книги / Теплофизика в металлургии

Система дифференциальных уравнений в совокупности с условиями однозначности дает математическую формулировку краевой задачи кон­ вективного теплообмена, имеющую единственное решение.

2.6. Приближение Буссинеска в задачах тепловой конвекции

Уравнение Навье-Стокса в форме (2.33) получено без учета зависи­ мости физических свойств жидкости от температуры, в частности, в нем не учтена зависимость плотности от температуры. Однако свободная конвекция жидкости определяется разностью плотностей холодных и нагретых ее слоев.

Рассмотрим приближенный способ учета переменной плотности в неоднородном температурном поле, называемый приближением Бус­ синеска, на примере полученного ранее одномерного уравнения НавьеСтокса (2.30)

dx - p » - 5 + V

Входящая в это уравнение плотность принимается в соответствии с уравнением состояния линейно зависящей от температуры,

где р - коэффициент теплового (объемного) расширения (1/К). После подстановки зависимости (2.44) в уравнение (2.43) получаем

Поскольку ускорение свободного падения значительно больше уско­ рения частиц жидкости при свободной конвекции (g> > dw/dx), то измене­ нием плотности в левой части уравнения (2.45) можно пренебречь по срав­ нению с изменением ее в правой части уравнения, в результате получаем

Полученное одномерное уравнение описывает свободную тепловую конвекцию жидкости в приближении Буссинеска. В общем трехмерном случае для вектора скорости W(u, v, w) уравнение движения в этом при­ ближении принимает вид

Образуется замкнутый контур циркуляции жидкости с пограничными слоями у стенок канала.

Запишем систему уравнений тепловой конвекции. Уравнение несжи­ маемости для компонент вектора скорости и и vсоответственно в проекциях на оси х и у в плоскости циркуляции жидкости принимает вид

После подстановки последнего соотношения в уравнение Пуассона (2.53) получим

Для замыкания системы дифференциальных уравнений запишем краевые условия, включающие начальные температуру и поле скоро­ стей, а также граничные температурные условия на изотермических и адиабатных границах и условия прилипания для скоростей,

*(x = 0) = f0, ы(т = 0) = V (T = 0) = О,

Ф ,У ) = ({, t{Hx,y ) = t2, — (х,0) = ~ ( х ,Н ) = 0, (2.55) ду ду

и(0, у) = и(Нх, у) = v(x,0) = v(x, Н у ) = 0.

Пять дифференциальных уравнений (2.48, 2.49, 2.51, 2.52 и 2.54) вместе с краевыми условиями (2.55) образуют краевую задачу тепловой конвекции, граничные значения для давления в которой определяются приближенно из уравнения Пуассона (2.54). Переменные u-v-p-t назы­ вают динамическими переменными, а соответствующую краевую задачу - задачей в динамических переменных.

Таким образом, в динамических переменных плоская задача тепло­ вой конвекции сводится к системе пяти дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями.

2.8. Постановка задачи тепловой конвекции в переменных завихренность-функция тока

Рассмотрим другую постановку этой же задачи, исключающую дав­ ление и уменьшающую тем самым число дифференциальных уравнений тепловой конвекции. Для этого вычтем из уравнения (2.51) уравнение (2.52), предварительно продифференцировав первое из них по у, а вто­ рое - по х. В результате получим

уравнений: переноса энергии (2.49), переноса завихренности (2.59) и Пу­ ассона (2.58), в которых скорость связана с функцией тока соотношения­ ми (2.57).

Начальные краевые условия для завихренности и функции тока име­ ют вид

со(т = 0 ) = 0 , \|/(т = 0 ) = 0

Граничные значения функции тока следуют из отсутствия расхода вязкой среды через непроницаемые стенки канала. Функция тока на стенках канала не должна изменяться, следовательно, она должна быть постоянной или, в частности, нулевой:

у (0, у) = у (Н х, у) = V(x, 0) = (*, Н у ) = 0.

Граничные значения завихренности определяются приближенно из уравнения Пуассона (2.58).

Формулировка плоской задачи тепловой конвекции несжимаемой жидкости в со-\|/-/-переменных оказывается предпочтительнее формули­ ровки ее в динамических (u-v-p-t) переменных, так как понижает поря­ док системы дифференциальных уравнений с пяти до трех.

Вопросы для самоконтроля

1.Дифференциальное уравнение неразрывности, уравнение несжи­ маемости, их физический смысл.

2.Вывод дифференциального уравнения переноса энергии.

3.Коэффициент температуропроводности, его размерность и физи­ ческий смысл.

4.Уравнение теплопроводности как частный случай уравнения пе­ реноса энергии.

5.Вывод дифференциального уравнения движения вязкого тепло­ носителя.

6. Коэффициенты динамической и кинематической вязкости, их

размерность и физический смысл.

7. Дифференциальное уравнение теплоотдачи в пограничном слое.

8 . Условия однозначности в задачах конвективного тепломассооб­ мена, виды граничных условий для скорости.

9.Коэффициент поверхностного натяжения, его размерность и фи­ зический смысл. Условия возникновения конвекции Марангони.

10.Коэффициент объемного расширения теплоносителя. Приближе­ ние Буссинеска в задачах тепловой конвекции, его физический смысл.

1 1 . Какие уравнения включает постановка краевой задачи тепловой

конвекции в динамических переменных?

1 2 . Завихренность, функция тока теплоносителя, их размерности, фи­ зический смысл. Дифференциальное уравнение переноса завихренности.

тогда

Элементарный угловой коэффициент излучения d(p,_ 2 = d 2Ф пад2 / {дх d-S, )

характеризует долю энергии излучения, падающей с элементарной площадки первого тела на элементарную площадку второго тела по отношению к полной энергии излучения элементарной площадки первого тела.

Элементарная взаимная поверхность излучения d 2H ] 2 = б 2Ф пад2/^,

характеризует долю элементарной площадки первого тела, полное излуче­ ние с которой эквивалентно энергии излучения с элементарной площадки первого тела на элементарную площадку второго тела.

Найдем поток излучения с элементарной площадки d»^ на поверх­ ность S2yдля этого проинтегрируем соотношение (3.3),