книги / Общие вопросы теории граничных задач

В соответствии с обычным определением голоморфности для функции со значениями в Б-пространстве, функцию Ф (z), z G с , со значениями в О-пространстве 31, назовем голоморфной в открытом множестве Q c C , если она голо­ морфна в Q как функция со значениями в Б-пространстве 31* для некоторого фиксированного к .

Утверждение 1 позволяет установить стандартное свой­

^-спектральным для А при некотором фиксированном зна­ чении q. Пусть G— открытое множество в С и oq С Gg С cz G, где aq — замыкание <та, a Gg - множество внутрен­ них точек G, расстояние которых до границы Gбольше

многообразие комплексных функций, голоморфных во внут­ ренних точках G, непрерывных в G и таких, что для ф ЕЕ 5*

Если определить теперь для ф Е ^ норму равенством

i< p,5ki= sup i2 s<p(z)i> zeG

ся алгеброй, обладающей дополнительно структурой О- пространства. Мы будем называть ее A -допустимой ал­ геброй % = % (G).

Каждый элемент <p (z) ЕЕ допускает некоторое кано­ ническое представление контурным интегралом. Опишем его. Пусть у — кривая (вообще говоря, неограниченная),

VrUYr

При (p e S fiH р 2^ & + 2 в правой части (4) можно перейти к пределу при г ->■ оо, получив

в силу быстрого убывания подынтегральной функции. Согласно утверждению 2, резольвента R*, (А) является

голоморфной функцией X со значениями в % для

в должным образом определенной области G d С. При этом отмеченная голоморфность R*, означает голоморф­ ность в некотором ^-пространстве и мы можем опериро­ вать с Rx соответствующим образом, рассмотрев, в част­ ности, интегралы, содержащие R>,, вдоль кривых,

где интеграл понимается в том же смысле, что и интеграл в (5), и заведомо существует для достаточно больших р, определяет некоторый элемент 5L

Т е о р е м а * В сделанных предположениях формула (6) определяет линейный ограниченный гомоморфизм kA:

hA:%-+%; <p (s)-><p(A)

A -допустимой алгебры % комплексных функций в алгебру %; при этом

hA (z)= A; hA (1) = 1.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Линейность и ограничен­ ность гомоморфизма, определяемого формулой (6), доста­ точно очевидны. Проверим, что <р (А) в (6) не зависит от р для значений р достаточно больших.

В обозначениях, использованных в формуле (4), при некотором г 0 можем записать цепочку равенств

= - A > $

На последнем шаге мы воспользовались тем, что пер­ вый из интегралов в круглых скобках равен нулю в силу голоморфности ф( £) £~р“1 в соответствующей области. Переходя теперь к пределу при г —► оо и замечая, что интеграл по у? обращается при этом в нуль, получим окончательно

hA<д>!Фа) = йА(Фх)^л(фа)

проводится стандартным способом, использующим пред­ ставление фх, ф2 интегралами вида (6) по соответствующим кривымух>Тг и тождество Гильберта (см. [5), стр. 609). Ц З а м е ч а н и е 5. При исследовании сходимости входящих в рассмотрения контурных интегралов бывает иногда полезно использовать инверсию: £ —►1 / £, считая (это всегда допустимо), что у не проходит через нуль.

Тогда образ у — ограниченная кривая.

З а м е ч а н и е 6 . Достаточно очевидна возможность распространения приведенных рассмотрений на совокуп­ ность Ах,..., Ада коммутирующих операторов (см. [С 16]). Более сложную задачу определения операторной функ­ ции вида ф (t, А), где t — дополнительный параметр, мы рассмотрим в следующем параграфе при анализе конкретного примера.

§ 2. Некоторые примеры

Рассмотрим возможности применения построенного исчисления к интересующим нас операторным уравнениям. Как обычно, сосредоточим внимание на простейших примерах, выясняющих принципиальную сторону во­ проса.

Для уравнения

Рассматривая как параметр и желая придать формуле (2 ) смысл в рамках операционного исчисления, содержа­ щего функции от оператора А, мы должны, прежде всего, рассмотреть функцию <p (z) = еР2, где rj е [0, Ь]. Но для такой <р оценка вида (3) § 1 выполняется (при любом к)

лишь в полуплоскости Re z ^ М , где М — любое число. Следовательно, если мы хотим, чтобы <р принадлежала

образом, как для функций числового параметра со зна­ чениями в некотором 5 -пространстве. Если оператор А (или, точнее, его резольвента) обладает тем свойством,

(2 ), будет принадлежать ЗИы- Решение уравнения (1), построенное за счет исполь­

зования операционного исчисления, назовем О-решением,. Поскольку проведенные построения обеспечивают на­

построенное решение в соответствующем смысле единст­ венно.

З а м е ч а н и е . Если при сделанных предположе­ ниях пространство 330 есть наше стандартное простран­ ство Нс, а достаточно гладкой правой части / соответ­ ствует классическое (достаточно гладкое) решение урав­ нения (1 ), то построенное О-решение будет сильным ре­ шением в смысле определений гл. II. Действительно, построение гладких аппроксимаций {/*} правой части всегда возможно, а тогда при сделанных предположениях, согласно (3), сходящейся последовательности f будет соответствовать сходящаяся последовательность гладких решений щ —> и.

Если обратиться теперь к конкретным дифференциаль­ ным операторам, пригодным для подстановки в формулы

(2) в качестве оператора А, потребовав дополнительно, чтобы эти операторы не были М-операторами, т. е. чтобы

186 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

выход за рамки построений гл. V, VI был действительно необходим, сразу становится ясной чрезвычайная жест­ кость наложенных на А ограничений. Так, если х 10,Ь],

то в качестве оператора А оператор a Dx, рассматрива­ емый в !НХ при условиях Коши: и \х=0 = и'х |х==0 = О, не годится ни при каком а Ф 0 (вещественном или ком­ плексном). Оператор a Dx, задаваемый условием и |х==0 =0, годится лишь при вещественном а 0. Правда, при вы­ полнении последнего условия можно зато взять вместо aDx любой оператор вида

А = aDx -f- В,

где В — М-оператор, расположение спектра которого на комплексной плоскости подчинено соответствующим ограничениям.

Мы рассмотрим подробно указанный оператор, огра­ ничившись случаем В = 0. Использование при В ф 0 операционного исчисления в сочетании с конструкциями гл. V предлагается в качестве упражнения (можно взять, например, в роли В П-оператор, порождаемый операцией

Отсюда и из сформулированных выше требований на спектральные множества А, немедленно вытекает условие бГ>0. Из (4) следует также, что в рассматриваемом случае (А—Х)~г действует ограниченным образом из ® 0 в ®_i. Тогда оператор ечА, задаваемый, согласно (5) § 1, формулой

V

где у — некоторая вертикальная прямая, действует ог­ раниченным образом из ® 0 в ® 0 (или, что то же самое, из 1НЖв Нж) и формула (2) дает решение уравнения (1). Нормы неравенства (3) в этом случае суть нормы в Й, и, как нетрудно убедиться (см. замечание к неравенству

(3)), О-решение является сильным решением, а соответ­ ствующий оператор L: И —> И — правильным оператором.

Модификация приведенных построений при переходе

в задаче Коши, то отдельное рассмотрение экспоненты

где слева — норма в 35 (т. е. в соответствующем 5-про­ странстве 33к), то для ф как функции от z существует каноническое представление, аналогичное использован­ ному в § 1 :

где 4 > р + 2 и контур у (вообще говоря, неограничен­ ный) удовлетворяет соответствующим требованиям. По­ скольку прй соответствующих предположениях относи­ тельно спектральных множеств оператора А (аналогич­ ных использованным в § 1 ) при будет определен оператор (С—А)" 1 = 5 ;(А), формула (6) позволяет оп­ ределить элемент 35 вида

(6')

Приведенные рассуждения мы хотим применить'к случаю,

188 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

то очевидны требования на контур у, входящий в опре­ деления (6), (6'), и результаты наших построений могут быть сформулированы в виде теоремы.

Т е о р е м а . Если при некотором фиксированном [I и фиксированном б > 0 множество точек {z: d(z, М а) ^ 6} принадлежит к-резольвентному множеству оператора А, то формула (6 '), в которой <p(z, t | /) определена равен­ ством (7), определяет О-решение уравнения (1) при ус­ ловиях

Дополнительные рассмотрения типа приведенных в случае задачи Коши позволяют установить, что при соответствующих предположениях относительно резоль­ венты А 0-решение является сильным решением.

Проведенное нами с «операционной» точки зрения изучение формул (2) и (7) еще раз подчеркивает глубокое различие между задачей Коши и нелокальной задачей (Гй). Задача Коши, когда она определяет правильный оператор, чрезвычайно «устойчива» по отношению к оп­ ределенному классу возмущений, но задача (Г^) позво­ ляет использовать в качестве А значительно более широ­ кий класс операторов.

Разобранными простейшими примерами мы и огра­

достаточно ясен,* но трудности анализа конкретных фор­ мул, естественно, возрастают.

§ 3. Необходимость ограничений на резольвенту

Характерной чертой рассмотрений гл. V, VI, где в операторные уравнения входили П-операторы (или М-опе- раторы) А*, являлась окончательность результатов в

крайней мере — в основной массе случаев) на резоль­ венты А* (на структуру их точечного спектра), обеспе­ чивавших правильность оператора, описываемого теми или иными граничными усл^в^ями по t.

Как нетрудно заметить-, применение операционного исчисления позволяет построить О-решение операторного уравнения при тех или иных предположениях относи­ тельно оператора А (или операторов А*), являющихся достаточными. Но использованная конструкция не дает непосредственно метода выяснения необходимости на­ ложенных на А ограничений для существования (или единственности), например, сильного решения изучаемой задачи. Даже в случае простейшего уравнения (1) § 2, когда в нашем распоряжении имеется такой классический результат, как теорема Хилле — Иосида (см. [7]) (да­ ющая необходимые и достаточные условия на резоль­ венту А, обеспечивающие существование ограниченного в соответствующем смысле оператора S t, дающего реше­ ние и (£) = S tu0 задачи hu = 0, и |<==0 = и0), попытка непо­ средственно использовать этот результат в нашей ситуации наталкивается на затруднения.

Не располагая каким-либо общим методом изучения поставленного вопроса, ограничимся рассмотрением не­

то при |х Ф 0 , оо правильность (в широком смысле) со­ ответствующего оператора L: Н >Н при любом а немед­ ленно будет следовать из рассмотрений гл.чУ, если пе­ ременные х и t поменять ролями. Интересен для нас сей­ час, следовательно, лишь случай р — 0, оо. Возьмем, для

190 ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНОЕ ОПЕРАТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

вает нужные свойства резольвенты оператора А = —aDx). Покажем. . необходимость этого . требования, установив, что его нарушениё щриводит к ’неограниченности опера­ тора IT 1: Н —» Й.

Так же, как из рассмотрений § 2 следовало, что при а }> 0 осуществляется характерная для условий Коши картина: pL = С, из приводимых ниже построений будет следовать, что при нарушении этого условия непрерывный спектр Coh заполняет всю комплексную плоскость С,

Итак, в уравнении

L(Z>)» = /,

рассматриваемом при условиях (1 ), (2 ), возьмем семей­ ство правых частей /v вида

заведомо будет иметь хсесто> если для некоторых фикси­ рованных значенийx,t(z^> 0 , t ^> 0) выполняется условие

Посколькудля нужногонам соотношения <5 ) необх<* димо, чтобы обе экспоненты стремились к 4 -оо пои к =-*- оо^