книги / Общие вопросы теории граничных задач

| и (хх) — и fa) | ) позволяют установить уже непрерыв­ ность соответствующего элемента и е W 1. Ясно, что для непрерывной функции условия обращения в нуль на гра­ нице V выполняются в обычном смысле. Щ

З а м е ч а н и е . Нетрудно увидеть, что, опираясь лишь на использованные примитивные рассуждения, уже при п = 3 для доказательства непрерывности и ЕЕ W m нам пришлось бы потребовать т = 3, тогда как на самом деле достаточно т = 2. Для получения точных результа­ тов нужен более сложный аппарат.

Утверждение 4 (и его различные варианты) является тем основным инструментом, позволяющим устанавливать гладкость обобщенных решений, о котором шла речь во введении. Доказав, с помощью тех или иных дополни­ тельных построений, принадлежность обобщенного ре­ шения некоторому пространству типа Wт при достаточно большом т , можем сделать вывод о его гладкости в класси­

Утверждение означает, что всякое множество, ограни­ ченное в W k+1, является компактным в W к. При доказа­ тельстве достаточно рассмотреть вложение W 1 в IH. Приведем стандартную схему рассуждений. Ограничен­ ность множества Л d W 1 влечет его ограниченность в Н и равностепенную непрерывность в среднем (ср. § 1). Отсюда следует, что для любого фиксированного & О множество {/8/}, / €= Л ( /8 — оператор осреднения), равностепенно непрерывно в классическом смысле в С (V). Оно, следовательно, компактно (теорема Арцела), и для любого ех > 0 существует конечная е^сеть в С, что влечет существование соответствующей сети и в IH. Щ

Этим кратким изложением простейших фактов, отно­ сящихся к теории функциональных пространств, элементы которых обладают обобщенными производными, мы и ограничимся.

Г Л А В А Ш .

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

§ 0. Введшие замечания

Изучение интересующих нас аспектов теории гранич­ ных задач естественно начать с достаточно подробного рассмотрения ряда свойств обыкновенных дифференциаль­ ных операторов. Во-первых, обыкновенная дифференциаль­ ная операция является простейшим объектом в интере­ сующей нас теории, допускающим исчерпывающее (во многихотношениях) изучение. Во-вторых, основным типом интересующих нас в дальнейшем операторов будут опе­ раторы, действующие в тензорном произведении про­ странств Н0 0 0 . . . <g) (гл. IV) и построенные из коммутирующих друг с другом операторов h k:Нк -> Нк. При этом материалом для построения L* будут служить обыкновенные дифференциальные операторы, обладающие теми или иными свойствами, зависящими от входящих в их определение граничных условий.

Следует заметить, что с точки зрения теории граничных задач для уравнений с частными производными описанный выше объект является «модельным», т. е. весьма упрощен­ ным по сравнению с основным объектом общего харак­ тера — произвольной линейной дифференциальной опера­ цией, рассматриваемой в некоторой ограниченной области пространства R”. Но мы надеемся показать, что и указан­ ная модель является заслуживающей изучения и позво­ ляющей проанализировать многие явления, встречаю­ щиеся в теории граничных задач.

Третьим доводом в пользу подробного анализа обык­ новенных дифференциальных операций (тесно связанным со вторым) является то соображение, что многие специфи­ ческие явления, возникающие при изучении операций с частными производными, удобно прослеживать на языке перехода от обыкновенной дифференциальной операции (например, от операции L (A, D) = A2Z)2 + AJ ) + А0, где А к — числа) к соответствующему «уравнению с one-

раторными коэффициентами» или «уравнению в банаховом пространстве» (т. е. к операции L (А, Z)), в которой А* — операторы). При осуществлении подобного перехода является неизбежным предварительное внимательное рассмотрение ряда свойств обыкновенных дифференциаль­ ных операций. •

§ 1. Описание правильных операторов при п = 4

Вкачестве примера интересующей нас задачи, которая

вслучае обыкновенной дифференциальной операции до конца решается, мы приведем полное описание правиль­ ных операторов в случае, когда V — конечный интервал вещественной оси.

1.1. Операторы, порождаемые условиями Коши. Пусть

т'

x G F = (0,b), H = H(F). D = - ^ , Ь(Я) = £ а* (* )Л *

О

(1)

и Lc: !Н—>- Ш— оператор, определяемый как замыкание в И операции (1), рассматриваемой первоначально на гладких функциях, подчиненных условиям Коши:

и |0 = и'!о = • • • = « ^ 1 . = 0.

В дальнейшем будем предполагать, что ак (х) непрерыв­ ны в F и ^ = 1.

ниям уравнения Lcu = /, которую мы получим в процессе доказательства, далеко не будет исчерпываться утвер­ ждением теоремы. Само доказательство мы проведем, следуя схеме, допускающей обобщение на так называе­ мые гиперболические операторы с частными производными (см. [4]).

84 ГЛ. III. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

и снова внести результат в (2). Повторяя эту процедуру п раз, получим

стремится к нулю при п ->• оо, внося (6) и (7) в (5) и пере­ ходя к пределу при п -> оо, получаем (3). Щ

где постоянная с зависит лишь от т и коэффициентов а* операции (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточно, очевидно, про­ вести доказательство неравенства (8) для гладких функ­

ций и (ж), удовлетворяющих условиям Коши. Домножим равенство

L (D)u (ж) = f (х)

на Z)"*-1и и проинтегрируем в пределах от 0 до ж. Получим

ж m—1 ж ж

Обращаясь к лемме 1, получаем отсюда утверждение лем­ мы 2. JQ

С л е д с т в и е . 5 условиях леммы 2 справедливо нера­ венство

86 ГЛ. III. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Д о к а з а т е л ь с т в о !. Существование при лю­ бом Я (которое может быть включено в а0) ограниченного оператора (Lc — Я)-1 немедленно следует из (Ф). Нужно лишь убедиться, что областью определения этого опера­

обыкновенных дифференциальных уравнений (например, для / g (7, что достаточно в силу наличия (Ф)). Ц

Д о к а з а т е л ь с т в о 2. Если поставить целью получение доказательства, не зависящего от классических рассмотрений, как это приходится делать для операторов с частными производными, то можно воспользоваться схемой, изложенной в п. 6.4 гл. II.

Ортогональное дополнение к fR (Lc) (области значений оператора Lc), являющееся в силу (Ф) замкнутым под­ пространством в Н, состоит из слабых решений уравнения

где tc — условия Коши при х = Ъ. Все будет доказано, если мы покажем, что (9) влечет v = 0. Сильное решение уравнения (9) заведомо тождественный нуль (в силу на­ личия соответствующего неравенства (Ф) для операции L* и условий tc, что считается очевидным). Но, чтобы утвер­ ждать совпадение слабого и сильного решений (§ 6 гл. II), мы вынуждены потребовать ак (х) g С*. Я

Можно еще заметить, что при доказательстве эквива­

лентности слабого и сильного определений оператора L для обыкновенной дифференциальной операции мы ис­

пользовали конечномерность ядра L, подразумевая соот­ ветствующий классический результат. Но этот результат немедленно следует из установленной выше (независимо) единственности решения задачи Коши.

Из леммы 3 и леммы о связи спектров операторов Т, Т-1 (п. 2.3 гл. I) немедленно следует вольтерровость опе­

ратора Lc1, т. е. утверждение теоремы 1.

Заметим еще, что постоянная с в неравенстве (Ф), записанном для оператора Lc— X, будет, очевидно, зави­ сеть от X. Вопрос о характере этой зависимости есть во­ прос о поведении резольвенты оператора Lc. Проведение соответствующего изучения резольвенты, обычно также

относимого к изучению спектральных свойств оператора (понимаемых в расширенном смысле), нам .в дальнейшем неоднократно понадобится.

В случае обыкновенной дифференциальной операции неравенство (8) и следующее из него неравенство

цг>т - ‘ иц<с|1/11 немедленно влечет и соответствующую оценку для про­

ниваются через норму / (ср. доказательство леммы 2), получаем требуемое. Ц

1.2. Описание правильных операторов. Пусть по-преж нему V = (0, й), Н = И (F) . и L (D) — обыкновенная дифференциальная операция (1). Мы будем пользоваться

ные функционалы над Н, а (со^КГ-1 — некоторая фундамен­ тальная система решений (фиксированная) уравнения

L (D)w = 0.

88 ГЛ. III. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из конечномерности ядра L немедленно следует существование для любого элемента

Lи = /, как и в классическом случае, в виде суммы част­ ного решения и общего решения однородного уравнения, т. е. в виде правой части равенства (10) при некоторых по­ стоянных 1к. Выбор постоянных будет зависеть, вообще

говоря, и от /, и от выбранного сужения оператора I! (в классическом случае —от соответствующих граничных условий). Зависимость от / линейна в силу линейности L; соответствующие функционалы должны быть ограничены

Здесь круглые скобки — скалярное произведение в Н,

а {Ць}^1 — набор элементов И, определяющий правиль­ ное сужение.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Всякий элемент M E S (L) имеет, как отмечалось, т обобщенных производных, и, следовательно, граничные значения и, а так же производ­ ных, входящих в (11), определены (ср. § 7 гл. II). Заменяя в левой части (10) L~i f на и, реализуя функционалы lk (/) в виде скалярных произведений (<?*,/) (лемма Рис-

са), замечая, что в нуле значения Lё1/ с производными

до порядка т — 1 равны нулю и заменяя / на LM, при­ ходим к системе условий (11). |

Л е м м а 7. Правильное сужение L С L является расширением соответствующего минимального оператора_ L0 тогда и только тогда, когда элементы {qk} в форму­

ле (11) принадлежат ядру оператора 1Л

что (qk, L 0v) = 0 при всех к и для любого v ЕЕ © (L0). Но это и означает принадлежность дк ядру L1 в силу эквивалентности для обыкновенных дифференциальных операций слабых и сильных расширений.

Д о с т а т о ч н о с т ь . Бели элементы {qk} в (11) принадлежат ядру Lf, то они, как отмечалось, имеют тп сильных производных и в (11) в произведениях (qk, Lи) можно осуществить переброску оператора L на qk за счет

интегрирования по частям. Поскольку Uqk = 0, условия (11) примут вид однородных граничных условий

Каждая сумма в (12) является линейной комбинацией значений и и ее производных до порядка т — 1, взятых в нуле и в Ъ. Коэффициенты этих линейных комбинаций зависят от {м;г} и коэффициентов L (D). Из записи условий (11) в форме (12) следует включение L0 d L. |

Проведенные рассмотрения позволяют, в частности, сформулировать теорему.

торым должен быть подчинен элемент из © (L).

Из рассмотрений п. 1 следует, что при п — 1 линейное многообразие © (£) совпадает с пространством W™ (F).

§ 2. Обыкновенная дифференциальная операция первого порядка

Обыкновенной par exellence является обыкновенная операция 1-го порядка. Мы рассмотрим ее весьма под­ робно, имея в виду, с одной стороны, проиллюстрировать на простейших примерах результаты § 1, а с другой — подготовить изучение соответствующих операторных уравнений.

90 ГЛ. III. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

где а (х) — непрерывная функция (для простоты — веще­ ственная). Формула (10) § 1 примет вид

т. e.q = р ехр (— §а <Е)«) , где р — некоторая постоянная,

о

При произвольном комплексном параметре р гранич­ ные условия (4) дают описание всех правильных операто­ ров, порождаемых L (D). С несколько иной точки зрения формула (4) дает все граничные условия, при которых нуль не является точкой спектра для соответствующего оператора L(P): ОН— ВН, порождаемого операцией L (D).

З а м е ч а н и е 1. Последнее обстоятельство нахо­ дит свое отражение в том факте, что, в отличие от ситуа­ ции, возникающей при задании граничных условий равен­ ством

(р,, v — некоторые комплексные постоянные), при усло­ виях (4) дающая решение задачи формула (2) (в которой надо еще вычислить значение постоянной I (/)) не содержит знаменателей, которые могли бы обратиться в нуль при