книги / Теплофизика в металлургии
..pdfпропорциональное относительной подъемной силе, действующей на частицу вязкого теплоносителя в неоднородном температурном поле.
Число Грасгофа, играющее большую роль в исследовании процессов свободной тепловой конвекции при заданном перепаде температур, также характеризует режим циркуляции теплоносителя и связано поэтому с чис лом Рейнольдса. Дня обнаружения этой связи обратимся к уравнению дви жения в приближении Буссинеска
ди х ди (Л аА ч |
1 др . |
Приравнивая масштабы инерционной и подъемной сил в этом уравнении (соответственно второй и третий члены уравнения), можно оценить ха рактерную скорость свободной конвекции:
у = *рд/ => « = |
Аг/. |
(7.7) |
Если подставить это значение скорости в число Рейнольдса, то получим искомую связь:
и I |
д/ g p At I I |
Re |
5 . |
V |
V |
При данном соотношении между числом Рейнольдса, характеризующим вынужденную конвекцию, и числом Грасгофа, характеризующим сво бодную конвекцию, отмечается одинаковый масштаб скорости и следует ожидать похожие режимы течения. Так, если турбулентный режим на ступает в условиях вынужденной конвекции при Re > 104, то в условиях свободной конвекции этот режим наступает при Gr > 108. Из этой оценки также следует, что если Re и л/Gr, то в расчетах теплообмена необходи мо учитывать как вынужденную, так и свободную конвекцию, т.е. рас сматривать процессы смешанного теплообмена.
Отношение чисел Пекле и Рейнольдса дает новый безразмерный комплекс - критерий Прандтля, зависящий только от теплофизических свойств среды,
Re а
Это число представляет собой отношение кинематической вязкости теп лоносителя, пропорциональной толщине динамического пограничного слоя, к температуропроводности, пропорциональной толщине темпера турного пограничного слоя. Таким образом, число Прандтля является непосредственной мерой отношения толщин динамического и темпера турного пограничных слоев.
В предельном случае, когда число Прандтля мало, толщина динами ческого пограничного слоя много меньше толщины температурного по граничного слоя (рис. 7.2),
8 Д « 5 Т =^Рг <<1.
Рис. 7.2. Распределение скорости и температуры в пограничных слоях при малом (слева) и большом числах Прандтля
Такой случай имеет место для жидких металлов. При больших числах Прандтля, наоборот, толщина динамического пограничного слоя боль ше, чем толщина температурного слоя,
5 Д » 8 Т =>Рг > > 1.
Это наблюдается в смолах, маслах и других вязких средах с малой темпе ратуропроводностью.
7.3. Безразмерная формулировка краевой задачи конвективного теплообмена
Для записи уравнений конвективного теплообмена в безразмерном виде выберем в качестве масштабов следующие характерные величины: / - характерный размер области; tQ- температуру; р0 - давление; и0 - ско
рость. Через эти величины можно вычислить масштабы времени т о = Чио>завихренности со0 = и0//, функции тока \|/ 0 = и0 /. Тогда безраз мерные переменные (они обозначены сверху чертой) примут вид:
Отсюда получаются размерные переменные
х = х I, у — у /, |
t = t t 0, р = р р 0, и = й и0, |
V=VM 0, Т = Т |
т 0, С0= (ОСО0, V|/ = vj/\|/0. |
Масштаб характерной скорости щ может быть выбран в зависимо сти от решаемой задачи. В задачах вынужденной конвекции этой скоро стью может быть средняя скорость потока, определяемая через объем ный секундный расход теплоносителя К[м3/с] и площадь сечения канала S [м2]: u0=V/S. В задачах свободной конвекции эта скорость может быть задана по формуле (7.7) и0 = ^jg р At /. В режимах смешанной конвек
ции масштабы скорости могут быть выбраны из условия равенства сил инерции и вязкого трения:
Re = — = 1 =>w0 = v//, v
либо из условия равенства диффузионных и конвективных потоков тепла:
Ре = — = 1 =Ф и0 = а / /.
а
Первый из этих масштабов удобно использовать при больших числах Прандтля, когда с размером исследуемой области соизмерима толщина динамического пограничного слоя, а второй - при малых числах Прандт ля, когда с размером области соизмерима толщина температурного по граничного слоя.
Возможны и другие варианты выбора масштаба скорости. Подставим размерные переменные в уравнение переноса энергии:
вынося постоянные масштабы за знаки производных, получим
tQdt |
_ L d t |
|
_ t0dt |
tn |
UnU - ^ + |
UnV ■0 |
‘°-V 2l |
||
I/и0 дх |
/ дх |
|
I ду |
l2 |
Умножим это уравнение на |
//(u0t0): |
|
|
|
dt , - d t , - d t |
а |
гг |
||
----- h |
и ----- h v — = — V |
t |
||
дх |
дх |
dy |
u0l |
|
В правой части полученного уравнения образовалось число Пекле, поэтому уравнение переноса энергии в безразмерных переменных при нимает окончательный вид
dt |
- d t |
, - d t |
V 2t |
дх |
дх |
ду |
(7.8) |
Ре |
Подставим размерные переменные в уравнение движения в прибли жении Буссинеска
d v d v |
dv |
, |
RA Л |
1 dp |
_ 2 |
|
||||
|
+ u— + v— = -g(l-pA/)-----^ +vV v, |
|
||||||||
dx |
d |
x d y |
|
|
|
p 0 |
dy |
|
|
|
вынесем постоянные масштабы за знаки производных: |
|
|||||||||
undv |
- u0dv |
_ uadv |
|
|
. |
1 |
р пдр |
ип - |
||
— ----+ и |
„ |
м |
+ M0V |
— |
==- g ( 1- ВД/) - •— |
£°-J- + |
v— V zv |
|||
l/u0 dx |
|
Id x |
|
Id y |
|
' |
' |
Po |
l дх |
l2 |
после умножения уравнения на |
//щ |
получим |
|
|
|
|||||
Аналогичный вид принимает и уравнение движения в проекции На другую ось,
ди |
- д и |
- д и |
_ др , V 2w |
|
дх |
дх |
ду |
дх |
Re |
где Fr, Eu, Re - числа Фруда, Эйлера и Рейнольдса:
Ей Ро
Ро“о ’
Подставим размерные переменные в уравнение переноса завихрен ности:
д а , |
9 а , |
д а |
„ 2 , о dt |
----- Ь и ---- h v — = vV © + д В — . |
|||
дх |
дх |
ду |
дх |
После аналогичных преобразований получим безразмерное уравнение
д© + |
|
_ |
V 2© |
Gr dt |
(7.11) |
|
дх |
дх |
ду |
Re |
Re2 д х ’ |
||
|
в котором числа Грасгофавг = g lzfiA t/v2 и Рейнольдса Re = u0//v об разуют комплекс G r/R e2, характерный для свободной конвекции.
Запишем также в безразмерных переменных уравнение Пуассона для давления:
V 2p = PoPgJ--2p0 ди |
dv _ ди |
dv |
|
|
|||
ду |
ду |
дх |
дх |
ду |
|
|
|
Gr dt |
1 |
\дй |
dv |
ди |
dvj |
(7.12) |
|
Eu -Re2 ду |
Eu |
ду |
дх |
дх |
ду) |
||
|
|||||||
и уравнение Пуассона для функции тока:
- V 2\|/=© =» - V 2\j7=©. |
(7.13) |
Отметим, что при выбранных масштабах последнее уравнение имеет одинаковый вид в размерных и безразмерных переменных.
И, наконец, запишем в безразмерном виде уравнение теплоотдачи в пограничном слое:
dt |
|
дГ |
"=0 |
=► N u - - |
л=0 |
|
||
'« - Л |
|
|
Таким образом, обезразмеривание уравнений конвективного теплооб мена привело от исходных параметров: вязкости V, температуропроводно сти а, теплопроводности А,, плотности р, теплоемкости с, характерного размера /, ускорения свободного падения g, коэффициента объемного рас ширения Р, коэффициента теплоотдачи а к меньшему числу безразмер ных комплексов: Рейнольдса Re, Пекле Ре, Прандтля Рг, Грасгофа Gr, Эй лера Ей, Нуссельта Nu, используемых в качестве коэффициентов уравне ний. Основным преимуществом формулировки задачи в безразмерных переменных является возможность обобщения получаемых решений на целый класс подобных явлений конвективного теплообмена.
С математической точки зрения краевая задача конвективного теп лообмена приводит к двум типам дифференциальных уравнений в част ных производных: уравнению переноса некоторой субстанции S и урав нению Пуассона для распределения некоторой субстанции F.
Субстанцией S может быть тепловая энергия, перенос которой на плоскости подчиняется уравнению (7.8), импульс, перенос которого под чиняется уравнениям (7.9, 7.10) и завихренность, перенос которой под чиняется уравнению (7.11). Все эти уравнения объединяет общая струк тура, они приводятся к стандартному виду уравнения переноса (здесь и в дальнейшем черту над безразмерными переменными опускаем):
os ^ a s |
9S , u 2 e x n |
(7.15) |
|||
----- b и ---- b v — |
= A v |
5 + 5, |
|||
dx |
dx |
dy |
|
|
|
где S и параметры А, В могут принимать конкретные значения, представ ленные в табл. 7.1.
Параметр А характеризует коэффициент перед диффузионным чле ном уравнения переноса (7.15), а параметр В - внешние по отношению
кпереносимой субстанции S объемные силы.
Вчастном случае, если перенос происходит только в направлении оси JC, двухмерное уравнение (7.15) переходит в одномерное,
a s |
a s |
. d 2S , n |
----- h и — |
= A ------- h В . |
|
дх |
дх |
д х2 |
Значение параметров уравнения переноса
Л®п/п |
S |
А |
В |
1 |
t |
1/Ре |
0 |
2 |
и |
1/Re |
—Eu— |
|
|
|
|
|
|
|
d x |
3 |
V |
1/Re |
Fr(l-P*) —E u ~ |
|
|
|
|
4 |
0) |
1/Re |
Gr d t |
|
|
|
Re2 d y |
Субстанцией F может быть функция тока или давление, распределе ние которых подчиняется уравнениям Пуассона (7.12, 7.13), имеющим общую структуру
V 2F = C, |
(7.17) |
где F и параметр С могут принимать конкретные значения, представлен ные в табл. 7.2.
Т а б л и ц а 7 .2
Значения параметров уравнения Пуассона
№ n/n |
F |
|
1 |
V |
|
|
|
|
2 |
P |
Gr |
Eu • Re2
C
-0)
d t |
1 i d u |
d v |
d u |
d y |
Eu(<9y |
d x |
d x d y J |
Отметим, что уравнения переноса (7.16) и Пуассона (7.17) являются дифференциальными уравнениями в частных производных, причем пер вое из них - параболического типа, а второе - эллиптического.
7.4. Консервативная форма уравнения переноса
При численной реализации уравнение переноса удобно привести к форме, позволяющей выполнять законы сохранения и в дискретном аналоге этого уравнения. Такая форма уравнения переноса называется
консервативной. Рассмотрим консервативную форму на примере од номерного уравнения переноса (7.16). Внесем скорость под знак диф ференциала в конвективном члене этого уравнения
3S |
д / |
сч |
8S |
„ ди |
и — |
= — (и S) = и ---- h o — . |
|||
дх |
д х к |
у |
дх |
дх |
Из уравнения несжимаемости при одномерном течении следует, что ди/дх = 0, поэтому
dS |
9 ( |
с\ |
дх |
д х к |
' |
т.е. внесение скорости под знак производной не изменяет уравнение переноса, если среда несжимаема. Кроме того, вынесем общую произ водную при конвективной и диффузионной частях уравнения, в ре зультате получим
a s |
д_ |
S + В . |
(7.18) |
|
дх |
дх |
|||
|
|
Форма (7.18) уравнения переноса называется консервативной или дивергентной. Смысл и преимущество этой формы уравнения по сравнению с формой (7.16) будут показаны при обсуждении способов численного интегрирования этого уравнения.
Вопросы для самоконтроля
1.Какие процессы называются подобными, чем они отличаются от аналогичных процессов?
2.Какой физический смысл имеет критерий Нуссельта, чем он от личается от критерия Био?
3.Уравнения подобия, условия существования подобия (теорема Кирпичева-Гухмана).
4.Получите критерий Пекле, каков его физический смысл?
5.Виды и структура движения теплоносителя, критерий Рей нольдса, его физический смысл.
6.Каков смысл критериев Фруда, Эйлера, Архимеда?
7.Физический смысл критерия Грасгофа, как по этому критерию определяют режим свободной конвекции теплоносителя?
8.Число Прандтля, его физический смысл, диапазон изменения для различных теплоносителей.
9.Почему краевые задачи конвективного теплообмена формули руют в безразмерном виде?
10.Какой стандартный вид имеют уравнения переноса и Пуассона?
8. ЗАДАЧИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМ ЕНА
8.1. Теплообмен при вынужденном движении теплоносителя в каналах
Вынужденным называется движение теплоносителя под действием внешней вынуждающей силы, например перепада давления.
При движении теплоносителя в тру бах и каналах формируются гидродина мический и температурный погранич ные слои. В пределах участка гидроди намической стабилизации /0 эти слои смыкаются, и далее устанавливается стабильное распределение скоростей (рис. 8.1). Для круглой трубы диаметром d длина этого участка /0 « 5 0 d.
В пределах участка гидродинамиче ской стабилизации (при х < /0) растет
толщина пограничного слоя, из-за теп
Рис. 8.1. Схема теплоотдачи в трубе
лового сопротивления этого слоя умень шается коэффициент теплоотдачи.
При х > /0 режим течения зависит от критерия Рейнольдса (рис. 8.2). При Re < 2*103 наблюдается ламинарное течение теплоносителя, при Re > 104 поток становится турбулентным. При Re = 2• 103... 104 наблюда ется переходный режим течения и теплообмена.
При турбулентном течении температура и скорость пульсируют около их средних значений (рис. 8.3). Определим среднюю температуру потока в сечении канала. Через элементарную площадку dS в единицу времени поток теплоносителя переносит теплоту
dQ = с р t и dS => Q = J с р t и dS => Q = tcpJ с р и cLS.
S S