книги / Общие вопросы теории граничных задач

§ 1. ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 101

правилу

где справа — скалярные произведения в 1Н', И" соот­ ветственно. Таким образом, относительно нормы, порож­ даемой скалярным произведением (1), базис {<pfc — ортонормировании®. Произведение (1) распространяет­ ся обычным образом на конечные линейные комбинации

Пополнение по введенной норме множества конечных ли­ нейных комбинаций (2) дает (полное) гильбертово прост­

жеством элементов вида (2) (над множеством конечных

гильбертовы пространства функций над некоторыми об­

Цоскольку в гильбертовом пространстве переход от базиса Рисса к ортонормированному базису и обратно равносилен замене данного скалярного произведения на эквивалентное (см. [1]), ясно, что приведенные выше

чески.

1.2. Модельные операторы. Удобным классом опера торов, функции от которых допускают весьма простое определение, являются М-операторы (п. 3.5 гл. I). Дей­ ствительно, если А: И И есть М-оператор, {<р*} — система собственных функций оператора А, образующая базис Рисса, и можно, следовательно, для любого элемен­ та и €= £>(А) записать

то в предположении, например, что F (z) аналитична в области Q cz С такой, что для всех к , доста­ точно положить

При этом м е й (*а) всякий раз, когда ряд (3) сходится. Область определения оператора F (А) заведомо плотна (в нее попадают все конечные линейные комбинации эле­ ментов базиса), и приведенное определение согласовано с конструкциями п. 2.2 гл. I и с требованиями, предъявляе­ мыми обычно к «операционному исчислению».

§ 2. ОПЕРАТОРЫ НА n-МЕРНОМ ТОРЕ ЮЗ

Трудности, с которыми приходится сталкиваться при попытке применения приведенной идеальной схемы к кон­ кретным ситуациям, возникающим при анализе гранич­ ных задач, бывают связаны обычно, с одной стороны, со сложной природой соответствующих функций F (г), а с другой — со стремлением включить в рассмотрения опе­ раторы, не являющиеся М-операторами (см. рассмотре­ ния гл. VIII).

Приведенная схема немедленно распространяется на

п

случай, когда И = <g) IH*, А*: Н*— и F (zl9 . . ., zn) — i

функция п комплексных переменных, удовлетворяющая соответствующим, требованиям. Операторы А к предпола­ гаются при этом, разумеется, коммутирующими.

§ 2. Операторы на n -мерном торе

2.1. Определение П-операторов и их основные свой ства. Простейший «явный» пример описанной выше ситуа­ ции дают операторы на тг-мерном торе, порождаемые диф­ ференциальными операциями вида (1) § 2 гл. II с постоян­ ными коэффициентами. G другой точки зрения это — опе­ раторы с постоянными коэффициентами, рассматриваемые

в параллелепипеде V а Кл на функциях, подчиненных условиям периодичности по всем переменным. Опишем такие операторы подробнее.

Удобно считать, что V —просто тг-мерный куб с реб­ рами длины 2я (некоторые замечания о возможном влия­ нии изменения параметров V мы сделаем в дальнейшем). Пусть 3*°° — линейное многообразие гладких периодиче­ ских по всем переменным комплексных функций, a IH(F)— наше стандартное гильбертово пространство, в котором

сопоставим дифференциальную операцию А (—iD) таким образом, что

А (— iD) eis x = A (s) eis x, s • x = згх± + . . . -f snxn.

Соответствующий оператор A: И -> IH определим как замыкание в Н операции А (—Ш), определенной перво­ начально на функциях, принадлежащих 0>°°. Операторы

Аописанной выше структуры назовем П-операторами.

За м е ч а н и е . По определению, «-мерный тор Т” есть прямое произведение « окружностей Т1 и наше гильбертово пространство Н (F) автоматически имеет структуру тензорного произведения « пространств Н1 над I 1. Соответствующее замечание относится и к нашим П-операторам А, представимым в виде суммы мономов, каждый из которых является тензорным произведением степеней оператора Dx, рассматриваемого на окружности. Это и определяет специфику структура операторов в Н.

Дальнейшие построения основываются, однако, на «не­

нальный базис в Н и является одновременно набором собст­ венных элементов для каждого из операторов А. Для задан­ ного оператора А (порожденного операцией А (—Ш)) каждое из чисел A ( s ) ,s E ^ , является собственным зна­ чением. Условимся обозначать множество этих чисел через A (if). :>-у>

Ут в е р ж д е н и е 1. Любые два П-onepamopa Ах, А2 коммутируют.

Утверждение немедленно следует из коммутативности соответствующих операций А к (—Ш).

Ут в е р ж д е н и е 2. Всякий П-onepamop А норма­ лен (п. 3.4 гл. I).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если А*: Ш— ВН— опе­ ратор, порождаемый в сделанных предположениях опе­ рацией А* (—Ш), то равенство А'А — АА‘ следует из утверждения 1. Достаточно, следовательно, установить, что А* = А', т. е. что слабое и сильное определения опе­ ратора А1 эквивалентны. Но для операции с постоянны­ ми коэффициентами, рассматриваемой на гладких перио­ дических функциях, A (—iD)Jeu — / еА(— iD)u (где / 8 — стандартный оператор осреднения) и требуемая эквива­ лентность немедленно следует из рассмотрений §6 гл. I. Ц

Утверждение 2 может быть получено, очевидно, и из

(мы использовали «общую схему» п. 1.2).

Представление (2) позволяет немедленно перейти и к рассмотрению операторов F (А), где F (z) — некоторая функция, принимающая конечные значения и на множе­

спектр PoF оператора F. Множество CoF = o F \P o F образует непрерывный спектр оператора F.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим F (As) через F ($). Если Я = F ($) при некотором s € E if,w (F — Я) X X еи'х = 0, т. е. Я — собственное значение оператора F.

Если же Я ф F (if), то оператор Fx существует. Дейст­ вительно, в этом случае из F%u = 0 следует м, = 0 для любого s e ^ if, т. е. и = 0 (единственность разложения в ряд Фурье). Кроме того, в этом случае множество

© (F?) плотно в И, поскольку содержит все конечные суммы вида (3).

При этом, если для любого s €z if выполнено условие

| Я — F (s) | > 6 > 0 (т: е. X(£F (if)), то оператор Fix ограничен и задан на всем IH:

(F - я г 1/ = s ( т - ьгч* еь-х

Если сформулированное условие для А не выполнено, то

нечный набор соответствующих собственных значений, то

fis == Xs1 — собственные значения оператора А~* (Xs Ф О, поскольку, по предположению, оператор А*1 существует).

функций оператора А, принадлежащих собственным зна­ чениям Xs, удовлетворяющим условию | Xs\ N, конечно. Д

Таким образом, для рассматриваемого класса опера­ торов А-1 лемма 1, п. 3.2 гл. I, дает необходимое и доста­ точное условие полной непрерывности. Следовательно, отсутствие для А"1 свойства полной непрерывности долж­

108 ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

но быть связано либо с наличием для А бесконечного чис­ ла собственных значений, лежащих в конечной части плоскости, либо с бесконечномерностью собственного подпространства, принадлежащего тому или иному %s. Как мы увидим в следующем пункте, полная непрерыв­ ность А-1 теснейшим образом связана с «устойчивостью» оператора А.

Следующее утверждение дает описание «дифферен­ циальных свойств» элементов, являющихся решениями уравнений, содержащих П-операторы.

У т в е р ж д е н и е 6. Пусть А, В — П-операторы и существует оператор А”1. Тогда для того, чтобы опе­ ратор ВА*"1 был ограниченным оператором, допускающим расширение на все пространство IH, необходимо и доста­ точно выполнение условия

точно, поскольку обеспечивает почленную применимость оператора В к ряду, представляющему элемент и = А”1/, и одновременно ограниченность оператора ВА-1. Посколь­ ку область определения оператора А~1 заведомо плотна в !Н, оператор ВА**1 допускает расширение на все прост­ ранство.

Необходимость условия (6) следует из того, что эле­ менты базиса {е™х}, S E <^, являются собственными функ­ циями оператора ВА”1, а числа В (s)/А (5) — соответствую­ щими собственными значениями. Оператор не может быть ограниченным при наличии неограниченно возрастающей последовательности собственных значений.^

Утверждение 6 может быть, очевидно, переформули­ ровано в терминах принадлежности решения и — А~г/ тому или иному пространству типа W (§ 7 гл. II).

Уместно отметить также следующее специфическое обстоятельство. Хотя при В (s) Ф const оператор В заве­ домо неограниченный, оператор ВА”1 может быть огра­ ниченным и при неограниченном операторе А '1. Тривиаль­ ный случай: В = А. Несколько менее тривиальный:

А = АХА2, причем А^1 — ограниченный оператор, а не­

ограниченность А”1 вызвана неограниченностью А23 (нап­ ример, А2 (s) = sx + as2, где а иррационально). Тогда ВА" 1 ограничен при В = Д2.

влечет (В) при п > 2 , поскольку в этом случае С-свойство

эквивалентно существованию предела lim R (з) — ± оо#

|s|—**oo

Это следует из того, что вещественный полином, прини­ мающий значения разных знаков вне некоторого шара, принимает вне этого шара и нулевое значение, поскольку при п > 1 дополнение к шару связно.

Наличие В-свойства у одного из полиномов, R или Q, в (7) сразу обеспечивает наличие полуплоскости, свобод­ ной от точек спектра оператора А. Но, как мы сейчас увидим, это не обеспечивает каких-либо (даже весьма сла­ бых) свойств «устойчивости» спектра относительно воз­ мущений оператора. Введем соответствующее определе­ ние.

О п р е д е л е н и е . Оператор А устойчив относи­ тельно оператора А0, если для любого z ее рА существует