книги / Методы принятия технических решений

и, следовательно, не зависит от значений самих параметров Х\

их2.

Втабл. 6.4 представлены значения Vv(a) для частного слу­

чая п =2 при изменении о от 1 до 10 0 и Л от 0 до 1, с а = 0 ,0 1

1 6.4.2. Прогностический доверительный фактор

Прогностический доверительный фактор определяется для серии из ад реализаций с учетом вероятности а ошибки по формуле

/“ 1

параметра х, заданного рядом xj, /= 1, ..., п. Параметр х счи­ тается случайной величиной с (теоретическими) вероятностями

п

Pi его возможных значений, так что hpj — l. Величина Mw(a) = i—1

= ^%jw(a)Xj представляет собой наиболее неблагоприятное, /V- 1

т. е. наименьшее из реально возможных среднее значение пара­ метра, которое может быть получено в серии из ад реализаций; оно вычисляется на основании известного вероятностного рас­ пределения значений параметра (ри р2у ..., рп) и вероятности а принятия ошибочного решения. Коэффициенты %jw(a) опре­

И%;м?(а) = 1. В этом случае, как и при рассмотрении эмпиричес-

/* 1

кого доверительного фактора, необходимо помнить, что наибо­ лее неблагоприятным является тот случай, когда малым зна­ чениям параметра из ряда хи *2>•••, хп соответствуют наиболь­ шие относительные частоты реализаций с учетом заданной вероятности а принятия ошибочного решения. Обозначим через Я { случайную величину, реализация которой есть число А, появлений элемента xj, наблюдаемых при ад-кратном повторе­ нии рассматриваемого случайного события. Тогда Hj имеет биномиальное распределение В (А/, ад, pf) с параметрами ад

и р,.

При стремлении к бесконечности числа реализаций (до->-оо) согласно закону больших чисел (с вероятностью 1 ) выполняют­ ся следующие асимптотические соотношения:

1,<х р и h Wj, a/2 P u j, a/2 Pj> h Wj (ot) P f 9

а из них следует, что Vw(a)->-\ при w-+оо, т. е. при неограни­ ченном возрастании числа реализаций (до-^оо) прогностический доверительный фактор стремится к единице. Естественно, сох­ раняется условие 0 ^ Vw (а) ^ 1.

Из представленных выше формул (6.22) и (6.24) следует,, что с уменьшением числа реализаций w до единицы прогности­ ческий доверительный фактор монотонно стремится к нулю, что математически записывается так: Vw(a)-+Q при С учетом

23P,(xj — xi)

/= 1

6.4.3. Эмпирико-прогностический доверительный фактор

Эмпирико-прогностический доверительный фактор определя­ ется на основании значений параметров из ранее полученной выборки объемом v с учетом предстоящего проведения серии из w экспериментов и вероятности а принятия ошибочного ре­ шения по формуле

Здесь, как и в случае эмпирического доверительного факто­ ра, х\ представляет собой минимальное значение параметра из.

76 Глава 6

ряда х\, *2. —. хп, a Af„=E/tjX3— среднее значение эмпиричес-

/= 1

кого ряда, где Л,- — относительная частота реализации значения Xj в выборке объемом v экспериментов; кроме того, справедли-

собой наиболее неблагоприятное, т. е. наименьшее из реально возможных среднее значение параметра, которое рассчитывает­ ся на основании данных выборки (fti, Л2, ..., Лп), т. е. без зна­ ния (теоретического) распределения вероятностей (ри р2, ...

..., рп) для случая ад-кратной реализации процесса с учетом ве­ роятности а ошибки. Коэффициенты определяются из соот­ ветствующих величин для эмпирического и прогностического доверительных факторов. С одной стороны, применяя биноми­ альное распределение, можно получить более точные значения этих величин. При этом в формуле (6.22) вместо вероятности

pi следует использовать значение ри полученное из выражения (6.16). С другой стороны, при аппроксимации нормальным распределением, что в свою очередь предполагает достаточно большие значения величин v и wt из выражений (6.17) и (6.23) получаем

n—1 _

A"0,n(a) : =* шах jo, 1 — Z A®,,* <-i

6.4.4.Использование доверительных факторов

взадачах принятия решения

Введенные выше доверительные факторы были получены для ряда значений одного параметра. При наличии нескольких вариантов решения i= l, т в зависимости от значений внешних состояний Fu .... Fn каждому из т вариантов будет соответствовать свой ряд значений полезности решения etl , ...

.... ein и, таким образом, свои эмпирический Vv(a),• (разд. 6.4.1), прогностический У№(а){ (разд. 6.4.2) и эмпирико-прогностичес­ кий Vvw(a)i (разд. 6.4.3) доверительные факторы. Порядок определения значений этих доверительных факторов и их свой­ ства описаны в указанных соответствующих разделах этой гла­ вы. Сопоставим еще раз формулы, отражающие асимптотичес­

факторы можно использовать в качестве индивидуальных пара­ метров в HL-критерии (4.5), т. е. обозначая для упрощения за­ писи любой из доверительных факторов (эмпирический, прог­ ностический, эмпирико-прогностический) через щ, получим посредством соотношений

[Hr — ►max!

i

уточненный вариант HL-критерия.

Характерными для указанных доверительных факторов яв­ ляются «наиболее неблагоприятные» средние значения полез­ ности Mv{a), №w(а) и Mvw(а). При наличии нескольких вариан­ тов решения Ei и, естественно, нескольких величину,зависящих от внешних состояний Fj, эти средние значения определяются

индивидуально по следующим формулам: Жг,(а)г=ЕА„,;-,(а)ег;-, /= 1

Mw(a) / = Е А®/,; (а) е,-;- и Mvw(а) ; = 2 Ttwv,s,i (а) е»у. Ниже будет

описан общий принцип представления этих формул, для чего средние значения, соответствующие всем трем типам доверитель­ ных факторов, обозначаются просто Ш(а)/, а границы, вычис­ ленные (в зависимости от вероятности ошибки а) для отдель­

ных вероятностей, обозначаются Яц(а) и Яч(а). Тогда для оп­ ределения M(a)i необходимо найти вероятности Яч в соответ­ ствии с условиями

Такая постановка задачи позволяет распространить ее ре­ шение и на случай непрерывного распределения бесконечного множества возможных значений влияющих параметров x ^ F , причем для каждого x ^ F и варианта решения Е{ реализуется свое значение полезности е(х, i). Границы для частот в их зависимости от вероятности ошибки а могут теперь быть пред­

ставлены в виде^ функций распределения Q*(a, х ) и Q*(a, х )

вместо яrj(a) и 9 *j(a) соответственно. Для определения M(a)i необходимо найти функцию распределения Q i ( x ) согласно условиям

Для обобщения понятия о самом неблагоприятном среднем значении полезности по всем трем типам доверительных фак­ торов аналогично формулам (6.18), (6.26) и (6.32) обозначим

П

эту величину через M(a)i = I,hji(a)eij, после чего в результате

несложных преобразований, используя выражение (6.36), по­ лучаем простое равенство:

/-1

Предыдущие рассуждения можно распространить на общий случай задачи принятия решения при наличии нескольких параметров 1=1, L. Если, отбрасывая в данном случае ин­ декс i для различных вариантов решения Ei} обозначить через

Яи(а) и Яп(а) границы для вероятностей состояний, соответст­ вующих параметру /, 1 ^ / ^ L , то можно принять

ния ознакомят читателя с возможностью принятия эффективно­ го решения при. наличии определенного рискаГ]

В качестве опорного для оценки риска примем выражение (3.3) для совокупности вариантов решения по минимаксному критерию, соответствующее позиции крайней осторожности. В случае выбора вместо оптимального по данному критерию какого-либо другого варианта Е{ степень неоптимальности можно вычислить в виде так называемого дефекта варианта решения £* относительно опорного значения оценочной функции по ММ-критерию:

Таким образом, возможный риск е Возм независимо от информа­ ции о параметрах, имеющейся по результатам выборки, а также от числа реализаций процесса представляет собой максимально возможную величину нереализуемой полезности решения. В случае малых объема v выборки и числа реализаций w про­ цесса принятия решения безопаснее придерживаться ММ-кри- герия, тогда как при достаточно больших значениях v и w целесообразно ориентироваться на BL-критерий. Как известно, оба они обобщаются HL-критерием (4.6), согласно усовершен­ ствованному варианту которого (6.36) оптимальным считается решение Ей для которого выражение

дает максимальный результат. Здесь и в дальнейшем изложе­ нии материала величины Aj, / = 1 , ..., п представляют собой известные, в меру имеющейся в наличии информации, вероят­ ности реализации внешних состояний Fь ..., Fn либо оценки этих вероятностей, полученные на основании выборки по ре­ зультатам каких-либо экспериментов, либо, по крайней мере, относительные частоты их распределения, определенные на ос­ новании априорной информации. В качестве щ целесообразно использовать эмпирико-прогностический доверительный фактор Vvw(a), величина которого автоматически изменяется в грани-

6— 152