книги / Общие вопросы теории граничных задач

Покажем, что норма решений ик задачи L — Г при правых частях вида (5) неограниченно растет при к —>■оо. Вид ик при правых частях (5) дается формулой

ик = ик(*) exp (isk-x), || ик ||2 == (2л)п|| ик (t) |||,

где ик (t) вычислено по формуле (11) § 2 гл. IV при X = = Ак, f = 1, т. е.

щ (*) = (р - еЬА* Г (р $ е«~х)АЧ х + ebA*J е«~х)АЫх) .

о t

Производя интегрирование и исключая из рассмотрения случай А* = 0 (что всегда возможно за счет перехода, если нужно, к соответствующей подпоследовательности), по­ лучим

^ г\^> 0, член А*1 и множитель (р — 1) в (6) могут быть отброшены и достаточно показать, что неограниченно растут нормы функций

Если р = 0, то правая часть (7) превращается в

1

(8)

2гк <гк+ як)■'

122 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Теперь нужно заметить, что рост (при г — оо)числителя в (8) не может быть скомпенсирован ростом знаменателя

(за счет наличия в.нем слагаемого 2 гкдк), поскольку г, q — фиксированные полиномы. Но тогда || vk ||? —>■оо при

коо.

Случай р = оо может быть, очевидно, рассмотрен ана­ логично. Если же теперь [г Ф 0, 1, оо, то для достаточно больших к

Из доказанных лемм 1—3 немедленно следует сформу­ лированная ранее теорема. Многочисленные применения доказанной теоремы будут рассмотрены нами в § 3 при изучении различных типов операторов L . Пока что ограни­ чимся некоторыми замечаниями, выясняющими особое положение для уравнения (L) задачи Копта. Как и выше,

^гС-оператором (п. 3.5 гл. I) всякий раз, когда оператор IT 1 ограничен. Очевидна так же связь предложения 2 с наличием для решений задачи Коши «энергетических неравенств» (п. 1.1 гл. III), справедливость которых не зависит от вида «младшей части».

В соответствии с замечанием, приведенным после фор­ мулировки основной теоремы, отметим, что при р, ф 0, 6о множество Pah может быть описано формулой

свойств тех или иных конкретных операций с частными производными (что мы сделаем в § 3), рассмотрим некото­ рые вопросы общего характера. Сохраним обозначения и предположения § 1.

Из основной теоремы § 1 немедленно следует, что вся­ кий раз, когда резольвентное множество оператора Т = = ехр ЪА (А — П-оператор; Т: 1НХ !НХ) непусто, су­ ществуют правильные операторы, порождаемые операцией

всегда непусто; при п^> 1 существуют операторы А такие, что оТ заполняет всю комплексную плоскость С.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При п = 1 утверждение тривиально. Для доказательства второй части утвержде­ ния достаточно заметить, что спектр Т заведомо заполняет всю плоскость С, если этим свойством обладает спектр А. В то же время множество значений функции exp 6 А ($), s £Е , и функции от s и к:

124 ГЛ. У. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

(а, р — иррациональные) множество значений функции

6А (5) + 2клi = 2я £-7^- A ($) + ikJ

(значения $и к — как в формуле (3)) плотно на С> как это следует из доказательства утверждения 4, § 2 гл. IV. Щ Итак, при п > 2 существуют П-операторы А такие, что при любом выборе jx в условиях (2) каждая точка комп­ лексной плоскости принадлежит либо точечному, либо

использованным в § 3 гл. II, нетрудно убедиться, что при любом П-операторе А должны существовать такие гранич­

(6)

о

и аналогичную оценку можно записать, исходя из второго равенства (5). Таким образом, пользуясь первым из ра­

Нетрудно теперь догадаться, что «^-минимальный» оператор L0, определенный в утверждении 2, должен иг­ рать роль минимального оператора из § 3 гл. И. В качест­

ве «^-максимального» оператора мы возьмем оператор L, порождаемый операцией L (D) на функциях, свободных от каких-либо условий по t. Поскольку в рассматриваемой ситуации заведомо имеет место эквивалентность слабого и

сильного определений операторов L0, L, пользуясь конст­ рукциями § 3 гл. И, немедленно получаем

граничных условий по t, определяющих L. Прежде чем переходить к такому описанию, отметим два утверждения, вытекающие из результатов § 1 гл. III и § 1 настоящей главы.

Пусть Ls: И* 1Н*, t £Е (0, 6), — некоторый опера­ тор, порождаемый обыкновенной дифференциальной опе­

ниях всякое правильное сужение оператора L определяется набором {Ls}, s ЕЕ £f, правильных сужений максимальных

операторов L5, порождаемых на (О, Ъ) обыкновенными диф­ ференциальными операциями D t — A (s).

Набор правильных сужений {Ls}, 5 Е ^ , определяет правильное сужение L оператора L тогда и только тогда, когда нормы операторов L711Нt IH* равномерно по S E <^ ограничены.

У т в е р ж д е н и е 6. Утверждение 5 сохраняет силу при замене слов травильное сужение» на слова травильный оператор». Щ

Укажем теперь способ задания граничных условий по t, порождающих правильный оператор L: 1Н ->■ IH при

126 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

произвольном П-операторе А. Для заданного А разобьем У на два подмножества <У+, <§Р“, полагая

условия (7) эквивалентны требованию определения us (t) (при решении уравнения Lu = f) по первой из формул (5)

выполнение неравенств ( Ф 8) § 1, откуда и следует утверж­

использования так называемого псевдодифференциального оператора (нулевого порядка) для описания граничной задачи. Одним из первых примеров условий такого типа были предложенные в [С7] при рассмотрении граничной задачи в полупространстве для ультрагиперболического оператора. Как будет отмечено в гл. VI (при рассмотрении операторных уравнений второго порядка), в случае ультрагиперболического оператора можно обойтись и обычными условиями типа условий (2). В то же время, как это следует из приведенных построений, в некоторых слу­ чаях неизбежно использование «специальных» условий типа (7).

У т в е р ж д е н и е 7. В используемых предположени­ ях для правильного оператора L, определяемого условиями (7), каждая точка %(конечная) комплексной плоскости С

при любом фиксированном конечном К приведет лишь к

справедливости оценок вида (6).

Выполнение условий второй части утверждения приве­ дет к убыванию || us || t, обеспечивающему полную непре­ рывность оператора L-1 (ср. доказательство утверждения 5, § 2 гл. IV). ■

Таким образом, определяемая условиями (7) задача близка в некотором смысле па своим свойствам к задаче Коши (подробно рассмотренной в заключительной части § 1). Соответствующий оператор L является (в терминоло­

Мы продолжаем сохранять обозначения и определения § 1. Различия в свойствах рассматриваемых операторов L проистекают, естественно, из различия свойств входящих в их определение П-операторов А. В п. 2.2 гл. IV были пере­ числены некоторые основные типы операторов А, и настоя­ щий параграф непосредственно примыкает к этому пункту. Однако при переходе к операции L (D) на первый план выступает различие ролей вещественной R (а) и мнимой Q (s) частей полинома A (s) = R + iQ.

Напомним, что мы условились вещественный полином R (s) называть обладающим С-свойством, если существует

TTTIATTAJr

и обладающим В-свойспгвом, если выполнено одно из нера­ венств

Полином R (s) обладает сильным С-свойством (В-свойст- вом), если (С) (одно из соотношений (В)) выполняется при произвольном s €= IR”. Приведенные определения были прокомментированы в п. 2.2 гл. IV.

Называя уравнение (L):

128 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

рассматриваемое вместе с условиями (Г):

венной прямой (или расположение оА в соответствующей полуплоскости) и является необходимым и достаточным условием регулярности либо прямой, либо обратной задачи Коши для (L). Отсутствие при этом у R сильного В-свой- ства говорит о некорректности задачи Коши в некомпакт­ ном случае (т. е. при замене ТпнаКл), соответствующем

Дополнительное наличие С-свойства является необхо­ димым условием устойчивости регулярной задачи относи­ тельно возмущений оператора А. Если R обладает Clсвойством, не обладая В-свойством, можно всегда гаранти­ ровать наличие достаточного запаса регулярных значений р €= рТ, р, Ф 0, оо. Отсутствие при этом сильного Clсвойства говорит о специфичности соответствующей задачи для компактного случая. Наконец, отсутствие у R обоих свойств В, С может привести к ситуации, в которой pL пусто.

Переходя к рассмотрениям, включающим кососиммет­ рическую часть Q оператора А, условимся называть регулярную задачу L — Г устойчивой относительно возму­

возмущения R и возмущения Q).

При выяснении влияния свойств Q на спектр Т осо­ бую роль играют окружности 0 8:

Oso — {z : | г | = exp R (s0), s0 e £?}•

Спектр РоТ принадлежит, очевидно, объединение 0& окружностей Os. Среди Os естественно выделить окружно­ сти неустойчивости 0 SJ обладающие тем свойством, что сумма кратностей точек Pol, лежащих на 0$, бесконечна.

При р ф 0& задача L — Г заведомо регулярна и, более того, устойчива относительно произвольных возмущений Q. При jLi ее рТ, р ее 0 $, где 0 $не является окружностью неустойчивости, задача устойчива относительно достаточно малых возмущений Q. Если же регулярная задача соответ­ ствует значению р е 0 9, то заведомо сколь угодно малым возмущением оператора Q можно получить оператор, для которого р Е: РоТ (модель ситуации: «задача Дирихле для волнового уравнения»; см. ниже).

При наличии у R С-свойства вопрос об устойчивости задачи, для которой р 0#>, сводится к вопросу об устой­ чивости спектра R, рассмотренному нами в п. 2.2 гл. IV. Далее, как и в указанном пункте, весьма существенно

Следует заметить, что различие между частичной зави­ симостью Q и независимостью (п. 2.2 гл. IV) несущественно для дальнейшего и мы будем называть Q независимым в любом из этих случаев. Для характеризации свойств L достаточно различать три типа полиномов Q:

Полезно отметить, что при наличии у R свойства (С) окружности неустойчивости существуют лишь у операто­ ров с независимой кососимметрической частью Q.

Учитывая все вышесказанное, можно было бы расклас­ сифицировать операторы А (и, следовательно, L), сопостав­ ляя каждому А пару символов (X, Y) и считая, что первый символ характеризует свойства R , а второй — свойства Q. Построенная по такому принципу полная таблица содер­ жала бы более 20 типов операторов А. Представляется, однако, более целесообразным ограничиться разбром серии наиболее характерных примеров.

Удобно сосредоточить внимание на сильных С- и 13свойствах. Условимся поэтому писать в паре (X, Y) вместо X символ С (или В), если R обладает сильным С-свойством (сильным В-свойством), символ если для R не выполне­

130 ГЛ. У. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

но ни одно из свойств В, С, и нуль при R = 0. Символы 0,3, Н на месте Y будут означать соответственно операторы Q, тождественно равные нулю, зависимые от R или неза­ висимые.

L 0 ) = Z > , ± ( Z > ; + Z > 5 ) ,

являющейся с классической точки зрения параболической. Оператор А — самосопряженный, со спектром на луче вещественной оси, имеющим единственную предельную

смысле особым, поскольку при п — 1 нет импликации С =г> В. Классический пример, иллюстрирующий возника­ ющую ситуацию, дает

L (D) = D t + iDx

(оператор Коши — Римана). И прямая и обратная задачи Коши нерегулярны. Регулярные задачи устойчивы.

Т и п (С, 3). Простейший пример:

L( D ) = D t ± D * + D * H1._

Вобщем случае, если спектр R расположен на положи­ тельной полуоси, то спектр А — в правой полуплоскости, причем в каждой конечной области С число точек спектра конечно.

Ти п (С, Н). Простейший пример:

L ( D ) = D t ± D l + D 2.

Спектр А снова в некоторой полуплоскости, но может оказаться плотным на некоторых вертикальных прямых. Вее окружности 0 $ являются окружностями неустойчиво­ сти. При этом, если множество точек РсгТ на $$ конечно, то каждая имеет бесконечную кратность; если же кратно­ сти конечны, то точки РсгТ плотны на 0 $. Один случай может переходить в другой при сколь угодно малых воз­ мущениях Q или параметра Ъ.