книги / Методы принятия технических решений

из нескольких одинаково хороших решений на практике обыч­ но не создает дополнительных трудностей. Поэтому в дальней­ шем мы лишь упоминаем об этой возможности, не занимаясь енр более подробно.

Только что рассмотренный случай принятия решений, при котором каждому варианту решения соответствует единствен­ ное внешнее состояние (и тем самым однозначно определяется единственный результат) и который мы называем случаем де­ терминированных решений, с точки зрения его практических применений является простейшим и весьма частным. Разумеет­ ся, такие элементарные структуры лежат в основании реальных процедур принятия решений. В более сложных структурах каж­ дому допустимому варианту решения Е\ вследствие различных внешних условий могут соответствовать различные внешние ус­ ловия (состояния) Ff и результаты ец решений. Следующий пример иллюстрирует это положение.

Пусть из некоторого материала требуется изготовить изде­ лие, долговечность которого при допустимых затратах невоз­ можно определить. Нагрузки считаются известными. Требуется решить, какие размеры должно иметь изделие из данного ма­ териала.

Варианты решений таковы:

Е\ — выбор размеров из соображений максимальной долго­ вечности, т. е. изготовление изделия с минимальными затрата­ ми в предположении, что материал будет сохранять свои ха­ рактеристики в течение длительного времени;

Ет— выбор размеров в предположении минимальной долго­ вечности;

Ei—(промежуточные решения.

Условия, требующие рассмотрения, таковы:

F1 — условия, обеспечивающие максимальную долговечность; Fn —условия, обеспечивающие минимальную долговечность; Fj—промежуточные условия.

Под результатом решения ец здесь можно понимать оценку, соответствующую варианту Е{ и условиям Fj и характеризую­ щую экономический эффект (прибыль), полезность или надеж­ ность изделия. Обычно мы будем называть такой результат

полезностью решения.

Семейство решений описывается некоторой матрицей (табл. 2.1). Увеличение объема семейства по сравнению с рас­ смотренной выше ситуацией детерминированных решений свя­ зано как с недостатком информации, так и с многообразием технических возможностей.

Конструктор и в этом случае старается выбрать решение с наилучшим результатом, но, так как ему неизвестно, с какими

условиями он столкнется, он вынужден принимать во внимание все оценки ец%соответствующие варианту Е{. Первоначальная задача максимизации шах е* согласно критерию (2.1) должна

быть теперь заменена другой, подходящим образом учитываю­ щей все последствия любого из вариантов решения £*.

2.2. Оценочная функция

Чтобы прийти к однозначному и по возможности наивыгод­ нейшему варианту решения даже в том случае, когда каким-то вариантам решений Et могут соответствовать различные усло­ вия Fj, можно ввести подходящие оценочные (целевые) функ­ ции. При этом матрица решений ||е//|| сводится к одному столб­ цу. Каждому варианту £; приписывается, таким образом, не­ который результат е,>, характеризующий, в целом, все послед­ ствия этого решения. Такой результат мы будем в дальнейшем обозначать тем же символом е,>. ^

Процедуру выбора можно теперь представить по аналогии с применением критерия (2.1). Возникает, однако, проблема, ка­ кой вложить смысл в результат е,>. Если, например, последст­ вия каждого из альтернативных решений характеризовать ком­ бинацией из его наибольшего и наименьшего результатов, то можно принять

е/Л=тте,7+тахег/. (2.2) i /

Из сказанного вытекает способ построения оценочных функ­ ций, приводимый в табл. 2.2. Наилучший в этом смысле резуль-

менее благоприятный случай и приписывает каждому из аль­ тернативных вариантов наихудший из возможных результатов. После этого он выбирает самый выгодный вариант, т. е. ожида­

Для каждого варианта решения конструктороценивает потери в результате по сравнению с определенным по каждому вари­ анту наилучшим результатом, а затем из совокупности наихуд­

Ряд таких оценочных функций можно было бы продолжить. Некоторые из них получили широкое распространение в хозяй­ ственной деятельности. Так, если условия эксплуатации заранее не известны, ориентируются обычно на наименее благоприят­ ную ситуацию. Это соответствует оценочной функции (2.6). Не­ редко используются также функции (2.5) и (2.7). Оценочная функция (2.4) до сего времени в технических приложениях не применялась.

В табл. 2.3 показан пример выбора сечения А кабеля при неизвестной токовой нагрузке 5 с использованием всех четырех вышеназванных оценочных функций. Обоснование результатов,

упорядочены таким образом, что влияние минимальной токовой нагрузки SMI1Hнарастает от строки к строке, т. е. получающиеся сечения становятся все меньше и меньше. Решение при этом становится все более оптимистичным. При этом выбор критерия

вариантах решения. Полезно, разумеется, чтобы читатель уяснил для себя и, руководствуясь дальнейшими построениями, рас­ смотрел самостоятельно, как обобщается изложенное на случай

Введем теперь прямоугольную систему координат, отклады­ вая по оси абсцисс значения результата решения ец, соответст­ вующие внешнему состоянию Fu а по оси ординат — значения ei2i соответствующие состоянию F2, i= 1, ..., т. В этом случае

соответствующих вариантам решений Ей . . Ет, не могут быть больше, чем у точки УТ, и что УТ встречается среди этих т точек только в том редком, идеальном случае, когда существу­ ет вариант решения, дающий максимальный результат для каж­ дого из (двух) возможных внешних состояний. Аналогичное значение имеет и так называемая антиутопическая точка (АУТ),

прямоугольника, стороны которого параллельны координатным осям, а противоположные вершины суть точки УТ и АУТ; мы называем этот прямоугольник полем полезности решений. (рис. 2.1).

шим, чем Ej, если хотя бы одно из этих двух неравенств явля­ ется строгим.

Очевидно, что при таком определении не любые два вари­ анта решений допускают сравнение в том смысле, что один из них оказывается лучше другого. (Может случиться, что для то­

антов решений установлено тан называемое отношение частич­ ного порядка. Это отношение частичного порядка обладает ря­ дом свойств, хорошо усматриваемых на рис. 2.1. Выберем в по­ ле полезности произвольную точку, которую будем называть рассматриваемой (РТ). С помощью прямых, параллельных ко­ ординатным осям, разобьем плоскость на четыре части и обо­ значим их I, II, III и IV. В рассматриваемом нами двумерном' случае каждая из этих частей имеет вид (бесконечного) пря­ моугольника; в случае произвольной размерности они превра­ щаются в так называемые конусы.

Рассматривая положение точек поля полезности относитель­ но этих четырех конусов, можно в общем случае сказать сле­ дующее. Все точки из конуса I в смысле введенного выше час­ тичного порядка лучше, чем рассматриваемая точка РТ. По­ этому мы называем конус I конусом предпочтения. Соответст­ венно все точки из конуса III хуже точки РТ, и мы будем на­ зывать область III антиконусом. Таким образом, оценка каче­ ства точек из этих двух конусов в сравнении с точкой РТ прос­ та и однозначна. Оценка же точек в отмеченных штриховкой

конусах II и IV является неопределенной, вследствие чего их называют областями неопределенности. Для этих точек оценка получается только с помощью выбранного критерия принятия решения. В случае m вариантов решений Еи . . Еш и п внеш­ них состояний Fu ..., Fn критерий принятия решения можно представить в виде

Функция n переменных /( характеризует соответствующий кри­ терий и задает одновременно оценочную функцию. Для анали­ за критерия рассмотрим, полагая ец=х\, ei2 = x2>..., е1п = хп, функцию К на всем ^-мерном пространстве Rn. Тогда каждому значению действительного параметра k посредством равенства

К(хи . xn)= k

ставится в соответствие некоторая гиперповерхность в прост­ ранстве Rn, называемая нами поверхностью уровня, соответству­ ющей значению k. В двумерном случае, интересующем нас вви­ ду его наглядности, мы специально полагаем ец=Х\ = и и e-l2 =

мую линией уровня, соответствующей значению k. При фикси­ рованном уровне k уравнение К(и, v)= k определяет функцио­ нальную зависимость между переменными и и и, называемую

вц = и и ei2 = v получаем для т = 2 семейство функций предпоч­ тения, зависящих от параметра k:

(u + v)/n=k.

При графическом изображении это выражение дает прямые, параллельные биссектрисе второго и четвертого квадрантов плоскости (и, v). Поскольку рассматриваемому критерию, в соответствии с которым путем оптимального выбора решения максимизируется среднее значение всех возможных результа­

тов, отвечает нейтральная в известном смысле позиция прини­ мающего решение, мы приписываем название «нейтральной» и соответствующей функции предпочтения (рис. 2.2). Выберем теперь на какой-либо линии уровня этого критерия произволь­ ную точку РТ и проведем через нее «осевой крест», разбиваю­ щий плоскость на описанные выше четыре квадранта — конус предпочтения, антиконус и конусы неопределенности.

Все точки из областей неопределенности, лежащие справа и выше этой линии уровня, в смысле нашего критерия лучше то­ чек, лежащих слева и ниже. Сказанное справедливо и для

Рис. 2.2. Функции предпочтения при приня­ тии решений.

---------- оптимистическая; — • — • — нейтральная;

------------- пессимистическая.

функций предпочтения любого другого критерия. Всякая функ­ ция (кривая) предпочтения объединяет все точки фиксирован­ ного уровня; справа и выше ее располагаются все лучшие точ­ ки, т. е. точки более высокого уровня, а слева и ниже — худ­ шие, т. е. точки более низкого уровня*). Если на основе какоголибо критерия получается кривая предпочтения типа штрихо­ вой (рис. 2.2), то мы называем такую кривую вогнутой, подра­ зумевая под этим, что в соответствующих ей областях неопре­ деленности имеется меньшее число лучших точек, чем при нейт­ ральном критерии (2.5). Отметим, что такая вогнутая кривая предпочтения характеризует пессимистическую исходную пози­ цию. Кривые предпочтения типа сплошной на рис. 2.2 соответ­ ствуют оптимистическому подходу, поскольку на этот раз в срав­ нении с нейтральным критерием больше точек из областей не­ определенности принадлежит к числу лучших; мы называем такие кривые выпуклыми. Предельный случай пессимистическо­ го подхода образуют, очевидно, граничные прямые квадран­

* Это утверждение авторов неточно. Нетрудно заметить, что лучшие точ­ ки располагаются справа и выше кривой предпочтения вовсе не для любого критерия оптимальности. Так, замена функции К на —К переносит «лучшие» точки в противоположную полуплоскость. К тому же кривая предпочтения может располагаться так, что выражение «справа и выше» не имеет для нее смысла (даже локально). — Прим, перев.

2.3. Особые случаи

Схематическое сопоставление всех возможных полезностей £ij различных решений в матрице табл. 2.1 облегчает поначалу их обозрение, не требуя при этом формальной оценки. Эта мат­ рица может быть меньшего объема (табл. 2.4) и даже выро­ диться в единственный столбец, если будет представлена пол­ ная информация о том, с каким внешним состоянием Fj следует считаться. Это соответствует элементарному сравнению различ­

мы имеем дело с так называемой фатальной ситуацией приня­ тия решений, когда в силу ограничений технического характе­ ра, внешних условий и других причин остается единственный вариант £*, хотя его дальнейшие последствия зависят от внеш­ него состояния Fj, и поэтому результат решения оказывается неизвестным.

Случается и так, что некоторый вариант решения, например

/=1, ..., п. Тогда говорят, что вариант Ek доминирует над ва­ риантом Ei. Вариант Ek в этом случае с самого начала оказы­ вается лучшим, а вариант £/, напротив, не представляет далее интереса. Более подробно понятие доминирования будет рас­

займемся в следующей главе. В этих квадрантах будут найде­ ны варианты, оптимальные в смысле различных критериев, и даны их количественные оценки. Для этого соответствующие функции предпочтения должны быть в обеих областях разум­ ным образом упорядочены.