книги / Общие вопросы теории граничных задач

можем положить v'k = к. Тогда, как и следовало ожидать, соотношение (5) не может быть получено, если а' ^>0, а* = 0. Если а' < 0 , а" = 0, дляполучения (5) достаточно

Естественно поставить вопрос.Чем мотивирован выбор семейства (3) или, что эквивалентно^ (4)? Несколько рас­ плывчатым ответом может служить указание на то, что использование семейства функций вида — 1 является весьма удобным при выяснении характера поведения резольвенты оператора Dx, порождаемого условиями Коши.

Сделанное замечание можно проиллюстрировать рас­ смотрением несколько усложненного варианта операции L (D):

L (D) = Dt + a D l

где оператор Dt снова определен условием (2), a D% — условием

u |x=0 = wi |*=э = 0 . Взяв тогда uv вида

Mv = (av)- 1 (1 — e~av’t) (ev* — 1 — \х) и, соответственно,

/v = L (D) Му = vevx —ve~avH (1 + vx), получим вместо (5) следующее выражение для %:

Этим мы и закончим рассмотрение вопроса о необхо­ димости налагавшихся на резольвенту в § 2 ограничений.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Автор надеется, что достаточно внимательный чита­ тель на основе предшествовавших глав составил представ­ ление о характере общих вопросов, возникающих при изучении граничных задач методами теории линейных операторов, и овладел приемами исследования специаль­ ного класса модельных объектов, позволяющих дать на некоторые из этих вопросов достаточно содержательные ответы.

Рассмотренные модельные ситуации позволяют глуб­ же понять природу ряда специфических явлений, связан­ ных с объектами соответствующего раздела математиче­ ского анализа. Как было отмечено в конце главы VI* аналогичный подход можно использовать для изучения линейных задач с малым (или большим) параметром, а также для уравнений, вырождающихся на границе или меняющих тип. Предполагается, что читатель, используя описанные в главах V,vVI приемы, сможет, в случае нужды, сделать с их помощью нужную «прикидку» в интересующей его ситуации.

Автор считает, что использованные в данной моногра­ фии конструкции существенным образом дополняют ту точку зрения на линейные дифференциальные операторы, которая изложена в книге [19].

Важнейшим вопросом, возникающим в связи с прове­ денными рассмотрениями, является вопрос о том, в ка­ кой мере свойства «модельных» задач сохраняются в более общих ситуациях. Здесь было бы желательно иметь разумную «теорию возмущений», позволяющую перехо­ дить от параллелепипеда (тора) к области, получающейся после той или иной малой деформации, и от П-оператора к близкому оператору с переменными коэффициентами.

Не следует, конечно, думать, что упомянутая теория возмущений позволит, отправляясь от наших моделей, получать результаты, применимые непосредственно'■к

общим линейным дифференциальным операциям с пе­ ременными коэффициентами, рассматриваемым в произ­ вольной области. Но она должна доставить ценные на­ водящие соображения, относящиеся как к постановкам задач, так и к характеру ожидаемых результатов.

Конкретизируя до некоторой степени соответствующую проблематику, можно задаться, например, следующими вопросами.

Для каких классов операций с переменными коэф­ фициентами существуют граничные условия такие, что порождаемые ими правильные операторы будут М-опе- раторами? Будут С-операторами? В какой мере и как за­ висит возможность выбора требуемых граничных усло­ вий от структуры области, в которой ведется рассмотрение?

Пока, однако, неясно, как хотя бы для оператора Лапласа в круге (или в прямоугольнике) показать, что для него не существует порождаемого им правильного оператора, являющегося С-оператором (или доказать противное).

Из результатов монографии [18] следует, что, например, для ультрагиперболической операции (см. [С5]) должен

вполне непрерывен. Вопрос о способах описания такого оператора в терминах граничных условий остается от­ крытым. Использование с этой целью конструкции п.1.4 гл. VI в сочетании с выбором р8, обеспечивающим рост констант в неравенствах вида (11) § 1 гл. VI, наталкива­ ется на трудность, связанную с необходимостью допол­ нительного исследования свойств получающегося ба­ зиса.

Вопрос, сформулированный нами выше для ультрагиперболического оператора, снова является, очевидно, специальным случаем общей задачи о зависимости (для заданной дифференциальной операции L(D)) свойств опе­ ратора 1 Г1 от выбора определяющих оператор L гранич­ ных условий.

В качестве еще одной формы этой задачи можно пред­ ложить исследование зависимости от характера гранич­ ных условий (однородных) гладкости решения и = LT1/ при / IH. Полезный относящийся сюда пример был рассмотрен в [СЮ].

194 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Несомненный интерес представляет применение изло­ женной схемы к системам уравнений. Здесь немедленно возникает вопрос о рассмотрении операторных функций нескольких комплексных переменных. В этом направ­ лении имеются пока, однако, лишь весьма разрозненные результаты.

Очевидна также возможность перехода (в рамках

Фурье — Лапласа, так и за счет применения операцион­ ного исчисления главы VIII.

Заканчивая на этом изложение «общих вопросов», автору хочется выразить надежду, что дальнейшее их изучение, правомерность и полезность которого он ста­ рался показать, позволит со временем говорить и об «общей теории» граничных задач для линейных диффе­ ренциальных операторов с частными производными.

Д О П О Л Н Е Н И Е

О НЕКОТОРЫХ СИСТЕМАХ УРАВНЕНИИ, СОДЕРЖАЩИХ МАЛЫЙ ПАРАМЕТР

За время подготовки книги к печати был реализован один из пунктов плана дальнейшего использования пред­ ложенной схемы для анализа упрощенных вариантов некоторых проблем, возникающих в линейной теории граничных задач. Речь идет о системах уравнений, возни­ кающих при специальной линеаризации двумерных урав­ нений Навье — Стокса. Мы приведем изложение соответст­ вующих построений, следуя статье [1 1 .

§ 1. Постановка задачи .

Пусть U = (и, v) — двумерная вектор-функция пере­ менных х, у, р = р (х, у) — некоторый скаляр и

— классическая система уравнений, решения которой описывают плоское установившееся течение вязкой не­ сжимаемой жидкости [21. Конвективные члены в (1 ) могут быть записаны либо в форме

(3)

либо в форме

В последнем случае надо заменить р на скаляр у = р + + 1/2 (и2 + V2).

При линеаризации ~К в качестве группы младших чле­ нов в (1 ) можно получить как гиперболический, так й

196 ДОПОЛНЕНИЕ

эллиптический операторы первого порядка. Например, полагая в (4) v = 0, и = 1 (имеются в виду коэффициенты при первых производных) и добавляя к первой строке в

(1) уравнение (2), получаем в качестве К классический оператор Коши — Римана. Для получения гиперболиче­ ского (расщепленного) оператора достаточно положить в (3 ) и = v = 1 .

Нас будет интересовать поведение при е —►0 решений линеаризованной системы (1 ) — (2 ), рассматриваемой как система с постоянными коэффициентами в прямоугольни­ ке, при специальном выборе граничных условий. При этом основное внимание мы сосредоточим на случае, когда К — оператор Коши — Римана. Соответствующие резуль­ таты в гиперболическом случае более очевидны.

Мы начнем с рассмотрения усеченной системы, получа­ ющейся из (1 ) при р = О (уравнение (2 ) при этом опускает­ ся). Такое вступление дает возможность подчеркнуть специфику полной системы (1 ) — (2 ).

Приведем теперь схему применения знакомой нам кон­ струкции, описанной в главах V, VI. Рассмотрим оператор­

где х = [0, 6], Dx — операция дифференцирования по х и А, В, М — я-операторы, коммутирующие с Dx (роль пере­ менной t в указанных главах будет играть теперь перемен­ ная х).

Вместе с уравнением (Ьг) рассмотрим граничные усло­ вия по х (при х = О, Ь), которые мы символически запишем в виде

U е £> (Ь&). Наряду с (Le) рассмотрим «невозмущенное» уравнение

(условия (Г0) получаются обычно «снятием» части условий (Г)).

Основное предположение. Задачи {Ьг) — (Г), (L0) —- (Г0) однозначно разрешимы при любых v, v0, и для решений справедливы неравенства

записанные в соответствующих нормах. Постоянная С в

(5) не зависит от выбора решения, й первое из неравенств выполняется равномерно по е.

Сформулированное предположение необходимо нам для установления интересующей нас связи между исходной и невозмущенной задачами. Заметим теперь, что расщепле­ ние задач (Le) — (Г), (L0) — (Г0) на бесконечные цепочки соответствующих обыкновенных дифференциальных урав­ нений может быть проведено обычным образом. Справед­ лива

Т е о р е м а 1. Для выполнения основного предположе­ ния необходимо и достаточно, чтобы каждое из упомянутых выше обыкновенных уравнений (Z/8>s), (L0,s) было однозначно разрешимо при любых v8, v0>8, причем неравенства

должны выполняться равномерно по г u s и по $ соответст­ венно.

Доказательство проводится обычным образом.

О п р е д е л е н и е . При выполнении основного пред­ положения задача (Ьг) — (Г) регулярно вырождается в задачу (L0) — (Г0), если

||Uz — U || 0 при е —> 0.

Те о р е м а 2. При выполнении основного предположе­

ния задача (Ьг) — (Г) регулярно вырождается при е —> 0 в задачу (L0) — (Г0) тогда и только тогда, когда для любого

причем второе из неравенств выполняется равномерно по е. Последнее следует из равномерного по е выполнения не­ равенства (6) и независимости от е граничных условий: Тогда, используя (8), будем иметь

ии .ь - и \\ =

■= ( j j ^ 8, S<PS

и за счет выбора достаточно малого е, в силу (7), может быть получена оценка || Ut — U || <; б.

Необходимость для регулярного вырождения выполне­ ния условия (7) достаточно очевидна.

§ 2. Усеченная система

Возьмем теперь в качестве (Ьг) уравнение

либо расщепленный гиперболический оператор, получаю­ щийся из (3) при и — v = 1 . Как отмечалось, предвари­ тельное рассмотрение этой системы позволяет подчеркнуть специфику «полной» системы (1) — (2). В этой связи нас будет прежде всего интересовать приводимый ниже отри­ цательный результат: отсутствие регулярного вырождения в случае оператора К, имеющего вид (10). Но начнем мы с исследования более простого гиперболического случая. .

Итак, операторы М, А в (Ьг) порождаются теперь замы­

канием операций D\, Dyy рассматриваемых на гладких периодических (по у) функциях. Оператор В — умножение на константу. Полагая Uz = (щ, 1?г)> присоединим к (9) граничные условия по х:

и рассмотрим вместе с (9) невозмущенное уравнение

Вгиперболическом случае (К U определяется формулой

(3)при и = v = 1) система (9) распадается на два независи­ мых уравнения: уравнение для щ:

и аналогичное уравнение для ve. К каждому из уравнений надо присоединить условия (Г2) или (Г2). Вместе с (12) мы должны рассмотреть невозмущенное уравнение для и:

Взяв для иг (х , у) стандартное представление

S

и соответствующие представления для v2 (у), v2 (у), видим, что применение нашей обычной схемы сводится к рассмот­ рению бесконечной цепочки уравнений

соответствующих уравнению (13).

При исследовании цепочки уравнений (15) положим в

знаменатель в (18) не обращается в нуль и множители при vs для х ЕЕ [0, 6J, е > 0, s е i f равномерно ограничены. Следовательно, все уравнения (15) при выбранных гранич­

В соответствии с общими правилами выбора граничных условий, обеспечивающих регулярность вырождения для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [3]), присоединим к невозмущенному уравнению (17) условие щ (Ъ) = vs, что даст

Из (20), (21) немедленно следует, что для любого фиксиро­ ванного s

Ц«е,« — И—> 0 при 8 -э- 0 .

Проведенный анализ позволяет на основе результатов

§1 утверждать справедливость следующей теоремы.

Те о р е м а 3. В сделанных относительно оператора К предположениях задана (Г1>2) для уравнения (9) регулярно вырождается при е —+0в задачу Коши для уравнения (11),

определяемую условием V = v, v = (vlt v2). Переходя jc случаю, когда оператор К в (9) имеет вид

(10), используя представление вида (14) для и, i>, получаем цепочку обыкновенных дифференциальных уравнений вида

(мы не указываем явно зависимость ие, ve от з) и соответст­ вующую цепочку граничных условий, порождаемых (rli2). Можем предполагать, что s Ф 0 (при s = 0 получим рас­ смотренный выше расщепляющийся случай). После исклю­ чения i>8:

Vg = is~i (е D2ue 4 - Dug — e s*Ug),