книги / Общие вопросы теории граничных задач

.Ж cl 331 множество Тл€ (замыкание в ЗЗ2 образа .// при отображении Т) компактно в 33г-

Из определения немедленно следует ограниченность ВН-оператора Т (образ единичного шара при отображе­ нии Т компактен и, следовательно, ограничен). Простей­ ший пример ограниченного оператора, не являющегося вполне непрерывным,— единичный оператор (единичный шар в бесконечномерном пространстве не компактен). Типичный пример ВН-оператора дает оператор проекти­ рования на конечномерное подпространство 33' С' 33\. Типичность этого примера характеризуется теоремой, утверждающей «почти конечномерность» всякого ВНоператора.

Т е о р е м а ( а п п р о к с и м а ц и и ) . Оператор Т:

33\ -> 332 вполне непрерывен тогда и только тогда, когда он допускает равномерную аппроксимацию конечномер­ ными операторами.

Достаточность приведенного критерия устанавливается за счет того без труда проверяемого факта, что оператор Т, являющийся пределом равномерно сходящейся последо­ вательности {Тл} ВН-операторов (|| Тп — Т || -^ 0 при 71->оо), вполне непрерывен.

Доказательство необходимости также нетрудно полу­

покрытие @ открытыми шарами радиуса § с центра­ ми в точках xt ЕЕ ©. и подчиненное этому покрытию раз­

и образовав конечномерное отображение Т^:

Т*у = 2г <pi(Ту) хи

ВИДИМ, что

|| ту — ТNy II = s <Pi (Ту) II Ту — *i ||< е

32 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

равномерно по у, поскольку ф£(Ту) Ф 0 лишь при усло­

будет главным образом случай гильбертова пространства Ж. Итак, пусть теперь Т — ВН-оператор, действующий из Ж в Ж. Отметим удобный для приложений «техниче­

ский» вариант приведенной выше теоремы. Пусть {е£}|° — некоторая ортонормированная последовательность. Го­ ворят, что Т: Ж -► Ж треуголен относительно этой после­ довательности, если для любого к

ленно, без обращения к теореме аппроксимации: допустив,, что теорема неверна, можем построить последовательность

оператор, сопряженный к ограниченному, ограничен. Если теперь {хп} — произвольная ограниченная после­ довательность, то, рассмотрев скалярный квадрат

(Т* [хп %ъ\у Т * [Хп #fr]) = (ТТ* \хп [хп

и воспользовавшись тем, что произведение ВН-оператора на ограниченный есть снова ВН-оператор, видим, что из {Т*жп} можно выделить сходящуюся подпоследователь­ ность. Щ

3.2. ВН-операторы. Теория Фредгольма — Рисса. Близость в описанном выше смысле ВН-операторов к ко­ нечномерным влечет близость уравнений, содержащих эти операторы, к конечным системам линейных уравнений. Соответствующая аналогия, использовавшаяся первона­

прослежена и в «абстрактной» ситуации, причем, вообще говоря, в значительно более общей (см. [С 1 ], Г С 9]), чем рассматриваемый нами случай гильбертова пространства. Классические «теоремы Фредгольма» являются следствием нескольких лемм, характеризующих специфические спектральные свойства ВН-операторов. Будем, не огова­ ривая этого специально, считать, что рассматриваемые нами ВН-операторы действуют в гильбертовом простран­ стве, обладающем счетным базисом. Элементы этого про­ странства будем называть также «векторами» (особенно

линейно независимых собственных векторов ип оператора

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим противное. Взяв бесконечную последовательность {ып} линейно независи­ мых собственных векторов, построим ортонормированную последовательность {еп}:

к

е%= 21

1

Оператор Т будет треуголен относительно этой ортонормированной. последовательности. Кроме того (в очевидных обозначениях),

1. Каждому отличному от нуля собственному значе­ нию Т принадлежит лишь конечное число линейно незави­ симых собственных векторов.

2. Множество собственных значений Т не более чем счетно.

34ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

3.Единственной предельной точкой множества соб ственных значений Т может быть нуль.

точно показать существование независящей от / постоян­ ной с^> 0 такой, что среди решений уравнения Т%и = / найдется решение иу для которого || и || с [| / ||.

Допустим, что такой постоянной не существует. Тогда существует последовательность {/*} e9t(T*j, || /* ||->0 при о, обладающая тем свойством, что для минималь­ ного по норме решения уравнения = Д верно равен­

следует, что сходится и последовательность {и*}. Пере­ ходя в (2) к пределу, получим Ти — Хи = 0. Но тогда и%— и — решение уравнения (2), сколь угодно малое по норме. Противоречие. Щ

С л е д с т в и е . Если Т — ВН-onepamop, то един­ ственной точкой непрерывного спектра СоТ может быть нуль.

тор Т""1 существует, ограничен, задан на всем Ж и, следо­ вательно, Т_1Т = Е — ВН-оператор. Щ

О п р е д е л е н и е . ВН-оператор называется воль- терровым (F-оператором), если нуль является для него единственной точкой спектра.

F-операторы являются чрезвычайно важным подклас­ сом ВН-операторов, связанным с граничными задачами

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим противное. От­ правляясь от собственного вектора иг Ф 0, можем постро­ ить бесконечную цепочку {цп} векторов, определяемых равенствами Т = uk~г, к = 2, 3, . . . Построенные векторы линейно независимы. Можем использовать их для построения ортонормированной последовательности

лемм получим две первые теоремы Фредгольма (разные авторы нумеруют их, впрочем, по-разному). Взяв неко­

N (Tj)f

Воспользовавшись теперь леммой 3, можем сформули­ ровать вторую теорему Фредгольма.

Т е о р е м а ( Ф р е д г о л ь м а ) . 2. Число %Ф 0 яв­ ляется собственным значением оператора Т тогда и толь­

мечено выше, существует важный класс ВН-операторов,

36 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

имеющих в качестве единственной точки спектра нуль. Другим важным классом являются ВН-операторы, заве­ домо обладающие «достаточным» числом собственных зна­ чений и собственных векторов,— это самосопряженные ВН-операторы. Конечномерными аналогами этих классов являются, с одной стороны, линейные преобразования, представимые в нормальной форме единственной жордановой клеткой, а с другой — преобразования, представи­ мые симметричной (или эрмитово-симметричной) матри­ цей.

Отметим, что существует обширная теория, имеющая своим предметом различные «нормальные формы» линей­ ных операторов в бесконечномерном случае, но мы не будем ее касаться.

Как и в конечномерном случае, собственные значения самосопряженного оператора, очевидно, вещественны, а собственные векторы, принадлежащие различным соб­ ственным значениям, ортогональны. В основу доказатель­ ства существования ненулевых собственных значений у самосопряженного ВН-оператора может быть положена

— (Т [Ях — и), Хх — и)} < - |- £ т {|| Ях + и ||2 -Н| Ях — и ||2} =

= 4 r Sт{ЦЯх|2+ |И |2}.

Но -j- (|| Ях ||2 + || и ||2) = Цх || || Тх ||, т. е. ||Т ||< 5 т. ■

Отсюда следует, что если {Та^} — сходящаяся подпосле­ довательность, то подпоследовательность {хп) также схо­

нечная последовательность {Яп} ненулевых собственных

смотрение закончено; если Т' Ф 0, то существует %2 Ф 0— собственное значение оператора Т', | h I = II Т' || < < I Т ||, и мы можем повторить приведенное построение. Ортогональное дополнение к линейному многообразию Л (определенному в условиях теоремы) необходимо дол­ жно принадлежать N (Т). Ц

Из наших рассмотрений следует, что совокупность собственных векторов самосопряженного ВН-оператора

38 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

всегда может быть представлена в виде ортонормирован-

Тогда /* = Я*и*, piY=Triv HjIpjvIKIXiv+illlrjvlKI^+xlllull,

т.е. || рJV|| 0 при N ->■ оо. Щ

3.4.Самосопряженные, нормальные и унитарные

операторы. Свойства спектра самосопряженного опера­ тора — вещественность собственных значений и «доста­ точное число» таковых — сохраняются и при отсутствии предположения о полной непрерывности. Эти свойства по­ зволяют значительно модифицировать набросок «опера­ ционного исчисления», приведенный в § 2. Подставляя в формулу (5) § 2 / (z) = z и пользуясь контурами, стяги­ вающимися к вещественной оси (см.[ 21]), для получения системы проекторов, удается представить самосопряжен­

ный оператор Т в виде интеграла +ОС

где Я — вещественный параметр, Е*. — некоторое семей­ ство проекционных операторов (так называемое разложе­ ние единицы), связанное с Т, а действие оператора dE* (Т): Ж -*■ Ж на элемент и соответствует, грубо говоря, проек­ тированию и в собственное подпространство Т, отвечающее

ла (5) сводится, как и в п. 3.3, к правилу

ти = 2 М и р * -

Ввысшей степени нетривиальным является тот факт, что формула (5) сохраняет смысл и при наличии у Т участков непрерывного спектра.

Функции от оператора Т при наличии представления

(5) определяются путем замены в (5) параметра Я на / (Я).

За м е ч а н и е . Стандартные доказательства пред­ ставления (5) (см., например, [1]) не используют «общего» операционного исчисления § 2, опираясь на другие методы.

Многочисленные преимущества формулы (5) по срав­ нению с формулами § 2 наводят на мысль использовать для произвольного оператора Т его представление в виде

суммы самосопряженных операторов:

Реализация этой идеи наталкивается на ту трудность, что операторы Т и Т*, вообще говоря, не коммутируют и представление (6) не дает желаемых упрощений. Оно, однако, наводит на мысль о выделении класса операторов Т, которые действительно можно рассматривать как сум­ му Т = Тг + гТ2, где Ть Т2 — самосопряженные опера­ торы. Этот класс характеризуется свойством, называемым

Весьма важные для нас в дальнейшем модельные опе­ раторы с частными производными (гл. IV) будут как раз обладать свойством нормальности.

Если снова обратиться к аналогии, между алгеброй операторов и алгеброй комплексных чисел, то совокуп­ ность самосопряженных операторов естественно сравнить с подалгеброй вещественных чисел, а нормальные опера­ торы — с «комплексификацией» этой подалгебры. Сразу ясна и неполнота аналогии: куда отнести «произвольный» оператор Т?

Принятая манера изложения обязывает упомянуть еще об одном классе операторов — аналогах комплексных чисел вида eix {х — вещественное число), для которых

| е** | = 1. Это так называемые унитарные операторы, играющие фундаментальную роль в физике, но не рас­ сматриваемые нами в дальнейшем.

В конечномерном евклидовом пространстве унитарные операторы являются вращениями. В произвольном гиль­ бертовом пространстве Ж всякий унитарный оператор U допускает представление вида U = exp (£T), где Т — некоторый самосопряженный оператор. Точнее — сущест­ вует интегральное представление

2Я

в дальнейшем. Эти термины относятся к классам операто­ ров, не получивших общепринятых наименований, но ча­ сто встречающихся при анализе разрешимости граничных задач.

Назовем оператор L: Ж Ж с плотной областью опре­ деления С-оператором, если оператор L""1 существует и является вольтерровым (F-оператором). Выбор буквы С мотивирован тем, что подобные операторы возникают обычно при изучении задачи Коши (Cauchy). Из введен­ ного определения следует, что С-оператор есть неограни­ ченный оператор, для которого любая конечная точка комплексной плоскости принадлежит резольвентному мно­ жеству (нуль принадлежит спектру L '1 и в сделанных предположениях не может принадлежать ни точечному, ни остаточному спектрам; вторая часть утверждения сле­ дует из связи между спектрами операторов L*"1 и L).

Удобно назвать qC-оператором (квази-С-оператором) оператор L: Ж-+Ж с плотной областью определения, если существует оператор L”1 (не обязательно являющийся ВН-оператором), для которого единственная точка спек­ тра — нуль.

Оператор L: Ж Ж назовем М-оператором (от слова «модельный»), если для него существует полная система