книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов

симируем функцию Ф (X) полиномом третьей степени и проинте­ грируем дифференциальное уравнение (IV.72) при начальных усло­ виях (IV.73). В результате получим, что

где коэффициенты А% должны быть определены на основании экспериментальных данных, а величину X находим по формуле

Коэффициент интенсивности Кг (R) для рассматриваемого слу­ чая вычисляем по формуле (III.92), полагая в ней d = 2R. При этом отметим также, что для удобства вычислений в соотношении (IV.74) целесообразно перейти к безразмерным величинам, прини­

где е0 = 2R0D *; ет= 2RmD \

Определение коэффициентов А\ на основании эксперименталь­ ных данных испытания цилиндрического образца с кольцевой тре­ щиной по указанной на рис. 32 силовой схеме осуществляют сле­ дующим образом. В результате упомянутого испытания нахо­ дят значения радиусов контуров трещин Rm (т = 1, 2, 3) после трех продвижений кольцевой трещины в результате нагружения Nmциклов (пг = 1, 2, 3). Используя эти данные, а также соотноше­ ния (IV.76) для каждого т-то продвижения трещины, можно запи­ сать уравнения

где коэффициенты cimв соответствии с (IV.76) вычисляются по фор­ мулам

и для различных значений г, гг, к вычислим интеграл Fim с помо­

щью ЭВМ «Мир-2», положив v = 0,3 и 2LD~~i = 10 (табл. 1). Таким образом, если величины Cim определены на основании

экспериментальных данных и соотношений (IV.78), то коэффици­ енты Ai характеристической функции Ф (X) вычисляются из си­ стемы алгебраических уравнений (IV.77).

Условия автомодельности (IV.71) зоны предразрушения в ок­ рестности контура усталостной трещины только в общих чертах описывают параметры нагружения и размеры образца, которые необходимо соблюдать в процессе эксперимента и для которых пра­ вомерно уравнение (IV.72). Для конкретизации этих условий по­ ступим аналогично, как и в случае предельно-равновесного состоя­ ния цилиндрического образца с кольцевой трещиной при изгибе (см. параграф 5 гл. III). Так как зона предразрушения в случае усталостного распространения трещины определяется не величи­ ной К 1с, а меньшим значением коэффициента интенсивности напряжений К г, то условия (III.98) и (III.104) для данного случая запишутся в виде

к\

Величина нагрузки, действующей на образец в процессе про­ движения усталостной трещины (и в результате этого уменьше­ ния его жесткости), меняется, однако величина стрелы прогиба k остается постоянной. Поэтому для определения коэффициента ин­ тенсивности напряжений К г в этом случае воспользуемся форму­ лой (III.92). Подставляя значение К г из соотношения (III.92) в неравенства (IV.81) и (IV.82), а также производя необходимые преобразования, для нахождения оптимального значения величи­ ны стрелы прогиба получаем условия

(IV.83)

(IV.84)

Условие (IV.83) используется для определения оптимального значения h в случае средних и глубоких трещин, для случая мел­ ких трещин — условие (IV,84).

Г Л А В А

ДИНАМИЧЕСКОЕ РАСТЯЖЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА С ВНЕШНЕЙ КОЛЬЦЕВОЙ ТРЕЩИНОЙ

Эксплуатация конструкций в условиях динамических нагружений требует разработки новых методов рас­ чета их несущей способности, отличных от методов расчета на статическую прочность. Это объясняется тем, что при динамиче­ ских нагрузках изменяется не только абсолютная величина на­ пряженно-деформированного состояния в теле, но и степень лока­ лизации в окрестности различных концентраторов напряжений.

Вместе с тем скоростное деформирование конструкционных ма­ териалов, в частности с выраженной пластичностью, изменяет их некоторые механические (прочностные) свойства, в особенности их трещиностойкость. Так, при больших скоростях нагружения квазихрупкого тела с трещиной интенсивность напряжений в окрест­ ности ее контура возрастает быстрее протекания дислокационных процессов и соответственно пластических сдвигов разгрузки в зоне предразрушения. Это приводит к охрупчиванию материала и, таким образом, к унижению его трещиностойкости. Поэтому для оценки прочности конструкций при динамических нагружениях необходимо располагать динамическим значением трещиностой­

= К $ (vp), в зависимости от скорости vp деформирования мате­ риала.

Динамическое значение характеристики трещиностойкости материалов определяется аналогично ее статическому эквиваленту на основании экспериментальных исследований динамического разрушения образцов с трещинами по соответствующим силовым схемам. Наиболее эффективной для этого следует считать силовую схему динамического растяжения цилиндрического образца с внешней кольцевой трещиной. Преимущества ее перед другими силовыми схемами изложены в гл II.

Настоящая глава посвящена разработке теоретических средств

для определения динамической характеристики К $ трещино­ стойкости материалов (см. гл. VII).

1. Постановка задачи

Рассмотрим цилиндр длиной 2L и диамет­ ром D , ослабленный внешней кольцевой трещиной с внутренним контуром диаметра d (см. рис. 5). Пусть такой цилиндр растягива­ ется усилиями Р, которые изменяются со временем t по закону

и пусть далее эти усилия направлены по оси цилиндра и приложе­ ны на значительном расстоянии от места расположения трещины (2L D). Задача состоит в определении предельного значения внешних усилий Р = Р* (или времени £ = £*), по достижении ко­ торых при заданной скорости нагружения vp наступит разрушение цилиндра.

Выберем систему цилиндрических координат г, ср, z таким об­ разом, чтобы ось Oz совпадала с осью цилиндра, а начало коорди­ нат О — с центром трещины. Аналогично, как и в статической теории хрупкого разрушения (см. гл. I), растягивающие напря­ жения о (г, 2, t) в окрестности контура трещины будут иметь

£118] сингулярность порядка (d — 2г)~1/г, т. е.

Здесь К 1Д) (Ур, t, d, D) — коэффициент интенсивности динами­ ческих напряжений в окрестности контура трещины; 0 (1) — ве­ личина, ограниченная при 2г d.

Задачу решаем на основании обобщения критерия Ирвина (см. гл. I) на случай динамических задач теории трещин. При этом уравнение (1.1) запишем так:

характеристики трещиностойкости материала К ic, зависящий от скорости деформирования материала vp и определяемый экспери­ ментально (см. гл. VII).

Таким образом, задача сводится к установлению упругого по­ ля в цилиндре с трещиной и вычислению на основании соотноше­

ния (V.2) коэффициента (г;р, t, d, D) интенсивности динамиче­ ских напряжений в окрестности контура трещины. Так как нагруз­ ка приложена не на поверхности трещины, то ее воздействие на материал в окрестности контура трещины передается не мгновен­ но из-за релаксации напряжений, инерционных сил частиц ци­

Как и в статическом случае, разложим напряженно-деформи­ рованное состояние в цилиндре на сумму напряженного состояния цилиндра без трещины, который растягивается усилиями Р — = vpt, и напряженного состояния цилиндра с внешней кольцевой трещиной, на поверхностях которой приложено нормальное дав­ ление, равное нормальным напряжениям oz (г, 0, t) в централь­ ном сечении сплошного цилиндра для первого напряженного со­ стояния.

Упругая задача в случае первого напряженного состояния

В силу симметрии напряженного состояния относительно плос­ кости трещины (z = 0) определение второго напряженного со­ стояния сведется к упругой задаче для неограниченного цилиндра (z >• 0, 2г D) с граничными условиями на торце (z = 0)

В дальнейшем для простоты обозначения вместо t2 будем писать t• Аналогично, как и в гл. II, для математического упрощения

решения задачи заменим граничные условия (V.7) условиями

При этом по аналогии с соответствующей статической задачей (см. гл. И) следует ожидать незначительной погрешности ре­ шения.

Рассмотрим случай мелкой кольцевой трещины, когда величи­ на е = dD~x стремится к единице. Тогда упругая задача (V.6),

(V.9) будет эквивалентна соответствующей задаче упругого равно­ весия неограниченной плоскости с центральной трещиной длины

В статическом случае, когда скорость нагружения vv доста­ точно мала, коэффициент интенсивности напряжений Кг в окрест­ ности контура мелкой кольцевой трещины описывается достаточ­ но точно (см. гл. II) результатами решения соответствующей плос­

тельно мало динамических задач теории упругости для тел, ос­ лабленных трещинами. Это объясняется тем, что, в отличие от статических задач, здесь вводится еще одно измерение по времени, что повышает математические трудности их решения почти на поря­ док. Сейчас известны решения только некоторых двумерных (плос­ ких и осесимметричных) задач теории трещин.

Задача о дифракции упругих волн на полубесконечной трещи­ не была решена [210] методом Винера — Хопфа [257]. Анало­ гичная задача для трещины конечной длины была рассмотрена ав­ торами работы [162], которые использовали метод дуальных ин­

менение напряженного состояния в окрестности трещины.

В работе [206] изучено рассеяние антиплоских сдвиговых волн на трещине конечной длины. При этом оказалось, что для некото­ рых значений частоты таких волн наблюдается заметное увели­ чение (на 20—30%) коэффициента интенсивности напряжений по

ских колебаниях неограниченной упругой среды, содержащей дис­ ковидную трещину. Численные расчеты показали, что и в этом слу­ чае наблюдается увеличение коэффициента интенсивности напря­ жений.

В работе [245] обсуждается рассеяние нормальных и ради­ альных сдвиговых волн на дисковидной трещине, находящейся

в бесконечном упругом теле. Задача сведена к решению интеграль­ ного уравнения Фредгольма второго рода. Полученные здесь ре­ зультаты также показывают увеличение коэффициента интенсивно­ сти напряжений по сравнению со статическим.

В работе [238] рассмотрена задача о дифракции высокочас­ тотных волн на конечной трещине. При решении этой задачи автор использовал подход [205], который был применен для исследова­ ния дифракции света на щели. Асимптотическое решение для ко­ ротких по сравнению с длиной трещины волн получается из инте­ грального уравнения. Отмечается, что этот метод может быть применен и для случая длинных волн.

Гармонические колебания неограниченной плоскости, состоя­ щей из двух полуплоскостей и содержащей на линии спая трещину

рого рода, которые решены численно. Подобная задача исследована в работе [199], но динамический коэффициент интенсивности на­ пряжений находится из численного решения сингулярных интегральных уравнений.

Автором работы [249] поставлена и решена динамическая за­ дача для бесконечной упругой среды Коссера, ослабленной конеч­ ной трещиной. При этом принималось, что самоуравновешивающаяся система давления изменяется гармонически со временем. Задача сводится к четырем совместным интегральным уравне­ ниям, которые решаются методом последовательных прибли­ жений.

В работе [219] изучена дифракция высокочастотных крутиль­ ных волн на дискообразной трещине в бесконечном упругом твер­ дом теле. Получены асимптотические выражения для динамиче­ ских коэффициентов интенсивности напряжений. Результаты пред­ сказывают колебательное изменение этих коэффициентов при высоких частотах.

Исследование неустановившихся колебаний неограниченных тел с трещинами проведено в работах [231, 241]. При этом показа­ но, что динамический коэффициент интенсивности напряжений может увеличиваться в полтора

раза.

Динамическую задачу для плоскости с разрезом длины 2d, на берегах которого задано ди­ намическое давление (V.11), ре­ шим методом интегральных пре­ образований [136]с использова­ нием метода Каньяра — де Хупа

1 [169, 176], следуя работе [242]. 1Выберем прямоугольную систе-

МУ декартовых координат Оху таким образом, чтобы ось Ох