книги / Общие вопросы теории граничных задач

§ 2. ОБЫКНОВЕННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ОПЕРАЦИЯ 91

некоторых значениях р (приводимая ниже формула (8), дающая значение I (/) при условиях (5), такой знамена­ тель содержит).

Граничные условия (4) показывают, что все правильные операторы, порождаемые операцией (1), заведомо описы­ ваются условиями вида (5) при произвольных р, v. Или,

соответствующим значению р = оо в (6). В рассматривае­ мом простейшем случае оказывается возможным дать пол­ ное описание структуры всех правильных операторов, порождаемых операцией (1).

Т е о р е м а . Все правильные операторы, порождае­ мые операцией (1), описываются условиями (6), (7). Опера­ торы, порождаемые условиями (6) при р = 0 и условия­ ми (7), суть V-операторы, а порождаемые условиями (6)

при р Ф 0 — М-операторы (ср. п. 3.5 гл. I).

До к а з а т е л ь с т в о . Достаточность условий (6),

(7)для описания всех правильных операторов нами уже проверена. Часть утверждения, относящаяся к условиям Коши на одном из концов интервала V, следует из резуль­ татов § 1. Остается выяснить спектральные свойства опе­ раторов, порождаемых условиями (6) при р Ф 0.

Решая уравнение (L (D) — Я)м = / при условиях (6),

получим для определения постоянной с = I (/) в (2) (где а (!) заменено на а (£) + Я) формулу

р - ехр Ц («(у + Я) d%)

о

где I — некоторый интегральный оператор, определен­ ный на всем пространстве Н, вид которого нас пока не интересует. Из (8) следует, что значения Я, при которых знаменатель не обращается в нуль, принадлежат резоль­ вентному множеству pL. Значения Я, при которых знаме­ натель обращается в нуль, суть

92 ГЛ. Ш .' ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ь

где \i = {г exp ^ а (£) d£. При Я = Я^соответствующее одно-

эта совокупность отличается от полной ортонормирован-

ной системы ц>к = ехр х лишь несущественным (не обра­

щающимся ни в нуль, нн в бесконечность) множителем. Ц З а м е ч а н и е . 2. Полнота в Н приведенной выше системы функций {<р*} — факт классический. Но он мо­ жет быть без труда получен и из приведенных нами ранее результатов спектральной теории. Действительно, пусть

.L (D) = Ш* — а и соответствующий оператор L: IH-*• И определен условиями (6) при р, = 1 (периодичность). Тогда при а ф PoL оператор LT1 (а — вещественное) — самосопряженный ВН-оператор, как это немедленно сле­ дует, например, из явной формулы, дающей решение урав­ нения Lи = f (можно использовать и результаты § 7 гл. II). При этом всякая гладкая периодическая функция принадлежит области значений оператора L -1 (уравнение L “7 = и заведомо разрешимо, если u e ® (L)), и, следо­ вательно, разлагается (п. 3.3 гл. I) по собственным функ­ циям {фк} оператора L-1 (оператора L; п. 2.3 гл. I). По­ скольку множество гладких периодических функций

простейшей операции (1)) оказывается вопрос о спектре

правильного сужения оператора L, не являющегося рас­ ширением минимального, т. е. о спектре оператора, по­

рождаемого (1) и условиями (З)при д ф N (L/). Для глад­ кой функции д можно записать (3) в виде

ъ

(1 + g)u|o — gu|b + ^uLqdx = 0;

о

представляется интересным выяснить природу спектра соответствующих операторов.

Формулы (9), (10) показывают, что наличие в L (D) «младшего члена» а (х) вызывает лишь сдвиг спектра и некоторое изменение структуры собственных функций, что будет несущественно в большинстве интересующих нас в дальнейшем построений, и мы сможем ограничиться случаем а (х) = 0. В этом случае явная запись оператора

L^1, порождаемого условиями (6), будет иметь вид

§ 1 уже не допускает столь исчерпывающего изучения, как проведенное в § 2 для случая пг = 1. Это относится даже к операциям с постоянными коэффициентами, когда возможна явная запись решения уравнения

Под изучением мы понимаем, прежде всего, выяснение зависимости свойств спектра (свойств разрешающего опе­ ратора) от выбора граничных условий. Если для опера­ тора первого порядка все по существу граничные условия исчерпывались семейством, зависящим от единственного параметра р, и значения этого параметра определяли положение вертикальной прямой комплексной плоскости, на которой располагался весь точечный спектр, то. удов­ летворительного.ответа на вопрос: «Как охарактеризовать спектры операторов L, порождаемых операцией (1) при всех возможных выборах граничных условий, порож­ дающих правильные операторы?» не удается получить, как мы увидим ниже, даже при т = 2.

Природа возникающих трудностей объясняется нали­ чием в формуле, дающей решение уравнения (1), знамена­ теля, имеющего вид определителя А (играющего роль функции (х — ехр Ъ% в формуле (14) § 2), зависимость

шение соответствующего неоднородного уравнения, то для получения решения, удовлетворяющего условиям (Г), мы должны решить систему уравнений, определяющую значения постоянных с19 с2. Определитель этой системы уравнений будет иметь вид

У т в е р ж д е н и е 2. Значения р, при которых А (р, Г) = 0, суть собственные значения операции (2) при условиях (Г), т. е. при этих значениях р уравнение (3) имеет .нетривиальное решение, удовлетворяющее условиям

то расположение нулей определителя Д (р, Г), рассмат­ риваемого как функция р, приближенно характеризуется равенством

Равенство (5) получается, очевидно, просто приравни­ ванием нулю главной части определителя А. Аккуратное доказательство наличия соответствующих нулей А ис­ пользует теорему Руше (см. [13]). |Ц

ных значений асимптотически совпадает с собственными значениями задачи

и |0 = U |ь = О для простейшей операции D2.

96 ГЛ. Ш . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Условие (4) не является необходимым для возможности выделения главной части А. В теории Биркгофа вводится понятие нормированных граничных условий (при а хр2 —

— а 2Рх — 0 граничные условия (Г) станут нормированными после исключения в одной из строк производных щ, и'ъ) и определяется класс регулярных условий, позволяющих описать асимптотику собственных значений и собственных функций. Соответствующие построения используют выде­

ление доминирующей экспоненты среди набора ер(дкху к = 1, . . т, аппроксимирующего фундаментальную си­ стему решений уравнения (L(Z?) + pm)w= 0 (см. замеча­ ние к утверждению 1).

Позднее было введено понятие сильно регулярных гра­ ничных условий, позволяющих утверждать, что собствен­ ные функции соответствующей задачи образуют базис Рисса в IH(V) (см. [С И]).

§ 4. Дополнительные замечания

4.1 Замечания общего характера. Приводимые заме­ чания общего характера относятся по своему содержанию скорее к общим рассмотрениям гл. И. Представляется, однако, более удобным (хотя и менее логичным) помес­ тить их после разбора одномерного случая.

Пусть V d 1RU— нормальная область и L (D) — об­ щая дифференциальная операция вида (1) § 2 гл. II.

рой системой граничных условий у, назовем правильным в широком смысле, если резольвентное множество pLvd € этого оператора непусто.

Оператор, правильный в смысле определения п. 3.3 гл. II, будем называть иногда правильным в узком смысле.

Граничные условия, определяющие правильный в широком смысле [оператор Lv, являются «разумными» в том отношении, что не страдают ни переопределенностью, ни v недоопределенностью, и нарушение «правильности» (однозначной разрешимости при любой правой части) соответствующего уравнения связано, как правило, с на­ личием точечного спектра и «сингулярностью» определяю­ щих задачу параметров. Большое количество содержатель­ ных теорем, описывающих свойства тех или иных кои-

кретных операторов, порождаемых граничными задачами для дифференциальных операций, содержат утверждения об их правильности в широком смысле и характеризацию множества сингулярных значений параметров.

В связи с проводимыми нами рассмотрениями естест­ венно указать терминологию, используемую зачастую при изучении разрешимости операторных уравнений как в гильбертовом, так и в банаховом пространствах (см. [11]). Уравнение

пространство !Н; оператор Т нетеров, если размерности

ностиТравны (в иностранной литературе фредгольмовыми часто называют нетеровы операторы). Размерность @ называют дефектом Т; разность размерностей N и © называют индексом.

Таким образом, уравнение (1), в котором Т — мини­ мальный оператор, является согласно утверждениям § 3

важную часть теории граничных задач для эллиптических дифференциальных операций, нам не встретятся. Если %— точка непрерывного спектра оператора Т, то урав­

В § 2 было отмечено, что в этом случае все правильные опе­ раторы, порождаемые L (D), содержатся среди операто­ ров, задаваемых условиями (6), (7) § 2. При этом соответ­

98 гл . Ш . ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

ствующий оператор правилен, если \i Ф 1 в (6), и пра­ вилен в пшроком смысле при \i = 1. Небезынтересно прийти к этому результату путем более сложных рассуж­ дений.

Пусть оператор L (порождаемый Dx) правилен в пш­ роком смысле и Я ЕЕ pL. На основании (4) § 2 можем утверждать, что порождающие его граничные условия содержатся среди условий, записываемых в виде

Но не будут ли эти условия уже содержащимися среди соответствующих условий при %= 0? Если да, то

Единственный случай, когда уравнения (3) не позволяют найти нужные значения k, д, связан с возможным нали­ чием равенства

1 + р = ре~ь\

при'выполнении которого (2) переходит в равенство

и|0 и \ь = 0.

Врезультате получим несколько отличный вариант теоремы, приведенной в § 2.

Те о р е м а . Все правильные операторы, порождаемые операцией Dx на (0, &), описываются условиями

дающие при произвольных р1, р2, qi, q2описание всех пра­ вильных (в узком смысле)'"операторов, порождаемых D%-

Нетрудно записать соответствующие условия и для D% — % (аналог условий (2)). Но выяснение даже в этом простом^ случае вида «ганимального» набора условий (т. е. запи­ санного наиболее экономным образом) типа условий (4),

описывающего все правильные в широком смысле опера­

торы, порождаемые является утомительным. Во вся­ ком случае, из приведенных рассуждений ясно, что в прин­ ципе для их полного описания достаточно четырех произ­ вольных параметров (входящих, вообще говоря,, в не­ сколько систем равенств). Введение пятого параметра % приведету же к появлению эквивалентных условий.

Отметим, что запись граничных условий в форме (Г) § 3 даже после «нормировки» содержит значительно боль­ шее число параметров.

Г Л А В А IV

МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 0* Вводные замечания

Как отмечалось в предыдущей главе, важнейшим клас­ сом интересующих нас объектов будут уравнения, полу­ чающиеся из уравнений для обыкновенных дифферен­ циальных операций заменой коэффициентов — функций на коэффициенты — операторы. Последующее использо­ вание формул, дающих решения обыкновенных уравне­ ний, для выяснения свойств решений уравнений опера­ торных неизбежно оказывается связанным с изучением функций от операторов, т. е. с построением соответствую­ щего «операционного исчисления»..

Построение соответствующего исчисления предпола­ гает в первую очередь (п. 2.2 гл. I) знание спектра опе­ ратора (функция от которого подлежит определению). В данной главе мы рассмотрим класс операторов, спектр которых допускает исчерпывающее описание. Это и будут те «модельные» операторы, которые широко используют­ ся в дальнейшем.

В § 1 рассматривается соответствующая общая кон­ струкция, а в § 2 подробно изучаются простейшие модель­ ные операторы — линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами на /г-мерном торе. Схема,, используемая при изучении этих операторов (27-операто­ ров), является одновременно прототипом построений, применяемых в дальнейшем.

§1. Тензорные произведения и модельные операторы

1.1.Тензорные произведения гильбертовых прост ранств. Пусть IH', IH" — пара сепарабельных гильберто­

вых пространств, в каждом из которых задан ортонорми-

рованный базис {<р*}Г> {ф/с}Г- Образуем гильбертово про­ странство И следующим образом. В качестве базиса ОН возьмем множество упорядоченных пар <р* (8) Фл определив для этих пар скалярное произведение' по