляющей прямой Н — LG. Чтобы найти решение,

оптимальное относительно этого критерия, нужно перемещать такой антиконус с вершиной на прямой Н — LG направо — вверх до тех пор, пока одна его точка остается в поле полезно­ сти. Как показывает пример на рис. 5.6, сам по себе этот кри­

терий не очень эффективен, поскольку он выделяет только до­ минируемые варианты решений, а также допускает другие, то­ же очень невыгодные варианты.

5.2. Критерий с прямыми предпочтения

Согласно соотношению (3.6), для BL-критерия, оценочной

функцией которого служит

Таким образом, мы имеем здесь дело с семейством прямых, отсекающих на осях отрезки k/qi и k/q2, причем предполагает­ ся, что <?i>0 и q2> 0 (рис. 5.7). (Случай <71=0 (соответственно,

венное состояние.) Направляющая прямая — мы можем провес­ ти ее так, чтобы ©на проходила через начало координат, — рас­ полагается перпендикулярно семейству линий уровня и потому задается уравнением v = (q 2/qt)u с угловым коэффициентом tgcp = <72/91.

мейство линий уровня получается путем параллельных перено­ сов этого специального конуса по биссектрисе первого квадран­ та в качестве направляющей. Понятно, что при возрастании v лучи этого конуса предпочтения теснее прилегают к ортого­ нальным лучам конуса предпочтения, соответствующего ММкритерию, а при уменьшении v — к прямым предпочтения ы+ +о=& , соответствующим BL-критерию. Оптимальное решение, отвечающее HL-критерию, вновь получается в результате пере­

мещения конуса предпочтения вправо — вверх по направляю­ щей v —u до тех пор, пока он в последний раз не заденет поле полезности.

5.3.2. Р-критерий

Строго говоря, P-критерий не принадлежит к числу произ­ водных критериев. Если, однако, рассматривать логарифмы ре­ зультатов решения, то он переходит в BL-критерий и потому может рассматриваться чкак производный от последнего.

Оценочной функцией на сей раз служит величина

eir = П ец.

(рис. 5.9), прилегающих к лучам конуса предпочтения ММ-кри- терия. При возрастании значения k эти гиперболы переходят в

5.3.3.HW-критерий

Вслучае HW-критерия, максимизирующего, согласно (4.3), оценочную функцию

рия и критерия азартного игрока Н. Здесь с является весовым

Рис. 5.9. Функции предпочтения Р-кри- терия.

множителем: чем ближе с к 1 (соответственно, к 0), тем боль­

ше влияние ММ-критерия (соответственно, Н-критерия). При с—1/2 оба критерия равноценны, и в качестве конусов пред­ почтения получаются обыкновенные прямые, как в случае нейт­ рального BL-критерия. Оптимальное согласно HW-критерию решение вновь получается в результате перемещения конуса

* Это утверждение авторов нуждается в корректировке. Действительно, при возрастании k гиперболы uv=k удаляются от начала координат и стано­

первых, «приближение к прямой» носит лишь локальный характер (хвосты гиперболы уходят от любой прямой u + v= C сколь угодно далеко). Во-вторых, и локально хорошее приближение для гиперболы uv=k дает не прямая u-\-v= = k, а касательная и + и = 2]/k или секущая и + о = С , где С немного больше, чем 2уЛ. — Прим, перев.

4'