книги / Теплофизика в металлургии

удобно производить в одно и то же число раз, например, йх, hJ2, hJA, h ji и т.д. По каждой паре сеток производят уточнение, включая главный член погрешности (10.33). Уточненные решения также группируют в па­ ры и исключают ошибку следующего, более высокого порядка точности. Число возможных уточнений на единицу меньше числа сеток. При этом на каждом уточнении вычисляется погрешность (10.33), позволяющая увеличить точность приближенного решения (10.34).

На практике полезно строить график изменения функции в характер­ ной точке при сгущении сетки (рис. 10.4). При этом схемы первого по­ рядка точности в области достаточно густой сетки дают линейное при­ ближение к точному решению, а схемы второго порядка точности - параболическое.

Рис. 10.4. Стремление численных решений к точному решению со сгущением сетки при схемах аппроксимации первого (1)

и второго (2) порядков точности

Правило Рунге является частным случаем общего метода экстрапо­ ляции Ричардсона с целью уменьшения ошибок аппроксимации.

Общим свойством ошибок аппроксимации является их исчезнове­ ние при асимптотическом стремлении к нулю шагов сетки.

Кроме ошибок аппроксимации, связанных с точностью представле­ ния отдельных членов уравнения переноса, существуют ошибки, связан­ ные со схемой конечно-разностного аналога всего уравнения переноса (схемные ошибки), В отличие от ошибок аппроксимации схемные ошиб­ ки не исчезают при асимптотическом уменьшении шагов сетки. Однако

Поделим последнее уравнение на АД и перейдем к индексным обозначениям, учитывая, что времени т соответствует индекс к - 1, а т+А - индекс А, получим

Отметим, что конечно-разностный аналог (10.39) уравнения перено­ са, полученный интегральным методом, отличается от соответствующего аналога (10.13), полученного применением приближенных конечно-раз­ ностных формул ряда Тейлора непосредственно к уравнению переноса, т.е. дифференциальным методом. Отличие касается аппроксимации кон­ вективного члена уравнения.

Для того чтобы выявить это отличие, приведем полученную инте­ гральным методом аппроксимацию конвективного члена к виду уравне­ ния (10.13). Для этого предположим, что скорость линейно возрастает в направлении координаты х. Пользуясь формулой усреднения (индекс к- 1 опускаем)

Указанное отличие, как видно из сравнения (10.40) с соответствую­ щей аппроксимацией конвективного члена уравнения (10.13), составляет

A u -S i/h xn исчезает, когда Дм = 0, т.е. при постоянной скорости. Это сви­ детельствует о том, что интегральный и дифференциальный методы дают различные конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения переноса, причем это различие увеличивается с возрастанием градиента скорости переноса. Интегральный метод позволил учесть закон сохране­ ния переносимого параметра S, сформулированный в виде дифференци­ ального уравнения переноса, в дискретном аналоге этого уравнения. Сле­ довательно, ошибку Дм • S. / hxможно трактовать как нарушение закона со­ хранения переносимого параметра в дискретном аналоге уравнения переноса, полученном дифференциальным методом.

Заметим, что указанная схемная ошибка в отличие от ошибок аппрок­ симации при сгущении сетки (hx —>0) не только не стремится к нулю, но даже возрастает.

Рассмотренный пример иллюстрирует преимущество интегрально­ го метода для получения конечно-разностного аналога уравнения пере­ носа перед дифференциальным методом. Однако если дифференциаль­ ный метод применить к уравнению переноса в консервативной форме, то соответствующий конечно-разностный аналог полностью совпадет с (10.39), т.е. закон сохранения переносимого параметра будет строго соблюдаться и в дискретном аналоге уравнения. Форма уравнения пе­ реноса потому и называется консервативной, что она обеспечивает вы­ полнение интегрального закона сохранения переносимого параметра даже при дифференциальном методе получения конечно-разностного аналога.

Другая схемная ошибка связана с неодинаковой точностью конеч­ но-разностного представления отдельных членов уравнения переноса. Поясним ее на следующем примере. Запишем стационарное уравнение пе­ реноса без источника (5=0):

Получим конечно-разностный аналог этого уравнения, применяя для аппроксимации правой части (диффузионного члена) формулу (10.9) вто­ рого порядка точности, а для левой части (конвективного члена) - форму­ лу правосторонней разности (10.5) первого порядка точности:

Уравнение (10.42) имеет низший, первый порядок точности, поэтому по­ грешностью 0 ^h * y имеющей более высокий второй порядок, можно

пренебречь. Подставляя в (10.42) погрешность 0(hx ) из (10.5), получим

Усредним скорость в пределах шага сетки и = и и объединим коэф­ фициенты при вторых производных, в результате получим

(10.44)

Из последнего уравнения видно, что погрешность влияет на коэффици­ ент при диффузионном члене уравнения переноса, поэтому ее называют

схемной искусственной диффузией. Вынесем в уравнении (10.44) коэф­ фициент диффузии за скобку:

При переносе импульса параметр А принимает значение кинемати­ ческой вязкости (A=v), при переносе тепла - коэффициента температуро­ проводности (А=а). Введем сеточные числа Рейнольдса и Пекле по Ло­ кальной скорости и характерной длине, равной шагу сетки:

а при переносе тепла - в схемную температуропроводность,

откуда

(10.47)

Последние соотношения являются условиями, при которых счетная вязкость и температуропроводность не проявляются. Эти соотношения

Однако в практических расчетах ограничение (10.48) оказывается очень жестким, поэтому диффузия, которую мы будем в дальнейшем назы­ вать счетной диффузией, всегда присутствует. С математической точки зре­ ния счетная диффузия увеличивает физическую вязкость и температуро­

Счетная диффузия проявляется в «размазывании» внешних возму­ щений, в стремлении сделать распределение переносимых величин бо­ лее однородным.

Отметим, что аппроксимация всех членов уравнения переноса с оди­ наковым порядком точности, например, вторым, приводит к исключе­

нию счетной диффузии. Имея в виду перенос импульса, такие схемы на­ зывают безвязкостными.

Следующая схемная ошибка связана с нарушением свойств транспортивности, при котором внешнее возмущение переносится за счет конвекции только в направлении скорости. Ошибку транспортивности проиллюстрируем на уравнении переноса, учитывая в нем только нестационарный и конвективный члены,

Конечно-разностный аналог этого уравнения запишем с помощью формул правосторонней и центральной разностей:

Рассмотрим некоторое возмущение *S=8 только в одной точке полагая н>0. Тогда в точке i=n+ 1 по потоку

Таким образом, возмущение 8, которое должно переноситься только в направлении скорости, т.е. по потоку, при использовании формулы центральной разности для конвективного члена переносится и против потока. Схема (10.52) не обладает поэтому свойством транспортивности, а (10.54) характеризует схемную ошибку в точке i= n-1, связанную с На­ рушением этого свойства. Нарушение свойства транспортивности экви­ валентно возникновению фиктивных (счетных) источников (стоков) в конечно-разностном аналоге уравнения переноса.

Существуют и другие схемные ошибки, связанные главным образом с нестационарностью и многомерностью уравнения переноса. Схемы ап­ проксимации уравнения переноса, свободные от схемных ошибок, назы­ ваются нейтральными.

10.4. Способы аппроксимации конвективных членов

Как мы уже убедились при анализе схемных ошибок, аппроксима­ ция конвективного члена уравнения переноса играет важную роль в чис­ ленном решении этого уравнения. Поэтому целесообразно провести сравнительный анализ нескольких наиболее распространенных разност­ ных схем на регулярной сетке.

Схема с центральнымиразностями

консервативна, так как конвективный член записан в дивергентной фор­ ме, имеет второй порядок точности, поэтому она свободна от счетной диффузии. Однако главным недостатком этой схемы является, как мы уже убедились ранее, ее нетранспортивность. Поэтому схема (10.55) применяется в расчетной практике редко, в основном при малых числах Рейнольдса (Пекле).

В первой схеме сразностями против потока используются одно­ сторонние разности, а не центральная разность, причем при положитель­ ной скорости потока используется формула лево-, а при отрицательной - правосторонней разности, т.е.

м,. < 0 ,

(10.56)

м, > 0

Зависимость односторонних разностей от знака скорости приводит в отличие от предыдущей схемы к выполнению свойства транспортивности, при котором перенос возмущения обеспечивается всегда в направ­ лении потока. Однако схема (10.56) не консервативна, имеет первый порядок точности, т.е. обладает счетной диффузией, пропорциональной сеточному числу Рейнольдса (Пекле).

Вторая схема с разностями против потока известна как схема с донорнымиячейками. В ней используются усредненные значения ско­ ростей на границах ячейки, содержащей узловую точку