книги / Теплофизика в металлургии

с решением одномерного уравнения. Идея расщепления заключается в том, что многомерное уравнение переноса сводится к сходящейся по­ следовательности одномерных уравнений с одновременным сокращени­ ем числа арифметических операций. Рассмотрим эту идею на примере расщепления уравнения переноса без источника (5=0) в прямоугольной области

хк = { k - l) h x, к = 1,2,

где NyM - числа разбиений области в направлении координат х, у. Применение явной схемы аппроксимации, рассмотренной для од­

номерного уравнения переноса, легко распространяется на двухмер­ ный случай. Количество арифметических действий на одном времен­ ном слое, пропорциональное числу узлов N в одномерном аналоге, становится пропорциональным N-M в двухмерном аналоге, т.е. оста­ ется пропорциональным числу узлов сетки. При неявной схеме ап­ проксимации одномерного уравнения переноса число арифметиче­ ских действий при решении системы матричных уравнений прямым методом пропорционально N2, а для двухмерного уравнения это число операций возрастает пропорционально {N-M)1 При сведении двух­ мерного уравнения переноса к двум одномерным число арифметиче­ ских действий пропорционально (ТУ2+Л/2) и значительно сокращается по сравнению с (N'M )2.

Схемы аппроксимации, в которых число арифметических действий, необходимых для перехода от одного временного слоя к другому про­ порционально числу неизвестных, называются экономичными. Напри­ мер, экономична явная схема, в которой, однако, объем вычислений ве­ лик из-за жесткого ограничения на шаг по времени. Экономичной явля­ ется и схема расщепления неявного уравнения переноса, позволяющая проводить расчеты с большими шагами по времени.

\ п ' +Ф-(* “) +фЛ А V ') = A [A - ( * ) + A ,W ]- <10-89>

При переходе с полуцелого слоя схема, наоборот, явна по у и неяв­ на по х :

S ‘Jh + ФX(S и) + Фу(§ v) = A [ A x(s) + A y(5)]. (10.90)

Описанную схему расщепления называют продольно-поперечной прогонкой. Уравнения (10.89), (10.90) можно переписать, поместив неиз­ вестные в левую, а известные в правую часть:

S,., + у[ф.(Й')-<Л.('9)Н и - YK(^)-^A,(s)j.

В результате для всех внутренних точек соотношения (10.91) обра­ зуют две системы линейных алгебраических уравнений:

которые решаются последовательно. Коэффициенты и правые части урав­ нений (10.92) могут быть найдены из сравнения их с уравнениями (10.91). Решению каждой системы предваряет снос части граничных условий с предыдущего слоя, который на схеме расщепления (см. рис. 10.9) пока­ зан штриховыми стрелками.

Продольно-поперечная схема расщепления объединяет преимуще­ ства явной и неявной схем, поэтому ее называют явно-неявной.

При решении трехмерного уравнения переноса вводится два полуцелых слоя: £-1/3 и £-2/3. Выполняя аналогичные преобразования, можно показать, что задача в этом случае сводится к последовательному реше­ нию трех систем линейных алгебраических уравнений на каждом слое по времени.

Итерационный процесс (10.96) заканчивается при достижении тре­ буемой точности:

\ич+1

Y i j

где Еунаперед заданное малое число. Необходимое число итераций зави­ сит от числа узловых точек и уменьшается от нескольких десятков в на­ чальной стадии решения о - 1|/-/-системы, когда градиенты велики, до не­ скольких единиц по мере уменьшения градиентов.

Основное преимущество итерационного метода заключается в само­ корректирующемся решении, дающем минимальные ошибки округле­ ния. Привлекает в нем и простота вычислительного алгоритма.

Другой алгоритм состоит в переходе от уравнения (10.93) к уравнению

т* —♦ оо д\у/дх —>0 уравнения (10.93) и (10.98) совпадают. К уравнению (10.98) можно применить расщепление по указанному параметру. При­

где А . - шаг параметра установления или итерационный параметр. Соотно­ шения (10.99) приводят к двум системам алгебраических уравнений, совпа­ дающих по структуре с уравнениями (10.92). Точность итерационного про­ цесса, как и в первом случае, контролируется условием (10.97). Второй ал­ горитм более трудоемок, но может оказаться предпочтительнее из-за высокой скорости сходимости при удачном выборе итерационного пара­

полненной с размещением ненулевых элементов по диагонали в три ряда. Такие матрицы называются ленточными трехдиагональными. Важным свойством является симметрия матрицы относительно ее диагонали, выте­ кающая из равенства коэффициентов а и с в уравнении (10.100). Указанные свойства матрицы [Я] позволяют занимать незначительное место для ее хранения в запоминающем устройстве компьютера, поэтому матрицу [Я] называют порождающейся в отличие от хранящейся матрицы.

Перейдем к рассмотрению эффективных способов решения системы

( 10. 100).

10.10. Метод прогонки

Метод прогонки является модификацией метода исключения Гаус­ са, учитывающей свойства матрицы Я. Решение системы (10.100) в узло­ вой точке ищется в виде линейной функции. В частности, для (М)-й точ­ ки эта функция имеет вид

где р у, z .- неизвестные пока вспомогательные коэффициенты. Подста­ вим (10.103) в (10.100):

который реализуется в фортран-программе:

SUBROUTINE PROG(A,B,C,F)

DIMENSION BETA(lOl), ZET(101), F(101)

COMMON S(101), N, TC, LAMBDA, H, ALFA

N1 =N-1

C = LAMBDA/ALFA/H

BETA(2) = C/(l+C)

ZET(2) = TC/(1+C)

DO 1 1 = 2,N

R=A*BETA(I)+B

BETA(U-l) = -C/R

1ZET(I+1) = (F(I) -A*ZET(I))/R

S(N) = (C*ZET(N+1)+TC)/( 1+C*( 1 -BETA(N+1))) DO 2 I = 2, N1

J = N+l-I

2 S(J) = BETA(J+1) *S(J+1)+ZET(J+1) RETURN

END

В качестве теста для проверки программы рассмотрим пример ста­ ционарной теплопроводности плоской стенки при граничных условиях