книги / Общие вопросы теории граничных задач

Наличие обратного включения проверяется аналогич­ ными рассуждениями: Щ

1.4. Функционалы. Линейный оператор X: 3 3 С, где С — банахово пространство комплексных чисел (С можно рассматривать и как гильбертово пространство со

скалярным произведением (а, |3) = а|3), называется функ­ ционалом (или комплексным функционалом, в отличие от

вещественных функционалов X: 33 —» R).

Поскольку функционалы являются специальной раз­ новидностью операторов, все сказанное об операторах в предыдущем пункте непосредственно на них распрост­ раняется.

Совокупность всех ограниченных функционалов над заданным ^-пространством 33 образует так называемое сопряженное к 33 пространство 33*, играющее важную роль во многих рассмотрениях. Особое положение гиль­ бертова пространства Ж среди банаховых пространств и значительной мере определяется тем, что Ж* всегда до­ пускает естественное отождествление с Ж, т. е. в этом смысле имеет место «самосопряженность». Докажем соот­ ветствующее утверждение.

Л е м м а ( Р и с е а). Пусть X — ограниченный функ­

как гильбертово пространство Жг d Ж (со скалярным про­ изведением, /Задаваемым произведением в Ж) и функцио­ нал X считать расширенным по непрерывности на все пространство Ж±-

Если X (х) *= 0 для любого х ЕЕ Жг, то достаточно по­ ложить h 5= 0. Если X ф 0 , то N (X) (ядро X) является замкнутым подпространством, отличным от Жх. Рассмот­ рим разложение Жх — N (X) © ©. Подпространство @ одномерно. Действительно, для любой пары элементов хх, х2ЕЕ X (хх) = ахФ 0, X fe) ~ &2Ф 0, имеем

представим х в виде х х^ © х&, и пусть ха *= Л?. Тогда

X(х) = X (xQ) *= X (kq) v= Ар,

%ы — Р (о:, g) — /ф (?, ?) 5= Ар.

Единственность в Жх найденного элемента h = Pg очевидна. Кроме того,

и на :r 6= @ неравенство переходит в равенство. | Приведенное доказательство является очевидной моди­

фикацией рассуждений, применимых в случае конечно­ мерного пространства Ж. Уравнение X (х) — 0 опреде­ ляет некоторую гиперплоскость. Размерность ее в общем случае бесконечна, но размерность ортогонального до­ полнения всегда равна единице. Это использовано в дог казательстве.

Как мы увидим, лемма Рисса является весьма удобным инструментом при доказательстве различных теорем суще­ ствования решений операторных уравнений.

С л е д с т в и е . Ограниченный функционал, заданный на линейном многообразии Л ' а Ж, может быть продол­ жен с сохранением нормы на все пространство Ж.

Действительно, формула (6) дает,, очевидно, искомое продолжение.

. Для произвольного ^-пространства приведенное след­ ствие составляет содержание так называемой теоремы Хана — Банаха. Доказательство ее значительно сложнее из-за отсутствия в этом случае явного описания «общего вида» линейного функционала.

Теорема Хана — Банаха вместе с приведенной выше теоремой Банаха и так называемым принципом равномер­ ной ограниченности (которым нам не представится слу­ чая воспользоваться), называемым также теоремой Ба­ наха — Штейнгауза, являются «тремя китами» класси­ ческой теории 5-пространств.

привлекательных черт объектов, рассматриваемых в ли­ нейном функциональном анализе, является существование для многих из них аналогов, имеющих значительно более простую природу. Наличие таких аналогий обогащает интуицию и имеет большую эвристическую ценность. Наи­ более часто обращаются к параллелизму, существующе­ му в теории конечномерных и бесконечномерных гильбер­ товых пространств (здесь уместно отметить книгу [17]), т. е. к аналогии вектор (точка в евклидовом пространст­ ве) — функция (точка в функциональном гильбертовом пространстве), и к параллелизму между алгеброй комп­ лексных чисел и алгеброй, порождаемой семейством ком­ мутирующих операторов над фиксированным 5-прост- ранством.

Примеры обращения к первой из аналогий имеются в замечаниях к приведенным выше доказательствам лемм об ортогональном разложении и об общем виде функцио­ нала. Во многих вопросах теории операторов оказывает­ ся весьма плодотворным обращение и ко второй из упо­ мянутых аналогий. При этом на первый план выступает сопоставление объектов: аналитическая функция — функ­ ция от оператора. Построение аппарата, позволяющего содержательным образом использовать соответствующую аналогию, является одной из основных задач спектраль­ ной теории.

При построении алгебры операторов, т. е. при прове­ дении рассмотрений, в которых существенную роль играет операция перемножения пары линейных операторов Т1? Т2, и тем более при определении функций от операторов приходится прежде всего ограничиться случаем, когда

мания общих установок книги. С точки зрения приложе­ ний к теории граничных задач упомянутое ограничение означает весьма существенное сужение рассматриваемого круга вопросов. Значительная часть проблематики, свя­ занной с рассмотрением левой части дифференциального

24 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

уравнения в качестве линейного оператора L, относится, например, к вопросу об отыскании правильно подобран­ ной пары пространств 33г, 332 такой, что. © (L) — 33и « (L ) 5= 332, или к отысканию семейств пространств

^ т а к и х , что L: 33*1-*-33% и соответствующее отображе­ ние — изоморфизм. Эта область применения методов функ­ ционального анализа в теории граничных задач остается по существу вне нашего поля зрения.

Переходя к изложению основных понятий спектраль­ ной теории, заметим, что, помимо использования ее в указанном выше плапе, при построении функций от опе­ ратора (в первую очередь — от оператора дифференциро­ вания) соответствующий язык (терминология п. 2.1) оказывается весьма удобным при описании свойств кон­ кретных операторов, возникающих при исследовании тех или иных классов граничных задач для уравнений с ча­ стными производными.

С формальной точки зрения содержание спектральной

операторного множителя Е в формуле (1) явно, как пра­ вило, не указывается, т. е. определение Т*, записывается в виде

ту=т—X.

гию, а в следующем пункте постараемся выяснить особую роль указанной функции в операционном исчислении, т. е. при построении функций от оператора Т.

тора Т, влекущее замкнутость Тх1 (когда последний суще­

быть получено за счет рассмотрения частичных сумм ряда

оо

23Т* (ряда Неймана), дающего представление оператора

о

(1 — Т)"1 (поскольку Т ограничен, £> (Т) — ЗВ и опре­ деление произвольной степени Т не вызывает затрудне­ ний). Щ

У т в е р ж д е н и е 2. Множество р (Т) открыто в С*

Действительно, если ^0 G p (Т), то оператор

(Т - Яо)-1 [1 - в (Т - Яо)-1]-1

при достаточно малых по модулю е является ограничен­ ным оператором, заданным на всем ЗВ. В то же время

точечному спектру Pc (Т), оператора Т, если оператор

таточному спектру Ro (Т) оператора Т, если оператор Тх1 существует, но множество S (Тх1) неплотно в ЗВ.

26 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

Очевидно, о (Т) — Ро (Т) (J Со (Т) (J Ro (Т), при­ чем множества в правой части равенства не пересекаются.

имеет ненулевое решение. В этом случае X называют за­ частую собственным значением оператора Т, а ненулевые решения уравнения (2) —собственными элементами

(собственными векторами, собственными функциями; см* гл. II), принадлежащими соответствующему собственному значению.

Приведенное подразделение точек спектра называют обычно грубой классификацией. Действительно, возможны разнообразные дальнейшие уточнения. Например, для собственного значения X размерность N (Т%) может быть конечной или бесконечной, для X €= Ro (Т) обратный опе­

имеются существенные отклонения от приведенной тер­ минологии.

У т в е р ж д е н и е 3 ( т о ж д е с т в о Г и л ь б е р -

Из (3) следует перестановочность резольвент при ре­ гулярных (принадлежащих резольвентному множеству) значениях X.

2.2. Функции от оператора. Как уже упоминалось, раз делы спектральной теории, предметом которых является определение функций от оператора, называют обычно опе­ рационным исчислением. В основной части книги построе­ ние операционного исчисления будет проводиться либо в особенно простой ситуации —при наличии у данного оператора системы собственных функций, образующих базис Рисса, либо за счет использования специальных кон­ струкций, не укладывающихся в рамки элементарной тео­ рии, но использующих некоторые ее основные резуль­ таты.

Данный пункт содержит набросок некоторых класси­ ческих рассмотрений, использующих резольвенту опера­ тора и параллелизм, существующий между комплексными аналитическими функциями и операторными аналитичес-

ними функциями. Очень удобное для наших целей изло­ жение соответствующих вопросов имеется в книге [21], к сожалению, мало доступной.

При описании (и использовании) упомянутого парал­ лелизма основную роль играют понятие голоморфности и процедура интегрирования для операторных функций. Обычное определение голоморфности связано с однознач­ ностью и дифференцируемостью. Требование однозначно­ сти не нуждается в комментариях, но понятие дифферен­ цируемости в связи с возможностью введения различных топологий может иметь различные формы. Удобным фор­ мальным определением голоморфности, обходящим эти трудности и влекущим дифференцируемость в любом ра­ зумном смысле (представимость рядом и т. п.), является следующее

Оп р е д е л е н и е . Операторная функция S (?):$}->■

—33 голоморфна в 3Dd С, если для любого ограничен­

функций является наличие для них аналога интегральной формулы Коши. Опишем нужную для записи этой форму­ лы процедуру интегрирования.

в точке z0 в смысле равномерной операторной топологии, если она определена в некоторой окрестности этой точки

на С и S (z) непрерывна (в указанном выше смысле) вдоль

Достаточно воспользоваться римановским определением интеграла и рассмотреть предел сумм вида 2]S(Zi) Azi?

ций от Т (например, полиномов) и является вполне разум­ ным и в других отношениях (см. [5]). При этом, разумеет­ ся, необходимо предположение об аналитичности / на множестве о (Т).

Сказанного достаточно, чтобы сделать понятным исклю­ чительную роль резольвенты оператора при изучении его структуры.

Приведенные факты и их различные следствия и моди­ фикации отнюдь не являются тривиальными, но картина,

ксожалению, еще существенно усложняется при переходе

кнеограниченным операторам Т, для которых точкой спектра неизбежно оказывается и точка z — оо. Имею­ щиеся в этом направлении стандартные результаты недо­ статочны для интересующих нас примеров. Некоторые специальные применимые в этом случае конструкции бу­ дут рассмотрены в гл. VIII.

2.3.Связь спектров данного и обратного операторов. Как нетрудно заключить из сказанного выше, изучение спектра ограниченного оператора существенно проще, чем спектра неограниченного. Выше отмечалось также, что неограниченность операторов, порождаемых дифференци­ рованием, частично компенсируется во многих случаях ограниченностью соответствующих обратных операторов. Покажем, что информация о спектре оператора Т-1 весь­ ма полезна при изучении спектра Т.

Л е м м а . Если Т: 53 ->• Зд —неограниченный замк­ нутый оператор, для которого оператор Т“х существует,

ответствие между резольвентными множествами соответ­ ствующих операторов. Пусть сперва р ЕЕ рТ. Тогда опе­

Если же X е рТ“*, то ограничен оператор Т-1 (X— Т'1)"1 = [(X— Т"1) ТГ1 = Х[Т — рГ1

и, следовательно, р ЕЕ рТ -И

цируемые конкретными операциями анализа (дифферен­ цированием, интегрированием, операцией умножения на функцию и т. п.), обладают, как нетрудно предвидеть, целым рядом специальных свойств, для описания которых могут быть использованы характеристики, допускающие абстрактное определение. Эти характеристики, как пра­ вило, теснейшим образом связаны со свойствами спектра соответствующих операторов, и естественно привести их определения в главе, посвященной спектральной теории.

Основным объектом рассмотрений данного параграфа являются так называемые вполне непрерывные операторы (ВН-операторы). Изучение спектра этого класса операто­ ров удается достаточно далеко продвинуть, отправляясь непосредственно от их основного свойства: «почти конеч­ номерности».

Два последних пункта содержат краткое описание не­ которых других специальных типов операторов.

3.1. ВН-операторы. Определение и основные свойства. Операторы, обратные к операторам, порождаемым диффе­ ренцированием, обладают зачастую свойством, более сильным, чем обычная ограниченность: они обладают так называемой полной непрерывностью (являются ВН-опе- раторами). Исходные определения естественно привести на языке отображений 5-пространств.

О п р е д е л е н и е . Множество @ d 58 компактно в ZB, если из всякой бесконечной последовательности эле­ ментов {хп}, лежащих в (&, можно выбрать подпоследо­ вательность, сходящуюся к некоторому элементу х ЕЕ 59.

Компактность @, определенная таким образом, назы­ вается иногда секвенциальной. Из определения следует,