книги / Теплофизика в металлургии

где Щи, у, w) - вектор скорости; V p - градиент давления; а2, р2 - коэффи­ циент температуропроводности и плотность жидкой фазы металла.

На границе фазового перехода (на рис. 9.1 это граница х = е) плотно­ сти тепловых потоков в твердой и жидкой фазах равны и связаны со ско­ ростью продвижения границы соотношением

(9.5)

где L [Дж/кг] - удельная теплота фазового перехода; плотность р отно­ сится к исходной фазе, при затвердевании металла это плотность жидкой фазы.

Таким образом, постановка задачи включает уравнение теплопро­ водности для твердой фазы (9.1), систему уравнений тепломассопереноса (9.2-9.4) в жидкой фазе и баланс тепловых потоков на границе раздела фаз (9.5). Задача замыкается другими рассмотренными ранее краевыми условиями, включающими начальное распределение температуры и по­ ля скоростей жидкой фазы, условия теплообмена на поверхности слитка (х=0) и на оси симметрии (*=5), условия «прилипания расплава» на границе фазового перехода.

9.2. Затвердевание плоского слоя

Рассмотрим задачу затвердевания плоского слоя из неперегретого неподвижного расплава, имеющего постоянную температуру U«г- По­ скольку на левой поверхности слоя поддерживается постоянная темпе­ ратура t„< происходит затвердевание расплава, т.е. формируется во

Эффективная теплоемкость (9.12) в этих условиях скачком возраста­ ет в интервале температур двухфазной зоны (рис. 9.7),

Таким образом, выделение скрытой теплоты затвердевания учиты­ вается за счет эквивалентного повышения теплоемкости в двухфазной зоне. При такой постановке

лоемкости от температуры (рис. 9.8) наблюдается спектр повышения тепло­

в которых выделяются теплоты указанных переходов. Поэтому его реше­ ние сводят к последовательному решению линейных уравнений с независя­ щей от температуры неоднородной теплоемкостью. Сначала задают посто­ янную теплоемкость и находят поле температур. По найденному полю тем­ ператур уточняют поле спектральных теплоемкостей и задачу решают вновь. Процесс вычислений продолжается до получения удовлетворитель­ ной точности.

9.4. Приближенный учет конвекции жидкого ядра кристаллизующегося слитка

Для многих металлов коэффициент теплопроводности с увеличени­ ем температуры уменьшается, поэтому теплопроводность твердой фазы больше теплопроводности жидкой фазы (Х^Х*). Однако в жидкой фазе (жидком ядре слитка) тепло переносится не только теплопроводностью, но и конвекцией. Причинами этому могут быть естественная конвекция перегретого расплава, перемешивание расплава струей подаваемого жидкого металла, электромагнитные и другие воздействия на жидкое яд­ ро слитка. Конвективный теплоперенос в объеме жидкой фазы может быть учтен введением эквивалентной теплопроводности

(9.14)

где £ к - коэффициент конвекции, зависящий от интенсивности движения расплава. В частности, в условиях свободной конвекции он зависит, как было показано ранее, от критерия Рэлея и может достигать нескольких де­ сятков. Таким образом, эквивалентная теплопроводность жидкой фазы может значительно превышать теплопроводность твердой фазы слитка.

При затвердевании сплавов, температурный интервал двухфазной зоны которых заключен между значениями температур ликвидуса и солидуса, возникает необходимость интерполяции теплопроводности. На рис. 9.9 показан вариант линейной интерполяции теплопроводности в двухфазной зоне:

Рис. 9.9. Аппроксимация теплопроводности у фронта фазового перехода

Возрастание эквивалентной теплопроводности в жидкой фазе при ее перемешивании приводит к увеличению теплоотдачи на фронте фазово­ го перехода, разогреву твердой фазы и соответственному увеличению теплоотдачи на поверхности слитка.

Вопросы для самоконтроля

1. Как определяются границы фронта фазового перехода при затвер­ девании сплавов?

2.Как определяется плотность теплового потока на границе фазово­ го перехода?

3.Математическая формулировка задачи теплопроводности с под­ вижной границей фазового перехода.

4.Получите «закон квадратного корня» роста корки твердой фазы при затвердевании слитка.

5.Какова методика сквозного счета в задачах теплопроводности со структурными и фазовыми переходами?

6.Вид функции относительного содержания твердой фазы в задачах

сфазовым переходом.

7.Способы вычисления эффективной и спектральной теплоемкостей.

8.Способ вычисления теплопроводности на границе фазового пере­

хода.

9.Как приближенно учесть конвекцию жидкого ядра кристаллизую­ щегося слитка в задачах теплопроводности?

10. ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО

ЭКСПЕРИМ ЕНТА В ЗАДАЧАХ

ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

10.1. Основные понятия метода сеток

Решение краевых задач теплофизики в каждом конкретном случае является достаточно сложным процессом. Аналитическое решение даже одномерного уравнения теплопроводности, являющегося дифференци­ альным уравнением в частных производных параболического типа, трудноосуществимо, если иметь в виду зависимость теплофизических свойств от температуры, нелинейность граничных условий, т.е. зависи­ мость их от температурного поля. Можно сказать, что аналитические ме­ тоды оказываются практически непригодными для нахождения двух- и трехмерных температурных полей в областях сложной конфигурации. От этих недостатков свободны численные методы, в которых дифферен­ циальные операторы заменяются алгебраическими, получающиеся мат­ ричные уравнения решаются на компьютерах с нахождением темпера­ турного поля в узловых точках конечно-разностной сетки.

Основная идея численных методов состоит в замене непрерывных производных по времени и координатам, входящих в уравнения переноса и Пуассона, а также в краевыеусловия, их приближенными значениями в от­ дельных точках (узлах) конечно-разностной сетки. В результате такой за­ мены дифференциальная краевая задача сводится к системе алгебраических (матричных) уравнений относительно искомых параметров в узлах и ячей­ ках сетки.

В общем случае расположение узлов сетки в исследуемой области мо­ жет быть произвольным. Оно определяется особенностями решаемой зада­ чи. На практике часто применяют сетку, равномерно покрывающую расчет­ ную область. Такая сетка с постоянными расстояниями между ближайши-

ми узлами (ma^a^li i ltenf 1) нас! fteоаотря-■'регулярной? PpdsQJ];нт такой сетки

Л ы

Ат

Нх

Рис. 10.1. Фрагмент регулярной сетки

ми узлами (шагами сетки) называется регулярной. Фрагмент такой сетки применительно к одномерной нестационарной задаче показан на рис. 10.1. Узлы этой сетки определяются координатами

где N - число разбиений по толщине слоя Нх; hx, ht - соответственно шаги

пространственной (по х) и временной (по т) сеток; /, к - номера узловых

точек в направлении координат х, т .

Получим приближенные (аппроксимированные) формулы для пер­ вой и второй производных переносимой величины S(x, х), входящей в уравнение переноса. Для этого рассмотрим ее разложение в ряд Тейло­

Ряд является убывающим, и для нахождения приближенного значе­ ния первой производной можно ограничиться двумя членами разложе­ ния. Третий член разложения (10.2), являясь максимальным из отбро­ шенных, характеризует в этом случае ошибку аппроксимации или огра­