книги / Общие вопросы теории граничных задач

на. (Решение дается рядом (2)v в котором ик = L*1/*.)

Также очевидно, что L d L, т. е. является сужением мак­ симального оператора, порождаемого L (D).

Чтобы убедиться, что L0 d L, т. е. что L является рас­ ширением минимального оператора, заметим, что базис (1 ) состоит из собственных функций оператора D±: IH(Zj)-*-

И (Zx), 1г = (0 < хг< 2 л), порождаемого условиями

e*aiu |х1==о и \ху=2л ^ 0. (Тг)

Отсюда следует, что гладкие финитные функции принад­ лежат области определения любой степени указанного оператора Dt. Если теперь U E S (L0), {ut} ■*- соответ­ ствующая аппроксимирующая последовательность глад­ ких финитных функций (щ —> u, L (D) ut g, сходи­ мость в IH), то каждая из и%представима рядом вида (2), допускающим почленное дифференцирование (любого по­ рядка) по хг и почленное применение операторов L* (функции ик {х2, . . ., хп), будучи гладкими финитными; заведомо принадлежат 2 ) (L*)). Следовательно, всякая функция м е Э (L0) представима рядом (2 ), дающим ре­ шение (в указанном выше смысле) уравнения Lи — /. Ц

Заметим теперь, что описанное выше построение при­ менимо в свою очередь к любой из операций hk ф ). Та­

и сделав относительно операций Lks (D) (получающихся расщеплением каждой из операций (4)) соответствующие предположения, можем определить правильный оператор L: !Н->• Н как замыкание в IHоператора, заданного на со­ ответствующих конечных суммах равенством

ffr|<Af, |s|<M

На следующем шаге описанное построение может быть применено к операциям Lk$ (D) и т. д.

Окончательный результат, который получается после п шагов, мы сформулируем в виде двух лемм.

172 ГЛ. VII. 'ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

где значения функций ak, k = 1 , . . ., п, лежат в полуин­ тервале [0, 1), образует базис Рисса в Н (F). Щ

Л е м м а 3. Если базис (6) таков, что для заданной операции L (D) с постоянными коэффициентами выполня­ ется неравенство

то оператор L: Н И, определяемый как замыкание в Н оператора, заданного . на конечных суммах и = S ивг($)>

виях леммы оператор L является сужением максимального

L и что уравнение Lu = f однозначно разрешимо при лю­ бой /Е1Н, непосредственно очевидно. Остается проверитьчто L o d L , т . е. L является расширением минимального оператора. Но это следует из тождественного совпадения оператора L нашей леммы с правильным оператором, определяемым описанным выше процессом, в котором на последнем шаге используются операторы LSl. .. ^ , сопо­

ставляемые уравнениям

(D) ин„г8пят1(# п) = /si...sn -i (#п)>

решаемым при граничных условиях

т. е. за счет использования разложений функций от хп по базису

Условие (7) обеспечивает при этом осуществимость всех п шагов. Щ

3.2. Существование правильно подобранного базиса.

Теперь, чтобы для произвольной операции L (D) с посто­ янными коэффициентами описать в кубе V некоторый по­ рождаемый ею правильный оператор, нам осталось про­ верить, что для любой такой операции существует базис вида (6), удовлетворяющий условиям (7).

— заданный полином с постоянными комплексными коэф­

единичной длины, полученная отождествлением концов отрезка [0 , 1 ] с соответствующей параметризацией и ес­ тественной метрикой р (flt t2) = min (| tt — 12\, | — t2 +

± 11). Пусть F: C T — отображение комплексной плоскости на указанную окружность, сопоставляющее

ный полином, сопоставляемый обычным образом операции L (D):

L (D) t = L (!)

174 ГЛ. VII. ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ

Представим L (£) в виде

Здесь mx— степень L (£) no £n, Lx— полином, являющийся

для которого снова, на основании леммы 4, может быть

при всех целочисленных s2. На следующем шаге для поли­ номов

Qn-2,S\,S2(^ з)

выбираются соответствующим образом числа а 3 («sx, s2) и т. д.

Теперь ясно, что для базиса вида (6), в котором значе­ ния функций ак выбраны указанным выше образом, будет

коэффициентами может бить сопоставлен правильный опе­ ратор L: IH(V) И (F), определяемый как замыкание в IH(V) операции L 0 ) , заданной на конечных суммах

подобранный) базис Рисса (6), построенный по полиному,

M i). ■

Для перехода к случаю произвольного параллелепи­ педа достаточно заметить, что невырожденный параллеле­ пипед отображается на наш стандартный куб с помощью обратимой замены переменных вида

(использовавшаяся при доказательстве лемм 1 , 3) показы­ вает, что в приведенной конструкции можно перейти к опи-^ санию L с помощью цепочек последовательно определяе­ мых «специальных граничных условий», являющихся мо­ дификацией «специальных граничных условий», использо­ ванных в § 2 гл. V или в п. 1.4 гл. VI.

Отмеченная связь правильного базиса с граничными условиями позволяет также сформулировать следствие доказанной теоремы, дающее еще одно уточнение резуль­

Действительно, всякий оператор, порождаемый опера­ цией L при условиях вида (Г!) (а!—вещественное),— само­ сопряженный. Это влечет самосопряженность и для опе­ ратора L. Ц

Г Л А В А VIII

СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 0. Вводные замечания

Как мы уже отмечали, использованный выше подход к изучению граничных задач для уравнений с частными производными за счет сведения их к дифференциально­ операторным уравнениям применим, разумеется, и в тех случаях, когда операторы А*, входящие в уравнение (1 ) § 0 гл. VI, не являются П-операторами или М-операто- рами.

Данная глава посвящена описанию одной из схем, поз­ воляющей обобщить приведенные выше результаты на тот случай, когда операторы А* удовлетворяют значительно менее ограничительным предположениям. Используемая схема (предложенная в [С 6] и основывавшаяся на работе (С 16]) является по существу развитием и уточнением общих соображений, относящихся к построению «опера­ ционного исчисления», изложенных в п. 2.2 гл. I. Естест­ венно, что при этом предположения относительно свойств операторов А*, необходимых для получения содержатель­ ных результатов относительно разрешимости уравнения вида (1) § 0 гл. VI, формулируются в терминах свойств резольвенты.

Как и следовало ожидать, расширение класса операто­ ров А* делает построения менее прозрачными, а резуль­ таты — менее точными. Но приводимые рассмотрения, во всяком случае, дают возможность без труда установить, что для дифференциальной операции

правильный оператор не только при регулярных по х условиях, но и при условиях Коши при х == 0.

Первый параграф посвящен общей схеме построения интересующего нас операционного исчисления, а втор о

178 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ций <р (г), z €Е с , при как можно менее ограничительных требованиях на оператор Т.

Построим прежде всего линейное пространство 35 та­ кое, что 38 С 35 и на 35 определена любая степень опе­ ратора Т (соответствующим образом расширенного). По­ скольку мы предполагаем непустоту рТ, можно, не умень­ шая общности, считать нуль точкой регулярности, т. е. предполагать, что Т- 1 — ограниченный оператор, задан­

эквивалентных пар. Заметив, что любые две пары могут быть представлены элементами одного и того же простран­ ства S*:

(w, к) = (Т" 1 w, к + 1) = (Т-2и>, к + 2) = ...,

определим в 35 естественным образом линейные опера­ ции, превратив его в линейное пространство над С. Ис­

Поскольку в случае, когда и у и Ту = w принадлежат мы имеем

Т (у, 0) = (у , 1) = (Т- 1у, 1) = (1У, 0),

т. е. Т (у, 0) = (Ту, 0), определение (1) действительно за; дает расширение Т и согласуется с определением Т- 1(у, к)—

=(Т-!у, к).

За м е ч а н и е 1. Приведенное рассуждение экви­ валентно утверждению: элемент у €ЕЕ38 = 380 принадле­

жит области определения оператора Т: 33 -+33 тогда й только тогда, когда существует пара (и?, —1 ), эквивалент­ ная паре (у, 0). Действительно, если такая пара сущест­

няющую топологизацию и являющуюся некоторым вари­ антом «счетной нормированное™».

О п р е д е л е н и е . Множество 3R d 95 называется ограниченным, если существует к такое, что 3R ограничено в 33%•

Линейное пространство 35 с введенной в нем допол­ нительной структурой назовём О-пространством (прост­ ранством с ограниченными множествами).

З а м е ч а н и е 2 . Более распространенным являет­ ся введение в 35 топологии индуктивного предела (см* [8 ], [С15]) цепочки пространств

•. .азз^азз^аззоаззгазз^а...,

но это связано с дополнительными осложнениями всякий раз, когда оператор Т”1 не является вполне непрерывным.

З а м е ч а н и е 3. Если Т — оператор, порождаемый некоторой дифференциальной операцией, то ЗЗъ, к ^ 1 ,— некоторое пространство «обобщенных функций», а 33-ь — пространство «гладких» функций. Такая система обозна­ чений не согласуется с традицией, согласно которой отри­ цательными индексами нумеруются пространства обоб­ щенных функций (см. [2 ]), но более естественна при ис­

дает структурой ^-пространства: линейные операции опре­ делены естественным образом и для А е ^

причем правая часть, по предположению, конечна.

480 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Объединение всех 3ffc образует алгебру 91, аддитив­ ная группа которой обладает структурой 0 -пространства. Действительно, в силу существования естественного вло­ жения 3ffr d 9tp, р к, для А d 9f*, В d 9tp определе­ на линейная комбинация

и множество $ d 91 ограничено, если оно ограничено

внекотором 9tfr.

Вкачестве следующего шага на пути осуществления плана, изложенного в п. 2 .2 гл. I, реализация которого позволит определить для А ее 91 функции <р (А) со зна­ чениями в той же алгебре 9t, мы должны рассмотреть

исчисления, построением которого мы занимаемся, рас­ сматривается, как правило, случай А = Т, т. е. фикси­ рованный элемент 91, для которого строится исчисление, совпадает с оператором, служившим для построения 95. Но в принципе это не обязательно так.

Рассмотрим прежде всего резольвенту элемента А е 9(.

определенную для тех значений Я, для которых существу­

d9tz, то функция Я (Я — А) - 1 ограничена в 9h+i.

Для доказательства достаточно заметить, что

Я(Я - Ар* = 1 + А (Я - А р .