книги / Теплофизика в металлургии
..pdfрг |
|
|
|
|
|
=38,5 |
Вт |
- U |
i + |
- ! 3 |
1 |
|°.°05 | |
1 |
2 |
м 2К |
а , |
X |
а 2 S 2 |
1000 |
54 |
20- |
|
этот же коэффициент для гладкой стенки
1 |
1 ( |
1 |
= 19,6 |
Вт |
-а. + !X + -а , |
0,005 | |
1 |
м 2К |
|
1000+ |
54 |
20 |
|
Следовательно, ребристая стенка увеличила теплопередачу примерно в 2 раза (38,5/19,6^2).
5.4. Теплопроводность цилиндрической стенки
Цилиндрический слой с радиусами внутренним гхи наружным г2 не ограничен в направлении оси z и не содержит внутренних источников те пла {qv=0). На его поверхностях г = гхи г = г2 поддерживаются температу ры соответственно tx и t2, т.е. заданы граничные условия первого рода. Температурное поле в этом случае осесимметрично (dt/diр= 0) зависит только от одной координаты (dt/dz = 0), и математическая формулиров ка краевой задачи теплопроводности имеет вид
|
|
|
|
|
dr2 |
г dr |
|
|
|
(5.25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
) = |
'.> < r = r2) = |
;2 • |
(5.26) |
|||
Найдем общее решение уравнения (5.25) |
|
|
|||||||||
и = |
dt |
dи |
и |
п |
=> |
rdu |
г dr |
|
|
||
— |
= > -----1— = 0 |
/ — = - |
/ |
— =*4n w+ l n r = InC, |
|
||||||
|
dr |
dr |
г |
|
|
J |
и |
J |
г |
|
|
^ м |
= ^ - = » — = ^ - = > |
fd t= f c t - ^ |
1 = С ,Ы г + С. , |
(5.27) |
|||||||
|
|
г |
dr |
г |
|
J |
J |
|
г |
|
|
Постоянные интегрирования С, и С2 находятся подстановкой гра ничных условий (5.26) в общее решение (5.27),
состоит из внешних сопротивлений |
внутренних сопро |
||||
|
|
М . M |
. + i ) |
|
|
тивлении слоев V |
- L l n ^ i ! |
и контактных сопротивлений |
Л |
||
ч . |
|||||
/=1 |
d: |
|
5 |
||
уравнение теплопередачи принимает вид |
|
|
|||
qt =тс(^с1 |
^с2 ) /^ ц = Kki{}ci |
^с2 )> |
(5.36) |
||
где коэффициент, обратный общему тепловому сопротивлению, называ ется линейным коэффициентом теплопередачи (Вт / (м*К))
_ 1 |
_ |
Ы |
(5.37) |
kt = — |
= |
|
|
R n |
Kcl |
|
^с21 |
характеризующим удельный тепловой поток при единичной разности температур между теплоносителями.
5.6. Расчет тепловой изоляции
Тепловой изоляцией называется всякое покрытие горячей поверхно сти, способствующее снижению тепловых потерь в окружающую среду.
Рассмотрим трубу, покрытую слоем тепловой изоляции (рис. 5.9). Удельный тепловой поток
?| |
— Ч'с1 |
^с2 )/^ц > |
|
(5.38) |
||
|
|
|||||
. |
1 |
, d2 |
, 1 |
, d3 , |
I |
(5.39) |
|
2Х |
dx |
2Хг |
d2 |
a 2d3 |
|
|
|
|||||
При увеличении диаметра изоляции d3i с одной стороны, увеличива ется внутреннее сопротивление изоляции l/[2X2) In(rf3 fd 2), с другой сто роны, уменьшается внешнее сопротивление У(а2^3) из-за увеличения площади поверхности изоляции, через которую рассеивается тепло. По этому исследуем функцию (5.39) на экстремум:
Имея в виду закон Фурье qx = —Xdt/dx, запишем уравнение тепло проводности через плотность теплового потока и проинтегрируем
~ + qv = 0 =>qx = q v dx
х + С, = > -X ^- = qv -х + С,, (5.44) dx
в результате получим общее решение задачи
t = - ^ - — |
- ^ - x |
+ C2. |
(5.45) |
X 2 |
X |
2 |
|
Постоянные интегрирования С\ и С2 находим подстановкой общего ре шения в граничные условия (5.43)
0 = qy -0 + С |, |
|
|
С, = 0 |
|
|
|
. __Ч у |
|
С ) |
|
С 2 — ( п + |
Ч у 52 |
(5.46) |
|
-------------L .0 + C2 |
2Х |
|
|||
|
2 Х |
X |
2 |
|
|
|
В результате получаем распределение температуры
t = t n + Чу - S 2 |
х |
(5.47) |
2 Х |
.5. |
|
подчиняющееся параболическому закону, при этом на поверхностях слоя (х = ±5) <=/„, на оси симметрии прих=0 температура максимальна,
Ч у |
~ 5 2 |
— К + |
гх |
Рассмотрим теплопроводность круглого стержня с заданными коэффициентом теплопроводности X, постоянным источником тепла <7r=const. Температура поверхности слоя ^поддерживается постоянной.
Математическая формулировка краевой задачи теплопроводности в этом случае имеет вид
X d 2t ( |
I d t' + qv = 0 , |
(5.48) |
dr2 |
г dr |
|
qr(r = 0) = Q, t ( r - r 0) = t„. |
(5.49) |
▲
Имея в виду закон Фурье qr = —Xdt/dr, запишем уравнение теплопроводности через плотность теплового потока,
~ ~ |
— |
+ Яу =0. |
(5.50) |
dr |
г |
|
|
Плотность теплового потока в круглом стержне можно определить, составляя тепло вой баланс: тепло, выделенное в объеме от внутренних источников мощностью qv, равно теплу, рассеянному через поверхность стержня,
2nrlqr = n r2lqу =>qr = q v ^ |
(5.51) |
Рис. 5.12. Температурное поле в круглом стержне
т.е. плотность теплового потока линейно воз растает по радиусу. Уравнение (5.50) тождественно удовлетворяется при
подстановке в него решения (5.51). Для получения температурного поля подставим в решение (5.51) закон Фурье и проинтегрируем
t = - ^ L — + C. (5.52) 2Х 2
Полученное общее решение подставляем в граничное условие, в резуль тате получаем распределение температуры
|
Яу ‘го 1 - |
Г |
\2 |
|
* — Гс + |
(5.53) |
|||
|
||||
|
4А, |
|
|
подчиняющееся параболическому закону, при этом на поверхностях слоя (r=r0) t=tn, на оси симметрии при г=0 температура максимальна,
< . = < « = < . + ^ р |
<5-и > |
Найдем распределение температур при граничных условиях конвек тивного теплообмена (3-го рода) на поверхности стержня (г=г0)
Яу™о =<*(<„ - te)2nr0 ,
отсюда /„ = / + ^ уГ° . Подставим это значение температуры поверхно2а
сти в граничное условие (5.53), в результате получим
t = tc + Я у - г0 1 - г |
+ ЯуГр |
(5.55) |
|
4Х |
\ го |
2а |
' |
|
|
|
|
Из решения (5.55) следует максимальное значение температуры в центре стержня (г=0),
' ™ = ' с + Я у |
■+ Я у 1 |
(5.56) |
|
4Х |
2а |
|
|
и значение температуры на поверхности стержня |
|
||
— К + |
Яу Гр |
|
(5.57) |
2а |
|
||
|
|
||
Полученные решения можно выразить через удельный тепловой поток qI = яг02 qv (Вт/м), например, значение температуры на поверхности стержня
К = ' с |
Я, |
(5.58) |
|
2кагп |
|||
|
|
Пример 8. Электрический нагреватель выполнен из нихромовой проволоки диаметром d=2 мм и длиной /=10 м. Он обдувается холодным воздухом с температурой tc=20°С. Вычислить тепловой поток с 1 м нагре вателя, а также температуры на поверхности проволоки t„, если сила то ка, проходящего через нагреватель, составляет 25 А. Удельное электри ческое сопротивление нихрома р=1,1 Ом мм2/м; коэффициент теплопро водности нихрома Х=17,5 Вт/(м К) и коэффициент теплоотдачи от поверхности нагревателя к воздуху а=46,5 Вт/(м2 К)
Решение. Электрическое сопротивление нагревателя
R
1,1 10 = 3,5 Ом. 3,14 -1
Количество теплоты, выделяемой нагревателем,
по