книги / Общие вопросы теории граничных задач

Теперь, если выполнено {10), из (9) заключаем, что при

\*\<М

Следовательно, при | е | < б = min (r/N, у/2) точка z не может принадлежать Ра (А + еА0).

Если теперь допустить, что z €= Са (А + еА0), то должна существовать последовательность {«*} е? У такая, что

A(s*)-(-eAo(s*) = z + %, |% |- ^ 0 при к -* оо.

Тогда для достаточно больших номеров к должны иметь

|z + % - A ( s * ) |> ^ - > 0 , |z + T j*|< |z| + l

и, повторяя вышеприведенные рассуждения, можем най­ ти б 0 такое, что условие | е | <[ 8 влечет z £ p ( A +

+eAob В

Ут в е р ж д е н и е 9. Если существует последова­

тельность {$*} €= У такая, что

| A (s*)/A o (s*) j= 6 * —»■ 0 , | Ao (Sfc) | —> ос при k-* оо ,

то оператор А неустойчив относительно А0. Действительно, при выполнении приведенных условий

для любого z €= рА можно, очевидно, добиться выполне­ ния равенства

A (s) + еА0 (s) = z

при сколь угодно малых е. В Из утверждения (9) ясно, что наличие, например, для

R (а) С-свойства является в некотором смысле необходи­ мым для того, чтобы соответствующий оператор R обладал хотя бы мияимялмплчпт свойствами устойчивости. Точ­ нее* имеет место следующее утверждение.

(направленных из начала координат в точку $к) с единич­ ной сферой. Тогда, как это немедленно следует из утверж­ дения 9, оператор R неустойчив относительно любого опе­

ратора R0, R0 (s) = 2 CL1si, такого что существует предель­

требования полной непрерывности оператора А-1 для на­ личия разумных свойств устойчивости у П-оператора А.

З а м е ч а н и е . В рассмотрение вопросов, связан­ ных с устойчивостью, естественно включить изучение воз­

тен добавлению множителя ((2л—е)/2л)к в коэффициенты одночленов, входящих в А ($) и содержащих сомножитель (sn)k. Подобные возмущения включаются, таким, образом,

вприведенную выше схему рассмотрений.

Взаключение отметим, что при рассмотрении зависи­ мости спектра А от свойств R ($), Q (s) важнейшую роль играет следующее обстоятельство. Пусть R (s) зависит от

114 ГЛ. IV. МОДЕЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ

Соответствующие операторы А принадлежат классу так

щий операторам прямой и обратной] теплопроводности. Полином A (s) существенно неоднороден и содержит как вещественную, так и мнимую компоненту.

«Хорошие» свойства перечисленных классов П-опера- торов (полная непрерывность оператора А-1, устойчивость спектра) тесно связаны с «разумностью» для этих классов

неустойчив). Для операций, соответствующих полиномам (12), «хорошими» будут операторы, задаваемые условиями периодичности по переменным s2, . . ., sn и условиями ка­ чественно иного характера (условиями Коши, .«нерегу­ лярными» с точки зрения § 3 гл. Ill) по выделенной пере­ менной, соответствующей slf играющей роль «времени». Исследованием соответствующих конструкций мы зай­ мемся в следующей главе.

Одновременно отметим, что для получения правиль­ ного оператора, порождаемого, напрт&р, операцией

Jj(ak + ic*)Dk 1

с вещественными ак, ск, л > 5 приходится, вообще го­ воря, привлекать граничные условия весьма необычного характера. Мы их рассмотрим в § 2 гл. V.

Г Л А В А V

ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§ 0. Вводные замечания

Данная глава является в определенном смысле цент­ ральной во всем нашем изложении. В ней на простейшем объекте — операторном уравнении первого порядка, по­ рождаемом. некоторым специальным классом граничных задач для уравнений с частными производными, исходя из приведенных выше конструкций и результатов, рассматривается весь круг интересующих нас вопросов. При переходе к более сложным объектам изучение соот­ ветствующих вопросов оказывается связанным с целым рядом трудностей технического характера, тогда как построения этой главы предельно прозрачны и элемен­ тарны.

Пусть t Е: (0, Ъ) = Vi9 Ht = Ht (Vt) — соответствую­ щее гильбертово пространство и D t: IH* — какойлибо из операторов, порождаемых операцией Dt. Тогда под операторным (или дифференциально-операторным) уравнением 1-го порядка понимается обычно уравнение вида

А0, Ах: 33-+33, где 33 — некоторое 5-пространство и А* — коммутирующие с D t операторы с плотной в 33 областью определения. При этом оператор L рассматривается как действующий в пространстве Н = IH^

Поскольку для нас основным объектом изучения явля­ ется граничная задача, роль 33 будет в большинстве слу­ чаев играть пространство !НХ = Иж(F), где V — огра­ ниченная область пространства переменных х ЕЕ 1RW. Опе­ раторы А* будут соответственно операторами, порождае­ мыми операциями А*. (—Ш) над F. Более того, основные рассмотрения данной главы будут относиться к случаю, когда А* — П-оператор (гл. IV), а оператор А0 = 1.

116 гл. У. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Возможность перенесения соответствующих результатов на случай, когда А0, Аг — произвольные М-операторы (п. 3.5 гл. I), спектры которых подчинены соответствую­ щим требованиям, достаточно очевидна и специально не оговаривается. Рассмотрению операторных уравнений при значительно более слабых предположениях относи­ тельно операторов (формулируемых в терминах свойств резольвенты) посвящена гл. VIII.

При указанной выше специализации операторов Dt и А* оператор L в (1) оказывается порожденным некоторой дифференциальной операцией L (D) над Vt X V. На про­ тяжении главы приводятся многочисленные примеры со­ ответствующих дифференциальных операций параллельно с исследованием их свойств. Эти примеры являются «мо­ дельными» в том смысле, что соответствуют изучению классических операций математической физики при мак­ симально упрощающих это изучение предположениях. Но используемый подход позволяет одновременно охва­ тить широкий класс «неклассических» операций и выяс­ нить ряд специфических характеристик различных гра­ ничных задач.

Первые три параграфа посвящены подробному изуче­ нию простейшего операторного уравнения первого по­ рядка, а остальные — различным вопросам специального характера.

§ 1. Оператор D t —А; спектр

Как отмечено во введении, простейшим операторным уравнением первого порядка является уравнение вида

Всоответствии с определениями входящих в уравнение

(L)операторов элемент M GIH мы будем называть реше­ нием задачи L — Г, если существует последовательность гладких функций щ (х, £), сходящаяся в НТк и, такая, что щ 2я-периодичны по переменным*"#*, удовлетворяют

В сделанных предположениях исследование определяе­ мого задачей L — Г оператора L сводится по существу к исследованию оператора, задаваемого формулой (11) § 2 гл. III, в которой числовой параметр^ заменен на опера­ тор А. Но нужные нам’утверждения уже не могут быть по­ лучены автоматически из рассмотрений, типа приведенных в п. 2.1 гл. IV. Хотя получаемый результат выражается утверждением о том, что свойства L исчерпывающим образом характеризуются свойствами оператора А (или ехр ЪА), соответствующее доказательство требует ряда вспомогательных построений.

Если ввести обозначение

Т (X) = ехр Ь (А + X)

(оператор Т (X): понимается в смысле определе­ ний § 2 гл. IV), то справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а . Точка X комплексной плоскости принадле­ жит одному из множеств pL, P ah, Сah тогда и только тогда, когда число р в условиях (Г) принадлежит соответ­ ственно рТ (^), РоТ (X), СаТ (X).

З а м е ч а н и е . При 0, оо оператор, порождае­ мый D t, является регулярным и спектр L может быть полу­ чен на основе теоремы о спектре суммы коммутирующих операторов (см. [6]). Но для нас очень важно включение в общую картину классической задачи Коши («обратной» при р = 0 и «прямой» при р = оо), соответствующей «нерегулярному» случаю.

Из утверждения теоремы следует, что L, как и А, не имеет остаточного спектра.

Исследование задачи L — Г, т. е. доказательство при­ веденной теоремы, основано на рассмотрениях, близких к использованным в § 2 гл. IV, при изучении П-операто^ ров А. Если спектр П-оператора А определялся свойствами

(мы сохраняем обозначения гл. IV), где и8 = и8 (£), f8 (t) —

118 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

зависящие от t коэффициенты разложении

Решения уравнений (1) должны быть, естественно, подчи­ нены условиям

тогда и только тогда, когда все уравнения цепочки (1) при условиях (Г$) однозначно разрешимы и существует незави­ сящая от $ постоянная с ]> 0 такая, что

Пусть'все уравнения (1) однозначно разрешимы при любых

Действительно, в этом случае коэффициенты и$в представ­ лении (2) заведомо могут быть найдены как решения урав­ нений (1) при условиях (Г5), и остается заметить, что

Ци||*=(?яг S ll» x s&f

Поскольку оператор L определен как замыкание в IH операции L .(/)), заданной на гладких функциях, подчи­ ненных соответствующим условиям, из сказанного следует, что (Ф) остается справедливым для любого элемента и ЕЕ ЕЕ © (L). Из (Ф) следует существование ограниченного оператора L"1. Кроме того, £ (Lr1) == Ш, т. е. задача . L — Г однозначно разрешима при произвольном / е И. Действительно, © (L”1) содержит заведомо все конечные ' суммы вида (2), т. е. оператор L”1 задан на плотном множе-^ стве, а, следовательно, в силу ограниченности на всем пространстве IH.

Н е о б х о д и м о с т ь . Нарушение однозначной раз­ решимости какого-либо из уравнений (1) означает сущест­ вование нетривиального решения us (t) однородного урав­ нения, но тогда соответствующая функция us (t) еи\х является нетривиальным решением однородной задачи L - Г.

Если же все уравнения (1) при условиях (Г5) однозначно разрешимы, но существует последовательность {/^} такая,

что

£ = 1 , 2 , .

то оператор L-1 существует, задан на плотном множестве (на конечных суммах вида (2)), но является неограничен­ ным (достаточно рассмотреть для уравнения (L) последо­

теоремы. Оно будет проведено в несколько этапов. Прежде всего заметим, что, поскольку Dt — А — X =

= Dt — (А + » , где А + X — снова П-оператор, доста­ точно провести доказательство указанного в теореме соот­

Из (3) немедленно следует однозначная разрешимость всех уравнений (1). Остается проверить равномерное выполне­ ние неравенств (Ф5).

Воспользуемся представлением решений уравнений (1) формулой {11) § 2 гл. III, не указывая явно зависимости А от $. Пусть А = г + iqy где г, q вещественны. Будем иметь

120 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

При г (s) = г = 0 (как и при любом фиксированном значении г) выполнение неравенства (Ф5) с некоторой постоянной с0 очевидно. Полагая г Ф 0, получим

Ft (г) и e2brF2 (г) ограничены постоянными и выполнение неравенств.(Ф4) с некоторой постоянной, не зависящей от- s, следует из (3). Если же М <; г •< + оо, то, заметив, что в этом случае

| [1_ еЬА|2> ( | ^ | _ еЫ)2>

видим, что величины e~zbl'F1 (г) и Р2 (г) снова равномерно, ограничены, т. е. снова неравенства (Ф8) выполняются с некоторой постоянной с1? не зависящей от s. Ц

Здесь А* = A (sk). Возьмем последовательность правых