книги / Теплофизика в металлургии
..pdfОтметим, что по классификации дифференциальных уравнений в ча стных производных уравнение Фурье относится к параболическому, а уравнения Пуассона и Лапласа - к эллиптическому типу.
Рассмотрим уравнение теплопроводности при неоднородных свойствах. Уравнение (4.1) было получено в предположении постоян ной теплопроводности (A,=const), в действительности теплопроводность зависит от температуры, Х=Х(Г), поэтому при выводе уравнения тепло проводности нельзя выносить плотность теплового потока за знак дивер генции. В этом случае уравнение теплопроводности становится нелинейным, так как входящий в него коэффициент зависит от решения
pc?j- = V ( X V t ) + qy . |
(4.3) |
Нелинейное уравнение теплопроводности (4.3) можно привести формально к виду линейного уравнения (4.1), для этого преобразуем диффузионный член уравнения
V(X -Vt) = X V 2t + VX V t = V 2t A, + |
V X V t ' |
|
V 2t , |
С введением понятий эффективного коэффициента теплопроводности |
|
Xэфф = Х + VXVt |
(4.4) |
V 2t |
|
и температуропроводности |
|
_ _ Ч фф_ |
(4.5) |
|
’фф р(0 < 0
дифференциальное уравнение теплопроводности принимает стандарт ный вид
dt_ |
t + |
4v_ |
(4.6) |
|
дх |
pc ’ |
|||
|
который оказывается удобным при численной реализации на компью тере.
Уравнение теплопроводности может быть записано для анизо тропных сред. Анизотропной называется среда, теплопроводность ко торой зависит от направления. Закон Фурье в общем случае можно записать в тензорном виде
4i = - X i J t,i *=1.2,4,
где запятая после температуры обозначает дифференцирование. Тензор теплопроводности X itJ в прямоугольной системе координат (/ = х, у, z) имеет следующий вид:
XXX
х„
у х
К
Х*„У
Хт
УУ
К
х „
XZ
х т У 2
К
Для ортотропной среды, свойства которой изменяются в трех взаимно перпендикулярных направлениях, совпадающих с направлениями осей координат,
|
|
^ " х х |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
X „„ |
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
У У |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
X |
|
|
|
уравнение теплопроводности имеет вид |
|
|
|
|
||||||
дг |
д |
& J в, |
к |
|
- |
|
] |
|
к |
- ] + qY |
ос--- = |
---- |
” |
|
dz |
||||||
К дх |
дх |
|
|
9у) |
|
дг) |
||||
или при постоянной теплопроводности
dt _. К дх рс
f a 2*
сё |
гм |
Г
1
д2{ |
д г1 |
+ |
1 Х= |
||
к * ду2 |
h n . dz 2 |
pc' |
С учетом обозначений аи = Я„/(рс), ку = 'kyyfk xx, кг = Ха /Хх уравнение теплопроводности принимает стандартный вид
где оператор Лапласа V ff
Таким образом, для анизотропной среды уравнение теплопроводно сти также приводится к стандартному виду, однако изменяется вид опе ратора Лапласа, в нем появляются коэффициенты анизотропии куу кх, кор ректирующие теплопроводность по направлениям.
Запишем уравнение теплопроводности для высокоскоростных процессов. Полученное ранее выражение закона Фурье q = —X V t
предполагает бесконечно большую скорость распространения теплоты в теле, при которой градиент температуры и плотность теплового потока для любого момента времени т соответствуют друг другу. Это подтвер ждается для стационарных и медленно протекающих нестационарных процессов.
Для высокоскоростных процессов в условиях резкого изменения теп лового потока на поверхности тела перестройка температурного поля и из менение температурного градиента запаздывают вследствие тепловой инерции на время релаксации тг. Скорость распространения теплоты и время релаксации связаны соотношением
(4.8)
из которого следует, что время релаксации увеличивается с увеличением тепловой инерции тела и уменьшается с увеличением скорости распростра нения теплоты иг Например, для азота тг= 10'9 с, а для алюминия тг = 1(Г11с.
С учетом скорости распространения теплоты (4.8) в законе Фурье появляется дополнительный член
(4.9)
Рассмотрим с учетом (4.9) вывод одномерного уравнения теплопро водности, в котором отсутствуют внутренние источники тепла, тепло проводность и время релаксации постоянны. Проекция плотности тепло вого потока (4.9) на ось JC
(4.10)
подставив ее в уравнение теплопроводности |
|
||
|
ддх |
|
(4.11) |
|
дх |
’ |
|
|
|
||
получим |
|
|
|
|
+ Хг |
д 2дх |
(4.12) |
|
дх дх |
||
|
|
||
Продифференцируем уравнение (4.11) по х, получим |
|
||
d 2t |
d zqx |
(4.13) |
|
pc— - = |
------ — . |
||
д х2 |
дх дх |
|
|
Подставим смешанную производную из уравнения (4.13) в уравне ние (4.12) и поделим на рс, в результате получим одномерное уравнение теплопроводности
dt , |
d 2t |
|
(4.14) |
дх + Т' д х 2
В трехмерном случае при наличии источника тепла уравнение (4.14) принимает вид
d 2t |
= a V 2/ + ^ . |
(4.15) |
д х2 |
Р с |
|
Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности отно сится к классу гиперболических уравнений, в частном случае при тг=0 из него получается стандартное уравнение теплопроводности (4.1).
4.2. Краевые условия
Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет бесконеч ное множество решений. Чтобы найти единственное решение, характе ризующее конкретный процесс, необходимо задать краевые условия.
Краевые условия включают в себя начальное (временное) и гранич ные (пространственные) условия.
Начальное краевое условие необходимо для нестационарного про цесса и характеризует распределение температуры в начальный момент времени,
t(x, у, z, 0) = /(* , у, z), |
(4.16) |
часто его принимают однородным
f(T=0) = f0. |
(4.17) |
Граничные краевые условия характеризуют форму тела и условия его теплообмена с окружающей средой. Различают четыре вида гранич ных краевых условий.
При граничных условиях 1-го рода на поверхности тела для каждого момента времени задается распределение температуры
*п=/(*п» .Vo »*„.*)• |
(4Л8) |
В частном случае температура поверхности может поддерживаться постоянной во времени, такая граница называется изотермической
tn = const. |
(4.19) |
На рис. 4.1 показан процесс остывания тела с изотермической границей (fn = const), при этом плотность теплового потока, харак теризуемая тангенсом угла наклона каса тельной (tg \|f~q)yпеременна.
При граничных условиях 2-го рода на поверхности тела для каждого момента вре мени задается плотность теплового потока
Яп = f ( x „ , y n,z„,x). |
(4.20) |
В частном случае плотность теплового потока может поддерживаться постоянной во времени, например, при нагревании ме талла в высокотемпературных печах,
q n = const. |
(4.21) |
Рис. 4.1. Расчетная схема к граничным условиям 1-го рода
Рис. 4.2. Расчетная схема к граничным условиям 2-го рода
На рис. 4.2 показан процесс остывания тела при постоянной плотности теплового потока (q n = const), при этом температура поверхности тела переменна.
Частным случаем граничного условия 2-го рода является адиабатная граница (q n =0), например ось симметрии тела.
При граничных условиях 3-го рода на поверхности тела для каждого момента вре мени задается температура окружающей среды и закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой
|
9 „ = а ( ' „ - ' с ) > |
( 4 -2 2 ) |
где |
а - коэффициент теплоотдачи, |
|
а |
= |
(4.23) |
характеризующий плотность теплового потока при единичной разности температур между поверхностью те ла и окружающей средой.
С учетом закона Фурье гранич ное условие 3-го рода имеет вид
- Х ^ - = а ( ( п - (с). (4.24)
Рис. 4.3. Расчетная схема к граничным условиям 3-го рода
Входящий в это условие темпе ратурный градиент может быть представлен в соответствии с обо значениями рис. 4.3, на котором по казан процесс остывания тела
dt _ t, - tc _ АВ дп — Х/а АС
При этом изменяются как температура поверхности тела (/„), так
и плотность теплового потока (#~tg \j/).
Отметим, что граничные условия 1-го и 2-го рода являются частны ми случаями граничных условий конвективного теплообмена:
1 |
|
|
X dt |
, |
|
v |
= tc- изотермическая граница; |
1.a |
= оо = > --------- = (fn |
—tc) => / п |
|||||
|
|
|
а дп |
|
|
' |
|
2 . |
а = 0 |
=> |
q n = a ( t n - t c) => |
q n = 0 - адиабатная граница. |
|||
Граничные условия 4-го рода - это условия теплообмена на границе |
|||||||
контакта двух тел (рис. 4.4) |
|
|
|
||||
|
—Л.. ^ |
= |
- л а |
|
At |
(4.25) |
|
|
дп |
|
|||||
|
дп |
2 |
|
|
|
||
где RK [К м2/Вт] - тепловое сопротивление контакта, зависящее от давления, чистоты поверхностей и других факторов. В частном случае идеального контакта (Лк=0)
-X |
dt. |
(4.26) |
= -Х . _2_ |
||
дп |
дп |
|
т.е. коэффициент теплопроводности и тем пературный градиент обратно пропорцио нальны: чем выше коэффициент теплопро водности материала, тем меньше в нем тем пературный градиент.
Дифференциальное уравнение теплопроводности вместе с краевы ми условиями образуют краевую задачу теплопроводности, имеющую единственное решение.
4.3. Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности
Рассмотрим одномерную нестационарную задачу теплопроводно сти при граничных условиях 3-го рода, моделирующую температурное поле в плоском слое (рис. 4.5). Для записи краевой задачи теплопровод ности
|
|
дЧ_ |
|
|
|
дх |
|
< т = 0) = *о> |
|
|
й д х2' |
|
||
|
- |
^ £ |
и = а (^п - ^ с ) |
(4-27) |
выберем безразмерные переменные: тем |
||||
пературу |
Q = t/t0 и координату X = х/1 |
|||
Размерные переменные t = Q -t0 и х = X • / |
||||
подставим в дифференциальное уравнение |
||||
т = |
t0d 2e |
до |
д 20 |
|
dt |
° 12д Х 2 |
а |
д Х 2' |
|
|
|
|
д |
|
Рис. 4.5. Температурное поле |
|
|
|
|
плоского слоя |
Fo = — |
— ;— число Фурье, ха- |
||
Здесь |
||||
|
|
12 |
I2/а |
|
растеризует безразмерное время процесса теплопроводности, его назы вают числом гомохронности (однородности по времени). Если для двух систем характерная длительность I2/а имеет одно и то же значение, то гомохронность переходит в синхронность.
Итак, безразмерная форма дифференциального уравнения теплопро
водности |
|
|
|
д 0 _ |
д 20 |
(4.28) |
|
1 )Т о ~ ~ д Х 2 |
|||
|
|||
Такое же обезразмеривание применим к граничным условиям 3-го |
|||
рода: |
|
|
|
|
3f |
=> |
|
|
дх |
||
|
|
||
А0 |
_ 90 - |
а I А0. |
|
ШХ |
д х u |
|
|
В результате получим безразмерное граничное условие
где Bi = ------- число Био, характеризующее отношение температурного А.
перепада 8 1 к температурному напору At. Действительно,
~ x S u = a ( ' n " ' c) ^ ~xj =a At
8t_ a / = BL
At
При малых числах Био, когда температурный перепад меньше тем пературного напора (5/ < АО, в теплообмене большую роль играет усло вие на границе, т.е. внешнее тепловое сопротивление. При больших чис лах Био, когда температурный перепад больше температурного напора (51 > АО, в теплообмене большую роль играет теплопроводность, т.е. внутреннее тепловое сопротивление плоского слоя.
Вопросы для самоконтроля
1.Дифференциальное уравнение теплопроводности, его физический смысл.
2.Частные случаи уравнения теплопроводности: уравнения Лапла са, Фурье, Пуассона.
3.Как учитываются в уравнении теплопроводности неоднородные свойства?
4.Как учитываются в уравнении теплопроводности анизотропия свойств?
5.Выведите уравнение теплопроводности для высокоскоростных процессов.
6.Как задаются граничные условия теплообмена первого, второго
итретьего видов? Физический смысл коэффициента теплоотдачи.
7.Граничные условия контактного теплообмена (четвертого вида). Смысл и размерность теплового сопротивления контакта.
8.Безразмерная формулировка краевой задачи теплопроводности. Числа Био и Фурье, их физический смысл.
