книги / Общие вопросы теории граничных задач
..pdf§ 3. ОПЕРАТОР Dt -А;КЛАССИФИКАЦИЯ |
Ш |
Т и п (В, 0). Пример:
L ( D ) = D t + M - D J * .
Оператор А — самосопряженный; спектр А — на полуоси. Основное отличие от типа (С, 0) заключается в наличии предельных точек спектра на конечных интервалах веще ственной оси и в поведении относительно возмущений оператора В.
Т и п (В, 3). Пример:
L (D) = Dt + (Z>x - D,Y + D*™.
Отличие от типа (С, 3) — опять-таки в наличии предельных точек в конечных областях С (имеются окружности не устойчивости).
Т и п (В, Н). Пример:
L ( D ) = D t |
+ П ?. |
Все окружности 0 3 — окружности неустойчивости; основ ное отличие от типа (С, Н) — в поведении относительно возмущений оператора R.
Т и п (~ , 0). Пример:
L(D)==Dt + D \ - D \ .
Оператор А — самосопряженный, но спектр его не являет ся полуограниченным. Сколь угодно малые возмущения R (или параметра Ъ) могут вызвать переход от чисто точечного спектра А (содержащего точки бесконечной кратности) к спектру, заполняющему всю вещественную ось.
Т и п (~ , 3). Оператор А получается в этом случае добавлением к «плохому» R зависимого кососимметриче ского оператора. Спектр А разбросан по всей комплексной плоскости, но всей плоскости С заведомо не заполняет.
Т и п (~ , Н). Этому типу принадлежит приведенный в § 2 пример оператора А такого, что спектр L уже при
п= 2 заполняет всю плоскость С.
Ти п (0,-Н). Простейший пример:
L ( / ) ) = £ , + D X.
Спектр А расположен на мнимой оси; приведенный пример соответствует простейшему гиперболическому оператору. Единственная окружность 0 3(единичная) является окруж ностью неустойчивости. И прямая и обратная задачи Коши
5*
132 ГЛ. V, ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
регулярны. Ситуация неустойчива относительно возмуще ния А = iQ симметричным оператором R.
Интересно отметить, что тому же типу принадлежит оператор Шрёдингера, порождаемый операцией
L (D) = D t ±iD%
(можно заменить D%на оператор Лапласа Д). Родство опе ратора Шрёдингера с простейшим гиперболическим опера тором является одним из классических (но не тривиаль ных) фактов теоретической физики.
Этими примерами мы пока и ограничимся. Отметим в заключение следующий факт.
У т в е р ж д е н и е . Операция L (D) рассматривае мого типа гипоэллиптична (см. [19]) тогда и только тогда, когда оператор А имеет тип (С, 0).
§ 4. Операторы, неразрешенные относительно JDt
Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о том, какие специфические черты отличают общее операторное урав нение
Lu = k ( P tu -1- Atu «= / |
(1) |
от уравнения, рассматривавшегося в §§ 1—3, т. е. от урав нения, в котором А0 = 1. Возникающие явления соответ ствуют, в определенном смысле, явлениям, присущим в классической теории задачам «с граничными условиями на характеристике».
В отличие от рассмотрений предыдущих параграфов, мы обратимся к рассмотрению (в рамках нашей схемы) одного из классических уравнений в частных производных, связанного с операцией
L(D) = DxDt.
Применение нашей схемы означает, что мы хотим рас сматривать в прямоугольнике V <= (0 < х <С 2я) х (0 *< < . t < . b ) уравнение
Lau_== DxDtu — Xu <= / |
(2) |
|
при условиях периодичности по ж и условиях |
|
|
lt=o — и Ь=ь •= 0 |
(Г) |
|
по t.. Предполагая, что / е И |
(V), определим |
решение |
задачи (2) — (Г) как элемент |
u 6Е Н, удовлетворяющий |
|
§ 4. ОПЕРАТОРЫ, НЕРАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО D t |
133 |
||
уравнению |
(2), в котором оператор |
L*: Ш-*■ IH пони |
|
мается как |
замыкание в И операции |
Lx (D), заданной |
|
первоначально на функциях, обладающих непрерывной производной DxD t и удовлетворяющих указанным выше граничным условиям в классическом смысле.
Бели теперь и (t, х) — достаточно гладкая функция, удовлетворяющая уравнению (2) и граничным условиям в классическом смысле, то, используя наше стандартное представление
и(t, х) *= 2 иа (t)
ианалогичное представление для / (t, х), получим для ие цепочку равенств
isDtua — Kus «= /„ |
(3) |
в которых каждая из us удовлетворяет дополнительно условиям (Г). Рассмотрим вопрос о построении решения исходной задачи, исходя из цепочки уравнений (3).
Пусть сперва р Ф 0, оо. Тогда при %Ф 0, s Ф О функции us (t) определяются при условии
р - е |
**=^0 |
(4) |
по формуле (И) § 2 гл. III. Выполнение условия (4) влечет |
||
автоматически равномерное |
по s е= SP выполнение нера |
|
венств (Ф„) из § 1 (следствие одномерности оператора А0). Если же Я Ф 0 таково, что при некотором s 6 < ^ условие
... |
Y |
X , . |
|
— |
t+isx |
||
(4) нарушается, |
то соответствующая функция |
е18 |
— |
собственная. |
0 значение и0 определяется равенством |
||
При X Ф 0, s |
|||
|
«о (<) = — А’"1 /о (0. |
|
(5) |
но при этом щ (t) не будет, вообще говоря, удовлетворять условиям (Г) (если не подчинить специально этим условиям функцию /о (t)).
Наконец, при X — 0, s *= 0 функция и0 (t) остается произвольной, а соответствующее уравнение в (3) разреши мо лишь при дополнительном условии /о (t) = 0.
При р*=0, Х ф О , s ф 0 все уравнения (3) заведомо однозначно разрешимы, а случай ^ 0 , « в 0 снова при водит к уравнению (5). Существенное отличие условия I* е=0 от «регулярных» условий (Г) проявляется теперь в
134 ГЛ V. ОЙЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
том, что точка Я «= 0 принадлежит PcrL, а соответствую щее пространство собственных функций бесконечномерно и состоит из всех функций вида и (t) (точнее — вида и (t) 0
0 1; см. § 1 гл. |
IV). |
|
|
Случай р. е= оо рассматривается аналогично. |
|||
Проведенные рассмотрения позволяют дать исчерпыва |
|||
ющее описание |
спектра |
оператора L: |
И —> IH, порож |
даемого операцией L (D) |
и условиями |
(f). |
|
Т е о р е м а . |
При р Ф 0, оо спектр определенного |
||
выше оператора L: И |
Н является чисто точечным, а |
||
множество собственных значений описывается равенством
K , k = x I ln IH + i arg И-+ 2ЬП]; «д = 0 ,± 1 , ••• (6)
При |х «= 0, оо единственной точкой спектра оператора L является точка О (В PoL; соответствующее пространство собственных функций состоит из всех функций вида
и(t) <g) 1.
До к а з а т е л ь с т в о . К приведенным выше рас суждениям остается добавить, что при фиксированных регулярных (не принадлежащих описанному спектру) значениях Я приведенное в § 1 доказательство существо вания и единственности обобщенного решения при равно мерном по s ЕЕ & выполнении неравенств (Ф*) § 1 очевид ным образом применимо и в рассматриваемой ситуации. Действительно, определение и0 (£) из равенства (5) при построении гладкой аппроксимирующей последователь ности функций, удовлетворяющих условиям (Г), ничему не мешает, поскольку в аппроксимирующей (в IH(V)) после
довательности для правых частей всегда можно считать функции f0ti (;t) (или даже f %(£, я)) удовлетворяющими условиям (Г). Щ
За м е ч а н и е . Как и в соответствующем замечании
косновной теореме § 1, отметим, что формула (6), соответ ствующая случаю \л Ф 0, оо, является иллюстрацией клас сического утверждения: «спектр произведения коммутиру ющих операторов есть прямое произведение их спектров».
Сделанное замечание показывает, с другой стороны, что. выбранный нами подход (способ определения решения уравнения (2)) является «естественным» с точки зрения
включения рассматриваемой задачи в теорию операторов в Н.
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ |
135 |
Ясно, что и установленные свойства задачи Коши свя заны со спектральными характеристиками операторов Dx, Dt при соответствующих граничных условиях, но приме нимой к этому случаю абстрактной теоремы неизвестно.
Теперь, чтобы несколько приблизить наши рассмотре ния, связанные с уравнением (2), к изучению общего объек та (1), добавим в (2) «младшие члены», т. е. рассмотрим вместо (2) уравнение
Lj,и = (DxDt + axDt + azDx — Я) и — /, |
(7) |
где аъ а2 — некоторые постоянные. Тогда уравнения |
(3) |
заменятся уравнениями |
|
(is + аг) Dtus -j- (a^is — X) us = /*. |
(8) |
К уравнениям (7), (8) можно снова применить приведен ную выше схему рассуждений. При этом бросается в глаза очень сильное влияние членов, которые мы охарактеризо вали как «младшие», на характер разрешимости задачи
(7) — (Г); в частности — на характер разрешимости задачи Коши, что связано с наличием теперь и при условиях Коши (в задаче (2) — (Г)) точечного спектра.
Отмеченное явление сильного влияния «младшей части» хорошо известно в классической теории так называемых «характеристических» (см. замечание в начале настоящего параграфа) задач.
С соответствующими усложнениями приведенная схема переносится, очевидно, и на общее операторное уравне ние (1).
§ 5. Дифференциальные свойства решений операторного уравнения и примыкающие вопросы
Вернемся снова к рассмотрению простейшего уравнения
Lи = (Dt — А) и = |
/ |
(L) |
при условиях |
О, |
(Г) |
\ш |*= 0 и \t==b = |
сохраняя все предположения § 1, и выясним прежде всего дифференциальные свойства решений регулярных (§ 3) задач L — Г.
Под изучением дифференциальных свойств понимаются рассмотрения, аналогичные проведенным при доказатель
136 гл. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
стве утверждения 6, § 2 гл. IV. К вопросу о дифференци альных свойствах непосредственно примыкает вопрос о полной непрерывности оператора L-1, а наличие для L-1 свойства полной непрерывности позволяет включить в рассмотрения операции L (D) + М (D), получающиеся за счет возмущения L (D) «младпшми членами», содержащими зависящие от t, х коэффициенты.
Итак, пусть и (х , t) — решение регулярной задачи L — Г. Тогда из оценок,* использованных при доказатель стве леммы 2, § 1, немедленно следует, что для коэффициен
тов и8 (t) |
нашего стандартного представления (2) |
§ 1 |
|
функции |
и (t, х) справедливы |
неравенства |
|
IIи*(О О ^ т т щ И М О В*» |
г (* )^ 0 , |
(1) |
|
где постоянная с уже не зависит от s. Для значений s, для которых г (s) = 0, неравенство (1) должно быть просто заменено неравенством!
II М О II * < « « / . ( * ) II*.
где с опять-таки не зависит от s.
Оценка (1) является, очевидно, точной, т. е. в ней нельзя заменить г (s) на какой либо полином гг (s) такой,
что |
|
|
|
| г | / |
| * 1 | |
0 |
при | s | —>■оо. |
Из сказанного |
немедленно следует утверждение. |
||
У т в е р ж д е н и е |
1. |
Решение и регулярной задачи |
|
L — Г обладает обобщенной производной Dtu €= И и при любом t [О, Ы принадлежит области определения опера
тора А: 1НХ->• Нх |
тогда |
и только тогда, когда сущест |
||||
вует постоянная М < |
оо |
такая, |
что |
|
||
| A (s) | / | г ($) | ^ |
М равномерно по s €= |
(2) |
||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно воспользоваться |
|||||
равенством Dtu3 = |
/, |
+ A (s) и$, |
оценкой (1) и заметить, |
|||
что Аи GE И тогда |
и |
только |
тогда, когда Dpi GH . |
Ц |
||
У т в е р ж д е н и е |
2. |
При |
выполнении условия (2) |
|||
соответствующий |
оператор |
ГГ1: |
И IH (задача L — Г |
|||
регулярна) вполне непрерывен тогда и только тогда, когда lim |- А ($) | = оо,
jsj-roo
§ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ |
137 |
||
Доказательство утверждения 2, использующее (1) и (2), |
|||
повторяет доказательство соответствующего |
утвержде |
||
ния 5, гл. IV. |
Щ |
порождае |
|
П р и м е р . |
Для оператора. L: Н ->■ Н, |
||
мого, в наших предположениях, регулярной задачей для операции
|
L (D) = |
D t |
-+• i (Pi |
+ П2), |
решение |
уравнения |
(L) |
будет |
обладать производной |
Dtu е й, |
но оператор |
IT1 не будет ВН-оператором. |
||
Наличие для оператора L-1 свойства полной непрерыв ности позволяет рассмотреть возмущения оператора L, качественно отличные от рассмотренных выше возмуще
ний А теми или иными П-операторами. |
гл. II) |
Пусть М (D) имеет вид (обозначения |
|
М(D) и = 2 аа ((>х) Dau, |
(3) |
1«1<р |
|
где аа непрерывны по t и обладают по ж* гладкостью*
достаточной для определения операции |
М* (D). |
Пусть |
L: И -> Н — некоторый фиксированный |
оператор |
вида |
(L), удовлетворяющий условиям утверждения (2). |
Пусть |
|
W1’Р+1 — гильбертово пространство функций, обладающих в рассматриваемой области Vt х V (§1) обобщенной производной Dt и всеми производными (обобщенными) по Хк (§ 7 гл. II) до порядка р -f-1. Если из] u €Е £> (L) следует, что и (ЕЕ W*> P+1 (что определяется справедли востью (2) и свойствами A (s), даваемыми утверждением 6, § 2 гл. IV), то, во-первых, на и Е Э (L) определен естест венным образом оператор М: 1Н— В-1, порождаемый операцией (3) (поскольку существуют входящие в определе ние (3) обобщенные производные, принадлежащие Й), и, во-вторых, ВН-оператором будет не только оператор L-1 :
Н -> Н, |
но и оператор L_1M/ как |
это немедленно сле |
|
дует из |
утверждений |
§ 7 гл. II. |
уравнение |
Рассмотрим теперь |
операторное |
||
|
(L -f М) и «= /, |
(4) |
|
где операторы L, М понимаются в указанном выше смыс ле. Полезно при этом отметить, что в силу использован ных соглашений оператор левой части (4) может быть не посредственно определен обычным образом, т. е. как за?
138 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
мыкание в Н операции L (D) -j- М (D), рассматриваемой первоначально на гладких функциях, 2л-периодических по хк и подчиненных условиям (Г) по t.
Уравнение (4) эквивалентно, в сделанных преположе ниях, уравнению
(1 4- L-1M) и = 1т1/ = |
g. |
(5) |
Можем, не уменьшая общности, |
считать, что |
1 €Е |
€Е р (L_1M). Действительно, в противном случае мы за менили бы М на хМ, где х — некоторое число, сколь угод но близко к 1 (оператор L-1M является ВН-оператором, и 1 может быть лишь изолированным собственным значе нием). Если 1 G p (L_1M), то уравнение (5) и, следова тельно, уравнение (4) разрешимы при любых g, / 6= И,
т.е. существует ограниченный оператор (L + М)-1.
Ут в е р ж д е н и е 3. В сделанных предположениях оператор (L + М)-1 вполне непрерывен.
Действительно, L + |
М = L (1 |
L-1M) и (L |
-j- М)-1 = |
|||||||
= (1 + |
L-1M)-1L_\ |
где (1 + |
L-1M)-1 — ограниченный, |
|||||||
a L-1 — вполне непрерывный операторы. Ц |
|
|
||||||||
Воспользовавшись теперь теоремой п. 2.3 гл. I о связи |
||||||||||
спектров |
данного и обратного |
операторов и характери |
||||||||
стиками |
|
спектральных |
свойств ВН-операторов (пп. 3.1, |
|||||||
3.2 гл.1), |
можем |
высказать |
соответствующие |
утвер |
||||||
ждения о спектре оператора L + М. Более того, связав |
||||||||||
с оператором L -f М сопряженный |
оператор |
(L + М)*, |
||||||||
можем установить для |
этой пары аналоги теорем Фред |
|||||||||
гольма. |
Достаточно |
перейти |
к операторам (L -j- М)-1, |
|||||||
(L + М)-1*, воспользоваться |
равенством (L -j- М)-1* = |
|||||||||
= (L |
+ |
М)*-1 (п. |
1.3 гл. I) и. связью между спектрами |
|||||||
данного и обратного операторов. |
|
|
|
|||||||
Наибольший интерес, однако, представляет возмож |
||||||||||
ность |
заменить (L |
+ М)* на L' |
4- М\ где последний опе |
|||||||
ратор |
определен, |
исходя из операции L' (D) + М* (D), |
||||||||
таким же образом, как |
был определен оператор L |
+ М, |
||||||||
с заменой (Г) на условия |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
v |
|<=0 — (хы |/=ь = |
0. |
|
(Г,) |
||
У т в е р ж д е н и е |
4. В сделанных предположениях, |
|||||||||
теоремы |
Фредгольма справедливы для пары |
операторов |
||||||||
L + М, |
L1 + Мг. |
|
|
|
|
|
|
|
||
.§ е. НЕКОТОРЫЕ ОПЕРАТОРЫ |
139 |
Доказательство сводится, очевидно, к проверке ра венства
(Ь + М )*= Ь г+ М г. |
(6) |
Но равенство L* «= L/ немедленно следует из получен ных нами ранее результатов (постоянство коэффициентов, условия периодичности). Следовательно, регулярность значения р автоматически влечёт регулярность условий (Г4). Кроме того, оператор (1/)_1М': Н -*■ И вполне непрерывен, и уравнение (L* + М() v «= h (при дополни тельном предположении 1 ф а l(Lt)-1M<]) однозначно разрепшмо при любом feG H . Это обеспечивает (п. 6.4 гл. И) справедливость равенства (6). 0
6 рамках проведенных построений можно рассмотреть
ислучай l e e (L-1M). В этом случае, в силу полной не прерывности оператора L-1M, должна иметь место принад лежность единицы точечному спектру. При этом ядро соответствующего оператора конечномерно и условия разрешимости уравнения (5) запишутся обычным обра зом, через ортогональность правой части элементам ядра сопряженного оператора.
Все сказанное выше резюмируется обычно словами: «Уравнение (4) нормально разрешимо». Дополнительное предположение 1 ф а (L-1M), как правило, не рассмат ривается.
§6. Некоторые операторы с переменными коэффициентами в главной части
В'этом параграфе мы остановимся на некоторых приме рах операторов простейшего типа:
L == Dt — А,
у которых в определение А (в «главную часть») входят функции, зависящие от х или t.
В качестве первого примера рассмотрим оператор, по рождаемый операцией
L (D) и = Dt и — А (х) и, |
(1) |
1де А (х) — некоторая непрерывная при г G [0, |
2л] |
функция. |
|
140 ГЛ. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
По-прежнему считаем, что t €= [0, 6]. Нас будет инте ресовать оператор L: IH-> И, IH «= Ht ® 1НЯ, определя емый как замыкание в Н операции (1), рассматриваемой первоначально на гладких функциях, подчиненных ус ловию
[ш |{=0 — и |t=b = 0. (Г)
Как и ранее, при изучении спектра L достаточно ограничиться случаем X = 0 (случай произвольного X сво дится к нему заменой А на А + X). Операция умножения на функцию порождает в 1НЯ оператор с непрерывным спектром, и естественно ожидать, что спектр L полу чается «размазыванием» точечного спектра оператора Dt (порождаемого условиями (Г), р Ф 0, оо), поскольку в (1) мы имеем дело с разностью коммутирующих опера торов.
Действительно, справедливо |
утверждение. |
|
У т в е р ж д е н и е 1. При |
выполнении условия |
|
р — ехр [ЬА (ж)] Ф 0, |
ж е [0,2я], |
(2) |
уравнение |
|
(3) |
hu — f |
|
однозначно разрешимо при любом / €= Н. Если же в неко тором конечном числе точек х-} е [0,2л], / = 1, . . ., N , условие (2) нарушается, то нуль принадлежит C aL.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Первая часть утверждения следует из того, что при выполнении условия (2) решение уравнения (3) дается формулой (11) § 2 гл. III с заменой в ней Я на А (ж).
Для доказательства второй части утверждения доста точно заметить, что та же формула дает решение уравне
ния (3) и при |
нарушении |
условия |
(2) в точках ж.;, если |
правая часть / подчинена дополнительно условию |
|||
/ (t, ж) = 0 |
при |ж — ж * | < е , |
/ = 1, . . ., N, (4) |
|
|
t е |
[о, Ь]. |
|
Совокупность / е= IH, подчиненных условию (4) (при все возможных е 0), плотна1 в F. Оператор L"1, заданный наТэтомтплотном^множестве, будет, очевидно, неограниченным*(его норма будет неограниченно расти при стрем лении 8 в условии (4) к нулю). Ц