книги / Теплофизика в металлургии

миаКаизю он Зона ^2©юен и йохачзлн

Рис. 10.12. Укрупненная блок-схема решения задачи конвективного теплообмена

При выходе из внешних итераций проводится расчет чисел Нуссельта, и вычислительный цикл повторяется для нового слоя по времени. Ес­ ли находится стационарное решение задачи, то необходимость во внеш­ них итерациях отпадает, и расчет чисел Нуссельта откладывается до вы­ хода решения на стационарное с заданной степенью точности.

Алгоритм решения рассмотрим на примере co-vj/-/- системы в безраз­ мерных переменных в прямоугольных координатах:

д у

(10.139)

дх

Система уравнений (10.138) решается при заданных начальных и гра­ ничных краевых условиях для области, показанной на рис. 2.10:

Опишем последовательность перехода от (к-1)-то слоя к к-му на примере неявной схемы аппроксимации уравнений переноса завихренности и температуры. Сначала методами продольно-поперечной прогонки или редукции вычисляются на к-м слое со, ttJ во внутренних узловых точках, причем последовательность их расчета несущественна. Затем одним из описанных методов решается уравнение Пуассона для функции тока, и считаются скорости по дискретным аналогам формул (10.139). Для вычисления компонент скорости можно рекомендовать формулу вида

где р - номер внешней итерации. При значениях чисел Прандтля, близ­ ких к единице, скорости сходимости итерационных процессов по темпе­ ратуре и завихренности примерно одинаковы. При числах Прандтля, меньших единицы, что соответствует расплавленным металлам, сходи­ мость по температуре может достигаться медленнее, чем по завихренно­ сти. В этом случае «замораживание» температурного поля в течение не­ скольких шагов по времени и расчет только завихренности могут при­ вести к экономии времени счета.

Для ускорения сходимости внешних итераций рекомендуется сгла­

где т\ - параметр сглаживания, зависящий от критериев Gr, Re, Рг. При G rPr<105 оптимальное значение близко к 0,85.

Неявная схема позволяет проводить расчеты с большими шагами по времени, чем явная схема. Однако увеличение временного шага не всегда оправдано, так как приводит к увеличению внешних итераций. Для сокра­ щения общих затрат времени счета весьма эффективен выбор шага Ат в за­ висимости от количества внешних итераций, выполненных на предыду­ щем слое. Можно рекомендовать следующий алгоритм выбора шага по времени. Если количество внешних итерацийр на (А-1)-м слое больше че­ тырех, то на (к)-м слое выбирается шаг h* = 0,7/z^"1. Прир<4 шаг увели­

чивается: А* = 1,2А,*-1. Еслир> 8, то А* уменьшается вдвое и расчет повто­ ряется. Эта мера гарантирует устойчивость счета, так как наступлению не­ устойчивости предшествует резкое возрастание количества внешних итераций. При этом если величина шага приводит к нарушению условия устойчивости Куранта, то шаг пересчитывается по формуле hf = 0,7А,*Н

Общие затраты компьютерного времени зависят также от задавае­ мой точности внутренних и внешних итераций ev, е^, е ,. Рекомендуется задавать £^=0,005, еш= £,=0,01. С уменьшением указанных значений до­ пустимых погрешностей увеличиваются затраты компьютерного време­ ни при практически неизменном решении, увеличение погрешностей приводит к колебаниям решения.

Во многих практических задачах требуется знать стационарный, т.е. установившийся во времени режим теплообмена. В этом случае исполь-

зуется метод установления, идея которого состоит в том, что решение стационарной задачи рассматривается как предел, к которому стремится решение соответствующей нестационарной задачи при т —>оо. При этом сам процесс установления стационарного режима (т.е. промежуточные результаты счета) интереса не представляют. Благодаря такому подходу для решения стационарной oo-y-f-системы можно использовать описан­ ную выше последовательность расчетов, трактуя при этом т не как физи­ ческое время, а как итерационный параметр. Поскольку на промежуточ­ ных слоях по т решение лишено физического смысла, отпадает необхо­ димость во внешних итерациях и точном решении уравнения Пуассона. Поэтому, имея в виду отсутствие внешних итераций, схему перехода от слоя к слою для получения стационарного решения называют безитерационной. Процесс счета заканчивается при выходе на установление по всем трем параметрам со-у-Г-системы с наперед заданной точностью.

10.14. Локальное и интегральное числа Нуссельта

Решение задачи тепловой конвекции, дающее поле температур в уз­ ловых точках (нестационарное или установившееся), позволяет опреде­ лить локальные коэффициенты теплоотдачи. Запишем уравнение тепло­ отдачи в пограничном слое для вертикальной стенки (х=0) канала прямо­ угольного сечения (см. рис. 2.10):

(10.148)

Это уравнение можно представит в безразмерных переменных:

3 t

(10.149)

где Nu = al/X - число Нуссельта, являющееся безразмерным коэффици­ ентом теплоотдачи; tn - температура твердой поверхности; tc - темпера­ тура вязкой среды. Запишем дискретный аналог уравнения (10.149) в не­ которой точке j вертикальной стенки (/=1, см. рис. 10.6). Здесь и далее черту над безразмерными переменными опускаем

(10.150)

Формулу (10.150), имеющую первый порядок точности, можно ис­ пользовать для вычисления локальных чисел Нуссельта в сочетании со схемами аппроксимации уравнений переноса и Пуассона, имеющими та­ кой же порядок точности.

Для получения более точной формулы запишем разложение темпе­ ратуры в ряд Тейлора в окрестности границы (/=1):

Учитывая три члена разложения

и записывая вторую производную в конечных разностях, получим

dt

dx ) Xj hx

откуда

(10.152)

Полученная формула производной имеет второй порядок точности, и с ее учетом можно записать более точную по сравнению с (10.150) фор­ мулу для локального числа Нуссельта

(10.153)

И, наконец, интегральное число Нуссельта для всей вертикальной стенки высотой Ну определяется по формуле

которая в дискретной виде на регулярной сетке переходит в формулу для суммирования локальных чисел Нуссельта на регулярной сетке:

м

(10.155)

Вопросы для самоконтроля

1. Регулярная и нерегулярная конечно-разностные сетки. Запись первой и второй производных с первым и вторым порядками точности.

2. Явная и неявная схемы аппроксимации уравнения переноса энер­

гии.

3. Схемы аппроксимации первого и второго порядков точности для уравнения теплопроводности.

4.Сравнительная характеристика ошибок округления, аппроксима­ ции и схемных ошибок в вычислительном эксперименте.

5.Как оценить погрешность в вычислительном эксперименте?

6.От чего зависит схемная ошибка консервативности в уравнении переноса?

7.Условия существования схемной ошибки искусственной диффу­ зии, как она проявляется в численном решении? Счетная вязкость и тем­ пературопроводность.

8.Причины возникновения и проявление схемной ошибки транспортивности.

9.Способы аппроксимации конвективных членов уравнения пере­ носа. Понятие о нейтральных разностных схемах.

10.Динамическая и статическая неустойчивость численного реше­ ния. Сеточное число Рейнольдса, число Куранта.

11.Способы аппроксимации граничных условий для завихренности. Формула Тома.

12.Формулы аппроксимации граничных условий конвективного те­ плообмена первого и второго порядков точности.

13.Метод расщепления многомерной задачи конвективного тепло­ обмена на последовательность одномерных задач.

14.Метод прогонки решения матричных уравнений и его реализа­ ция на компьютере.

15.Каковы особенности и преимущества метода редукции по срав­ нению с методом прогонки?

16.Итерационный метод последовательной линейной верхней релак­ сации решения матричных уравнений и его реализация на компьютере.

17.Как организовать алгоритм решения сопряженных уравнений тепломассопереноса на компьютере?

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: в 2 т. Т.1 / Д. Андресон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер; пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 384 с.

2.Андерсон Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: в 2 т. Т.2 / Д. Андресон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер; пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 392 с.

3.Блох А.Г. Теплообмен излучением: справочник / А.Г. Блох, Ю.А.Журавлев, Л.Н. Рыжков - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 432 с.

4.Краснощеков Е.А. Задачник по теплопередаче: учеб, пособие для вузов / Е.А. Краснощеков, А.С. Сукомел -4-еизд.,перераб.-М.: Энергия, 1980.-288с.

5.Лыков А.В. Теория теплопроводности: учеб, пособие / А.В. Лыков - М.: Выс­ шая школа, 1967 . - 599 с.

6.Мухачев Г.А. Термодинамика и теплопередача: учеб, для авиц. вузов / Г.А. Мухачев, В.К. Щукин - 3-е изд. перераб.-М.: Высшая школа, 1991.-480 с.

7.Нащокин В.В. Техническая термодинамика и теплопередача: учеб, пособие для неэнерг. спец, вузов / В.В. Нащокин - М.: Высшая школа, 1975 . - 496 с.

8.Роуч П. Вычислительная гидродинамика / П. Роуч - М.: Мир, 1980. - 616 с.

9.Самойлович Ю.А. Кристаллизация слитка в электромагнитном поле / Ю.А. Самойлович. М.: Металлургия, 1986. - 168 с.

10.Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции / Е.Л. Тарунин. - Иркутск: Изд-во Иркут, ун-та, 1990. - 228 с.

11.Телегин А.С. Термодинамика и тепломассоперенос: учебник для студентов металлургических вузов / А.С. Телегин, В.С. Швыдкий, Ю.Г. Ярошенко. - М.: Металлургия, 1980. - 264 с.

12.Теплотехника: учеб, для вузов / В.Н. Луканин, М.Г. Шатров, Г.М. Камфер [и др]. - 4-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2003. - 671 с.

13.Тепловые процессы при непрерывном литье стали / Ю.А. Самойлович, С.А. Крулевецкий, В.А. Горяйнов, [и др]. - М.: Металлургия, 1982. - 152 с.

14.Теплопередача: учеб, для вузов /В.П. Исаченко, В.А. Осипова, А.С. Сукомел. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергоиздат, 1981. - 416 с.

15.Цаплин А.И. Теплофизика внешних воздействий при кристаллизации сталь­ ных слитков на машинах непрерывного литья / А.И. Цаплин. - Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. - 238 с.

Учебное издание

Цаплин Алексей Иванович

ТЕПЛОФИЗИКА В МЕТАЛЛУРГИИ

Учебное пособие

Редактор и корректор И.Н. Жеганина

Подписано в печать 15.08.2008. Формат 60 х 90/16.

_____ Уел, печ. л. 14,5. Тираж 150 экз. Заказ № 219/2008._____

Издательство Пермского государственного технического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29, к. 113. Тел. (342) 219-80-33.