книги / Общие вопросы теории граничных задач

Сформулируем полученный результат в виде теоремы. Т е о р е м а 2. Для произвольной операции L (D) вида

(1) оператор L: И IH, определенный равенствами

где Lr1 — описанный выше оператор, является правильным оператором, порождаемым операцией (1). Щ

Следует отметить, что теперь, опять-таки в отличие от случая т 1, построенный оператор L уже не будет, вообще говоря, дС-оператором (не исключено наличие точечного спектра). Нетрудно, однако, привести примеры операций, для которых предложенная конструкция поз­ воляет определить правильный оператор, являющийся дС-оператором (это будет так, если в (9) всегда можно вы­ бирать либо р — 0, либо р s= оо), в то время как ни пря­ мая, ни обратная задачи Коши такого оператора не опре­ деляют. Достаточно взять, например,

L(D) = D*t + ( D l - D l ) Dt.

1.5. Задача Дирихле. Бели граничные условия no t определяющие правильный оператор, могут быть выбраны не зависящими от s и обеспечивающими одновременно справедливость неравенств (11) при всех значениях A (s),

В (s), то мы получаем правильный оператор L: Н И, задаваемый условиями, которые мы условимся называть стандартными (в отличие от условий, которые мы на­ звали специальными в § 2 гл. V и в которых граничные ус­ ловия по t при определении и3 (t) зависят от s).

Условия (9) не охватывают, однако, таких, например, классических стандартных условий, как условия Ди­

порождаемого операцией (1) и условиями (13), состоит из точек комплексной плоскости С» имеющих вид

— р2 ^ — В2($) — А ($), р = + 1, + 2 , . . . , « е ^ .

Дополнение С \ PffL и точечному спектру принадле­ жит целиком либо резольвентному множеству pL, либо непрерывному спектру Coh оператора L.

152 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Д о к а з а т е л ь с т в о . Выполнение равенства

при некотором целом р ф 0 (и фиксированном Я) эквива­ лентно выполнению при некотором s ЕЕ равенства £*»<*)&<= а*г(*)6, где) ки к2 вычислены согласно (3) при

В*= В (s), А «= A (s) + X. Но тогда функция

щ(t, х) е= exp (iS’X -j- kx(s) t) — exp (is-x -f- k2 (s) t)

является собственной функцией рассматриваемой задачи,

Если Я ф РаЪ, то решения ut (t) соответствующей цепочки (п. 1.2) обыкновенных дифференциальных урав­ нений при условиях (13) (предполагается кг Ф к2) даются формулой

Если | Reкг (s) I, | Rek2 (s) | равномерно nos 6= & огра­ ничены или при | Re (s) | ->- oo, | Re k2 (s) | oo выпол­ нено условие

то из (15) (и соответствующей формулы в случае кратных корней) может быть получена цепочка оценок (Ф4) п. 1.2, обеспечивающая существование и единственность решения уравнения (1) при любой правой части / 6 ^ .

Если же указанные условия не выполнены, то, взяв последовательность {s(j)} c i для которой нарушено условие (16), и соответствующую последовательность {«(У)} решений уравнения (1) при правых частях /(,-) —

т. е. неограниченность оператора L"1.

Остается заметить, что выполнение или невыполнение приведенных условий не зависит, очевидно, от замены А ($) на А ($) -f- Я. Л

Отметим некоторые следствия доказанной теоремы. Условия (16) заведомо выполняются для уравнений 2-го порядка с вещественными коэффициентами. Для опера­

шей точки спектра.

Для классической гиперболической операции (В =

*= О, А *= —2s|) условия Дирихле также определяют пра­ вильный (в широком смысле; п. 4. 1 гл. III) оператор, т. е. дополнение к точечному спектру является резольвентным множеством. Но при этом возникает типичное явление неустойчивости точечного спектра: при Я «= О, А = ^ s2 (п <= 1) выполнение или невыполнение при некоторых целых р (р Ф 0) и s равенства (14): рл = bs зависит от со­ измеримости или несоизмеримости б и л и нуль может быть сделан точкой точечного спектра (или резольвентного множества) за счет сколь угодно малого изменения пара­ метра Ъ (или замены А на (1 + е) А при сколь угодно ма­ лом е).^'?

Наконец, для операции

L (D) еее D] - 2D%Dt + D*X- D%,

рассмотренной в конце п. 1.3, дополнение к точечному спектру принадлежит непрерывному спектру, а резоль­ вентное множество пусто, т. е. условия (13) не определяют в этом случае правильного оператора.

Подчеркнем, что возможность возникновения подоб­ ной ситуации (в которой дополнение к точечному спектру, не являющемуся всюду плотным на С, принадлежит непрерывному спектру) есть специфическая черта так называемых распадающихся (т, е. не содержащих связи

154 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

между значениями неизвестной функции при t *= 0 и t *= Ъ (см. [13])) условий, которым принадлежат условия Дирихле. Для условий (9) при р, Ф 0,оо подобная возмож­ ность исключена.

1.6. Использование стандартных условий. Из приве денных рассмотрений следует, что ни задача Коши, ни задача Дирихле не порождают правильных операторов

Вто же время спектр соответствующих П-операторов

А(В <= 0) является достаточно «редким» и нет оснований предполагать, что для получения правильных операто­ ров, порождаемых (17), (18), необходимо прибегать к об­ щей конструкции п. 1.4.

Действительно, уже такие классические стандартные

порождают для (17), (18) правильные в широком смысле операторы (неудобство условий периодичности по всем

собов выбора вещественных р в условиях (9), при которых

для нахождения щ из уравнений Lus «= /„ вместо условий

(9) для описания правильных операторов L, порождаемых операциями (17), (18), можно пользоваться условиями, несколько более близкими к классическим:

и рассмотрения и. 1.3 (использование разложения по соб­ ственным функциям оператора L: И -*■ И) в этом случае неприменимы. Необходимо именно исследование явных

формул, задающих LJ1, подобное проведенному в пп. 1.3, 1.5 (или в гл. У).

Более подробный анализ (см. [С13]) показывает, что необходимость обязательного использования двух гра­ ничных условий «нелокального» характера (типа второго из условий (19)) возникает неизбежно в случае, когда для обоих корней кг (а), к2 (s) значения Re кг ($), Re к2 (а) одно­ временно могут принимать как сколь угодно большие по­ ложительные, так и сколь угодно большие отрицатель­ ные значения (что возможно, очевидно, лишь при В Ф 0).

1.7. Заключительное замечание. На этом мы закончи рассмотрение операторных уравнений 2-го порядка. Остается заметить, что анализ (подробный) условий пол­ ной непрерывности оператора L, дифференциальных свойств решения, рассмотрение операторов, неразрешен­

ных относительно Z>f, различные подходы к классифи­ кации уравнений (1) по свойствам полиномов А ($), В (а) могут быть проведены в рамках конструкций, использо­ ванных в гл. V. Мы не будем на этом останавливаться.

§ 2. Операторные уравнения высшего порядка

( т > 2)

В данном параграфе мы приведем некоторые примеры уравнений высшего порядка, для которых используемый подход позволяет получить достаточно обозримые резуль­ таты, и сделаем некоторые замечания, относящиеся к об­ щему случаю. Наши рассмотрения будут носить обзор­ ный характер. Проведение подробных доказательств тре­ бует преодоления целого ряда технических трудностей, связанных с исследованием формул, дающих решение гра­ ничных задач для цепочек обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений,

Ls (D4) US - fs,

156 ГЛ. Vi. OfflSPATOPHblE УРАВНЕНИЯ вы с ш его п о р я д к а

возникающих при используемом подходе, следующем об­ щей схеме п. 1.2 § 1. За доказательствами мы отсылаем к работам [С 12], [С 13].

Отметим только, что упомянутые доказательства опи­ раются на внимательное изучение свойств функций Гри­ на, позволяющих записывать представления решений об­ щих граничных задач для обыкновенных дифференциаль­ ных уравнений (использованная нами формула (11) § 2 гл. III также соответствует представлению решения с по­

храняются предположения гл. V. В простейшем случае, которым мы ограничимся, А предполагается П-операто- ром. Мы по-прежнему сохраним все определения и обоз­ начения гл. V.

Как и в § 1, изучение операторного уравнения (1) сво­ дится в основном к изучению формул, дающих решение

Каждому комплексному числу А мы можем сопоставить числа тп+(А), т_ (А), т0(А) — число корней уравнения (2), для которых Re z 0, Re z <С 0 и Re z — 0 соответственно.

Опуская явное указание аргументов A (As), заметим, что возможны следующие различные случаи расположения корней уравнения (2) на комплексной плоскости:

при т четном:

II- а т+= т_ ± 1, т0 — 0; Н-Ь т+= т_, т0 ;= 1.

Обращаясь теперь к случаю А = А (—Ш), сопоставим обычным образом операции А (—Ш) полином A (s),«G < ?,

нию А (а) соответствующих определенные значения чисел т+(а), тп_ (а), т0 (а) в таблице (3), введем следующее оп­ ределение.

при | а | > N каждое из чисел т+(а), т_(a), m0(s) прини­ мает фиксированное значение. В противном случае будем

то определяемый указанными условиями оператор

ЩIH* обладает непустым точечным спектром, струк­

тура которого без труда может быть изучена. Соответст­ вующие рассмотрения имеются, например, в книге [13].

Т е о р е м а 1. Пусть А — стабильный оператор, числа тга+, 7тс_, т0 определены таблицей (3) и условия (Г0), (Гь) выбраны так, что

к0 — т_ в случае Н-а;

к0 = т__ или kQ— т__ + i в случае П-Ь.

Тогда точечный спектр РоЪ соответствующего опера­

Дополнение к замыканию на С множества PoL принад­ лежит резольвентному множеству оператора L. Если

PoDT 0 , то pL i= С-

158 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Если выбор условий по t [распадающихся) противоречит^указанному в таблице (4), то для соответствующе­ го оператора L каждая точка комплексной плоскости С принадлежит либо точечному, либо непрерывному спект­ ру. Исключение представляет случай 1-Ь, когда выбор к0 = *= т_ + 1 приводит к наличию неустойчивого точечного спектра. Щ

Сделаем некоторые дополнительные замечания. Слу­

чай PoD™ - 0 в классе условий, удовлетворяющих тре­ бованиям таблицы (4), может встретиться лишь при зна­ чениях т = 1, 2, рассмотренных подробно ранее.

Под «неустойчивостью точечного спектра» подразу­ мевается явление, аналогичное рассмотренному в п. 1.5 предыдущего параграфа, в замечании о задаче Дирихле для гиперболического оператора. Включение его подроб­ ной характеризации в условия теоремы представляется слишком громоздким.

При отказе от требования стабильности оператора А мы можем, очевидно, снова встретиться с операторами, спектр* которых заполняет всю комплексную плоскость. Не­ трудно заметить, однако, что и в этом случае использо­ вание для уравнения (1) конструкции, описанной в п. 1.3 предыдущего параграфа, позволяет определить правиль­ ный оператор.

Для описания правильных операторов L: И ->■ И с помощью стандартных граничных условий при «не слиш­ ком плохих» операторах А оказывается необходимым (как и в подробно изученных нами случаях т = 1, 2) расши­ рить класс граничных условий, присоединив к распадаю­ щимся условиям (Г0), (Гь) нелокальные условия

нение к точечному спектру (имеющему структуру, опи­ сываемую по-прежнему формулой (5)) принадлежит не­ прерывному спектру оператора L. |

З а м е ч а н и е . Из утверждения теоремы не следу­ ет, что в случае Ь) нельзя обойтись одним нелокальным условием.

Приведенные теоремы показывают, грубо говоря, что для описания (в сделанных предположениях) правильного оператора, порождаемого операцией (1), при стабильном А всегда можно ограничиться правильно выбранными рас­ падающимися условиями, тогда , как при нестабильном А необходимо присоединение нелокальных условий.

жающие зависимость корней характеристического урав* нения

(6)

1

от коэффициентов А* (эти формулы еще имелись для дву­ членного уравнения, т. е. для корней уравнения (2)). Таким образом, предположения относительно операторов Аь определяющие то или иное распределение корней уравнения (6), приобретают неизбежно неявную форму. Постулируя тот или иной характер поведения корней

(6) при всевозможных значениях параметров А* = Ak (s), s G можно выделить различные классы операций и подходящих стандартных граничных условий, определяю­ щих соответствующие правильные операторы.. Как и при рассмотрении двучленного уравнения, выбор «подходя­ щих» стандартных условий определяется количеством корней уравнения (6), удовлетворяющих требованиям

160 г л . VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Rez ^ 0, Rez = 0, и характером «стабильности» выполне­ ния этих требований [С13].

Возможно, конечно, выделение специальных подклас­ сов уравнений, позволяющих осуществить более эффектив­ ное их исследование (подобное описанному в п. 1 исследо­ ванию двучленных уравнений).

Например, можно предполагать, что операция L (D) задана «факторизованной», т. е. цепочка обыкновенных дифференциальных уравнений, из которых определяются коэффициенты разложения us (t) искомого решения, имеет вид

(7)

где В* (s) — полиномы, определяемые соответствующими операциями Вк (—iD) (или П-операторами B:jHx -^H x).

Представляя (7) в виде

чивают разрешимость (8) относительно LmHL, $us, и продол­ жая этот процесс, можем найти и8. При выполнении соот­ ветствующих равномерных оценок норм us (t) условия вида

(9)будут давать описание правильного оператора.

Вряде случаев оказывается возможным вместо (9) обойтись цепочкой условий

р£>*ы« 1<=о — D*us Ь=ь = 0, к — 0, 1, т — 1,

(Ю )

т. е. считать, что операции D{ в L (D) порождают степени оператора Dt, определяемого условием

(и не зависят от s), то условия (11) позволяют привести условие

р (Dt — Bm (s))us |f=о — (Dt — Bm (.s)) us |t=b = 0

к виду

\*-Dtus |(=o — D tus/t=b ~ 0,

ИТ. д.