книги / Общие вопросы теории граничных задач

ко вторым разностям, взятым от функции а (х)уи стремле­ ние нормы (2) к нулю при h -*■ 0 имеет место лишь при дополнительных предположениях относительно и (х).

Приведенное рассмотрение не противоречит, разу­ меется, тому факту, что, как будет показано ниже, в слу­ чае обыкновенной дифференциальной операции слабое и сильное определения расширений всегда совпадают.

Остановимся на характере дополнительных предполо­ жений, при которых может быть установлен некоторый аналог леммы Фридрихса. Пусть, например, L (D) —

операция порядка т и из того, что w ЕЕ © (Ьул), следует существование элемента р е #* такого, что для любой v е Н верны равенства

слабых производных от w порядка до т — 1 (слабые про­ изводные определяются с учетом граничных условий у).

a (x)J^v (а (х) — гладкая функция) и даже на D* [a {x)Jl^v\

(однородные граничные условия для J^v выполняются тождественно, так что домножение на достаточно гладкую функцию и даже дифференцирование не нарушают их вы­ полнения).

Будем предполагать, что оператор осреднения обладает

(5) мы воспользовались леммой Фридрихса и равенством

flfP = D$Jlu, вытекающим из (3).

Цепочка равенств (5), играющая роль леммы Фридрих­ са, позволяет немедленно установить, что при сделанных предположениях слабое и сильное определения оператора Lv: IH^ И эквивалентны. Действительно, преобразуя все члены левой части (4) таким же образом, как это сде­ лано в (5), придем к равенству

(L Л и + Ле, *) = (Л/, V),

которое, как и в случае постоянных коэффициентов, дает требуемую эквивалентность.

6.3. Некоторые примеры. Л. Хёрмандером был выде­ лен класс операций L (D) с переменными коэффициентами

дает (опять-таки локально) всеми производными до порядка 771 — 1 включительно.

Точно это означает следующее. Пусть и Е Н имеет носитель, сосредоточенный в шаре достаточно малого ра­ диуса (напомним, что носителем функции и (я) называется замыкание множества, на котором и •ф 0; для элемента м Е IH определение нуждается в некоторых очевидных оговорках), и при любой v ЕЕ Сх удовлетворяет равенству

при некоторой / G H . Интегрирование в определении скалярного произведения, ввиду условия на носитель и, можно считать распространенным на все пространство. Утверждается, что тогда существуют принадлежащие IH функции р такие, что

(и, D?v) == (—1)1И (Я, v)

для любой VEE С°° и любого мультииндекса 0 такого, что | Р 1< т — 1.

Используя результаты предыдущего пункта, отсюда немедленно можно заключить, что для операций главного типа всегда справедливо утверждение: если и ЕЕ 1Н и удовлетворяет сделанным выше предположениям (включая

при любом из операторов осреднения / 8. Интегрирование в определении нормы — по всему пространству.

Приведем пример, показывающий, что использование равенств вида (3) не является обязательным при доказа­ тельстве эквивалентности слабых и сильных расширений операций с переменной главной частью. Наши рассмот­ рения будут при этом иметь «глобальный» характер, в отличие от локальной точки зрения, использованной выше.

рассматриваемая операция не принадлежит главному

типу в V и равенства вида (3) для W E S (L0*) не могут быть, вообще говоря, доказаны (см. [С19]).

Если м е Э (L0*1), то существует элемент /ЕЕ IH та­ кой, что равенство

(и, Vj v ) = (/, Jv)

(скобки — скалярное произведение в IH(F)), выполняется для любого элемента р £ Н , если оператор осреднения J обладает тем свойством, что превращает v в, функцию из

с ? (П

Возьмем в качестве J оператор J eJ где /е — «сжи­ мающий» оператор, рассмотренный в п. 1 § 5, действую­

щий по Хц а /т! — такой же оператор (с радиусом осред­ нения ц), действующий по переменной х2. Тогда

(w, i J j хр) = (w, \x%D-i D%D2] J r p ) =

= {D±Jг<?х\ V) —'(DiPbJ8/rpi ^)* (7)

Возьмем последовательность ек = 2“*, к = 1 , 2 , . . . , и обозначим wk = и. Тогда первое из скалярных

произведений правой части равенств (7) может быть запи­ сано в виде (/ч v) (множитель х2 перестановочен с дифференцированием и осреднением по х2). Выберем последовательность % таким образом, что

II j nk (*2щ ) — x j „кщ II = II qk || < 2Г*.

что возможно в силу свойств осреднений. Обозначив через

что и доказывает принадлежность и области определе­

ния L.

Приведенный пример интересен еще и с той точки зре­ ния, что рассмотренная операция L (D) была указана Хёрмандером в качестве операции, для которой «глобаль­ ное» совпадение (в наперед заданной области V) слабого и сильного расширений не может быть установлено при использовании «стандартных» операторов осреднения (см. [С 19]). Употребленный выше прием выбора разлинных радиусов осреднения по разным переменным часто оказы­ вается полезным (см. [СЗ]).

6.4.Эквивалентность слабых и сильных расширений

как следствие однозначной разрешимости задач. Пусть V — нормальная область, L (D) — некоторая дифферен­ циальная опёрация, заданная в V, и у — система гранич­ ных условий, позволяющая сопоставить операции L (D)

операторы Lv, Ь$л: Н -> Н (см. §4). Будем предпола­ гать также, что для L (D) определена транспонированная операция, а для условий у — сопряженная система усло­ вий ty.

Вопрос о совпадении Lv, играет центральную роль в одной из классических схем доказательства того, что

имеет единственное обобщенное решение при любом, эле­ менте / G H . Приведем упомянутую схему.

Пусть для оператора Lv, понимаемого «в сильном смы­ сле» (т. е. как сильное расширение операции L (D) при условиях у), удалось установить так называемое «энерге­ тическое неравенство»:

Из (9) немедленно следуют два утверждения: 1. Сильное решение уравнения (8) единственно.

2. Область значений tR (Lv) С И — замкнутое подпро­ странство Н.

Но согласно введенным определениям (§ 4) подпро­ странство

1Н© SR(Ly)

состоит из слабых решений уравнения Ljvi> = 0.

Если для сильных решений сопряженной задачи спра­

а слабое решение является одновременно сильным, то из неравенств (9), (9-t) и приведенного рассуждения немед­

ленно следует правильность операторов Ьу, L|v: Н—*Н.

Указанная схема находит наиболее широкое примене­ ние в случае, когда L (D) — система линейных дифферен­ циальных операций первого порядка, а и — (ии . . UN). Это связано как раз с тем, что в такой ситуации использо­ вание операторов осреднения наиболее удобно (см. [С181, [С20]).

Н?с сейчас интересует возможность обращения приве­ денных рассуждений в том смысле, что из неравенств (9), (9-t) и теоремы существования и единственности сильного решения соответствующей задачи при любой правой части

из Н автоматически следует совпадение Lv, Ь$л- Действи­ тельно, из разрешимости уравнения LjyP = g при любом

Ь$лц = / разрешимо однозначно, т. е. слабое решение необходимо совпадает с сильным.

6.5.Случай обыкновенной дифференциальной опера

ции. Пусть теперь Ly: I H I H — оператор, порожден­ ный обыкновенной дифференциальной операцией вида (1) § 2 (п = 1) и некоторой однородной системой граничных условий у, для которой определена сопряженная система условий ty. Обычно не представляет труда установить для классических (а следовательно, и для сильных) решений уравнений

hyU = /, LiyV — g

как неравенства (9), (9-£), так и теоремы существования решений. Как следствие рассмотрений предыдущего пунк­ та получим тогда

Наличие равенств (10) не снимает, вообще говоря, во­ проса об эффективном построении последовательности

слабое решение. Регулярных методов построения подоб­ ной последовательности неизвестно.

Приведенное утверждение 2 неприменимо непосред­

ственно к случаю, когда Lv = L (где L — соответствую­ щий максимальный оператор). Но использование специ­ фики случая п = 1 позволяет установить требуемое сов­ падение слабого и сильного определений и в этом случае.

У т в е р ж д е н и е 3. Если L (D) — обыкновенная дифференциальная операция, для которой справедливы классические теоремы представления общего решения одно­

iV(Lc") = !H©SR(L'),

где LQ понимается 'в [сильном (т. е. можно считать — в классическом) смысле, справедливо равенство

N (£“ ) = N (L) = N.

Если теперь и €Е © (LCJI), L^w = /, а ? е И — некото­ рое решение уравнения Lw = /, то L®” (v — и) = 0, т. е'. и = v + v, v e J V , следовательно, в б Э (L). Ц

С л е д с т в и е . В сделанных предположениях L0 = Ь£л.

Действительно, из совпадения L, Ьсл следует, совпаде­ ние сопряженных с ними операторов. Ц

§ 7. Пространства W

7.0. Предварительные замечания. Одним из важней ших вопросов, относящихся к исследованию свойств пра­ вильных операторов или свойств соответствующих «обоб­ щенных решений» некоторой граничной задачи

является вопрос о том, при каких дополнительных пред­ положениях относительно /, S = dV, у и, наконец, отно­ сительно самой операции L (D) можно утверждать, что решение уравнения

Lvw = /,

принадлежащее априори лишь пространству И (У), будет «классическим», т. е. будет обладать производными, вхо­ дящими в уравнение и граничные условия (а может быть, и производными более высокого порядка), и будет удов­ летворять равенствам (1) в «обычном» смысле.

Как мы уже отмечали, этот вопрос, несмотря на всю его важность, лежит в стороне от основной проблематики книги. Но некоторые указания на способы его изучения будут нам полезны. Важнейшую роль в этом изучении играют специальные функциональные пространства — пространства W*, функций, обладающих всеми «обобщен­ ными производными» до порядка к включительно. Кратко­ му описанию этих пространств и некоторых их свойств посвящен данный параграф. Основным первоисточником относящихся к этим пространствам сведений является монография [16J. Общему рассмотрению всего примыкаю­ щего круга вопросов посвящены книги [3], [15].

',г 7.1. Слабые и сильные обобщенные производные. Для нужных нам конструкций удобно использовать' введенные выше общие определения различных расширений произ-

Проинтегрировав итоговое неравенство, следующее из (5), по у в пределах от 0 до Ъг, получим

откуда следует (4) для элементов и ЕЕ С]. Еслй теперь { щ} — последовательность элементов Cj, сходящаяся к и

в норме ТУ1, то из (4) следует, что последовательность яв­ ляется сходящейся и в IH. Отождествление предельных элементов дает требуемое вложение, й неравенство (4)

сохраняет силу для произвольного элемента и ЕЕ ТУ1. Соответственно (5) дает существование исходного инте­

З а м е ч а н и е . Элементы пространств ТУ"1, как и элементы пространства IH, суть некоторые классы экви­ валентности. Утверждение о непрерывности элемента

и е ТУ7" следует понимать в том же смысле, что и утвер­ ждение о непрерывности некоторого элемента IH (см. § 1).

логичные (5), и соответствующие рассуждения с аппро­ ксимирующими последовательностями, получим существо­

вание сужения производной элемента и ЕЕ ТУ2 на любую кривую I d V и принадлежность самого элемента соответ­

ствующему пространству ТУ1 (Z) (концы кривой лежат на

dV\). Если же й ее ТУ1, например, на (0, &), то для соответ­ ствующей аппроксимирующей последовательности можно использовать представление