книги / Теплофизика в металлургии

ничения. С точностью до ошибки аппроксимации можно записать первую производную в конечных разностях:

Выбирая узловые точки справа и слева от рассматриваемой точки х0 на расстоянии шага hx(х=х0+ hx, х=х0- йх), можно получить из (10.3) фор­ мулы право- и левосторонней разностей:

dS(x,x о) S(x,x0 + hx) - S ( x ,x 0)

дх

dS(x,x о) S(x,x0) - S ( x ,x 0 - h x)

(10.4)

Для нахождения ошибки аппроксимации полученных выражений воспользуемся рядом Тейлора (10.2), учитывая в нем три члена разложе­ ния. Подставим в этот ряд значения х=х0и x=x0+hx и вычтем из второго уравнения первое, в результате получим

порядок шага сетки hx. В этом случае, имея в виду первую степень шага сетки в остаточном члене разложения, говорят, что формула (10.5) ап­ проксимации первой производной имеет первый порядок точности.

Используя нумерацию узловых точек, можно записать полученные формулы односторонних разностей для i-й узловой точки на k-и слое по времени:

Среднее арифметическое значение право- и левосторонних разно­ стей дает формулу центральной разности

Существующие схемы аппроксимации делятся на явные, когда все производные по координате в уравнении переноса записываются на «старом» (£-1)-м временном слое с известным распределением перено­ симого параметра S, и неявные, когда все производные по координате в этом уравнении записываются на «новом» к-м временном слое с из­ вестным распределением S.

Используя формулу односторонней разности для производной по времени, а также формулу центральной разности для конвективного чле­ на, запишем примеры схем аппроксимации:

явной

и неявной

S - . , t — 2 S , у 4 - s . * .

= ^ _ i±u ------- a ----- !ZLL + B ..

Отметим, что полученные аналоги имеют второй порядок точности по пространственной переменной и лишь первый - по времени.

Из уравнения (10.13) можно явно выразить неизвестную Sik через значения переменных на предыдущем временном слое:

Явная схема проста и позволяет в короткий срок составить и отла­ дить программу расчета на компьютере. Однако жесткое условие устой­ чивости этой схемы накладывает ограничения на величину шага по вре­

мени, что приводит к неоправданному увеличению времени счета, т.е. снижает эффективность программы.

Неявная схема (10.14) дает лишь распределение S на к-м слое:

Соотношения (10.16) образуют для всех внутренних узловых точек к-го слоя систему линейных алгебраических уравнений (TV-l)-ro поряд­ ка, которую можно решать при больших по сравнению с явной схемой шагах по времени.

Различные схемы аппроксимации рассмотрим на примере частного случая уравнения переноса - уравнении теплопроводности (диффузии)

Производные по времени и координате в этом уравнении имеют раз­ личные ошибки аппроксимации соответственно первого и второго по­ рядков точности относительно шагов сетки. Погрешность всего уравне­ ния определяется максимальным значением этой ошибки. Возникает во­ прос нахождения такого соотношения между шагами сетки hx и А*, при котором ошибки аппроксимации левой и правой частей уравнения (10.17) равны. Имея в виду тот факт, что ошибки аппроксимации должны удовлетворять уравнению теплопроводности, запишем

Рис. 10.3. Сеточные шаблоны

Это накладывает ограничение на выбор шага сетки по времени

не противоречащее условию (10.21). Поясним физический смысл огра­ ничения (10.25). Максимально допустимый временной шаг равен време­ ни диффузии параметра S на шаге сетки Ах. При явном методе информа­ ция в точку ijk поступает лишь из окружающих точек с характерной для сетки скоростью А*/Ах. Если эта скорость мала из-за большого шага по времени, то следует ожидать неустойчивости счета.

Условие устойчивости явной схемы является достаточно жестким. Так, при #*=0,01 мЛ=1,5*10_5м2/с (сталь), #=20, Ат< 0,0083 с. Необходи­ мость счета с мелким шагом по времени приводит к увеличению объема вычислений и является существенным недостатком, ограничивающим применение явной схемы первого порядка точности.

От этого недостатка свободна неявная схема первого порядка точно­ сти (схема Лаасонена), согласно которой правая часть уравнения (10.17) записывается на к-м временном слое с неизвестными значениями S:

Шаблон этой схемы, которая абсолютно устойчива при любых ша­ гах по времени и координате, представлен на рис. 10.3,6. Она не дает яв­ ной формулы для определения неизвестных значений S в узловых точках к-го слоя, а описывает лишь распределение:

Соотношения (10.27) образуют для всех внутренних узловых точек к-]го слоя систему линейных алгебраических уравнений (ЛЧ)-го поряд­ ка. Поскольку схема абсолютно устойчива, то счет можно вести с доста­ точно крупными шагами по времени. Это, однако, приводит к увеличе­ нию ошибок аппроксимации уравнения теплопроводности.

Для уменьшения ошибок аппроксимации правую часть уравнения теплопроводности (10.17) усредняют по времени:

Эта схема, называемая схемой Кранка-Николсона, также абсолютно устойчива, имеет второй порядок точности и находит широкое применениев практических расчетах. Шаблон этой схемы представлен на рис. 10.3,в. Соотношения (10.28) образуют для всех узловых точек к-го слоя систему линейных алгебраических уравнений вида (10.27).

В рассмотренных схемах производная по времени аппроксимирова­ лась односторонней разностью с использованием двух слоев сетки по времени. Такие схемы называются двухслойными. Если производную по времени в уравнении (10.17) заменить центральной разностью, имеющей второй порядок точности, а правую часть разнести по трем временным слоям, то получим трехслойную схему. Примером ее может служить схе­ ма Дюфора-Франкеля (рис. 10.3, г)

Из (10.29) можно получить явное выражение для неизвестного значения Si>k+1 в каждом узле сетки:

(10.30)

h2x + 2 Ah,

Полученное соотношение дает необычную для явных схем абсолют­ ную устойчивость счета при любых шагах сетки hx и йт. Однако следует отметить, что при больших шагах по времени рассматриваемая схема приводит к колебаниям, хотя и не возрастающим. Причиной этого явля­ ются ошибки аппроксимации. Поэтому при больших шагах по времени метод Дюфора-Франкеля неточен.

Существуют и другие явные и неявные методы разностной аппрок­ симации уравнения переноса.

10.3. Анализ ошибок

Ошибки, связанные с дискретным представлением уравнения пере­ носа и проведением расчетов на компьютере, можно разделить на три ви­ да: ошибки округления, ошибки аппроксимации, схемные ошибки.

Ошибки округления связаны с выполнением арифметических опера­ ций, в которых числа представляются в экспоненциальной форме с огра­ ниченным числом разрядов. Ошибки округления можно уменьшить, из­ меняя метод решения матричных уравнений, последовательность ариф­ метических операций и увеличивая число разрядов для записи чисел в компьютере (например, применяя двойную точность).

Ошибки аппроксимации обычно больше ошибок округления и связаны с дискретным представлением отдельных членов уравнения переноса, ис­ пользованием разложения функции в укороченный ряд Тейлора. Порядок ошибки аппроксимации оценивается максимальным значением остаточно­ го члена ряда Тейлора. Так, ошибка аппроксимации первой производной односторонней разностью (10.5) имеет первый порядок, т.е. порядок шага сетки в первой степени. Ошибка аппроксимации второй производной (10.9) имеет второй порядок точности относительно шага сетки. Грубо ошибки

аппроксимации можно оценить на следующем примере. При числе разбив ний по толщине слоя ЛМО шаг сетки 1/10, ошибка аппроксимации пер. вой производной односторонними разностями определяется как О(й>1/1(ЫО%, второй производной - 0(h*) «1/100 «1%. Более точно ошибки аппроксимации всего уравнения переноса можно оценить, находя решение на последовательности сгущающихся сеток.

Проиллюстрируем это на формуле для второй производной (10.9):

Имея два расчета на разных сетках, можно оценить величину по­ грешности. Для этого вычтем из (10.32) (10.31), в результате получим оценку погрешности

R _ S(x,hx ) - S ( x ,r h x )

(10.33)

г 2 —1

Первое слагаемое есть главный член погрешности. Таким образом, расчет на второй сетке позволяет с точностью до остаточного члена o(hx ) оценить погрешность расчета на первой сетке.

Исключая найденную погрешность (10.33) из формулы (10.31), мож­ но получить результат с более высокой точностью:

Формулы (10.33), (10.34) называются формулами Рунге. По этому методу находят решение на последовательности сеток, причем сгущение