книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов
..pdfПрименяя к соотношениям (1.26) и (V.21) преобразование Ла пласа, находим
,7 _ |
_ |
|
|
|
d^i |
|
|
|
|
|
их = |
|
дх |
|
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Щ = |
_ |
d<Pi |
__ |
dtyj . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дф,- |
|
Зф, |
(V.22) |
|
|
|
|
|
|
|
дх |
|
ду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Зф, |
|
|
|
|
|
|
|
|
ду |
|
дх |
|
Тху (X, у, |
s) = |
— Xs2 гр,— 2Xci -щ- (' Яф] |
|
Зф, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
v дх |
|
ду |
|
|
Аналогично граничные условия (V.12) в пространстве образов |
||||||||||
преобразования Лапласа будут иметь вид |
|
|
|
|||||||
|
Оу (х, О, s) |
- |
4^ |
|х|<а; |
|
|
|
|||
|
яД^ 2- , |
|
|
(V.23) |
||||||
|
%ху (х, 0, s) = |
0, |
0 < |
IXI < |
оо; |
|
||||
|
|
|
||||||||
|
иу (х, 0, s) = |
|
0, |
|х |> |
а. |
|
|
|
||
Используя соотношения (V.20) и (V.22), второе граничное усло вие (V.23) в пространстве образов Лапласа можно записать еще так:
аухА (a, s) — а2 + |
В (a, s) |
sin axda = О |
( 0 < £ < o o ) . |
(V.24) |
|
Применяя к равенству (V.24) синус-преобразование Фурье
(V.17), приходим к уравнению |
|
ау,А (a, s) — ( а2 + |
-4-') В (а, s) = 0. |
Это уравнение удовлетворяется тождественно, если ввести новую функцию D (a, s):
|
1 |
S2 |
|
|
а 2 + т |
- Т |
(V .25) |
|
A (a, s) = -------- ----------- D (a, s); |
||
|
У1 |
|
|
|
В (а, s) = aD (а, s). |
|
|
Ha основании соотношений (V.25) равенства (V.20) можно за |
|||
писать в виде |
|
|
|
оо |
1 |
|
|
Ф1 = j |
|
|
|
(i + - ± s r ) D (a, s) exp (— у1У) cos axda; |
(V.26) |
||
|
|
|
|
^ aD (a, s) exp (— y2y) sin axda,
о
Используя соотношения (V.22) и (V.26), граничные условия (V.23) сводим к таким парным интегральным уравнениям:
j g (ак) D (а, s) cos (ах) adcc = |
nWlsi~ , \х\< а; |
0 |
(V.27) |
оо |
|
^ D (а, s) cos (ах) da = |
0, \х\ > а , |
о |
|
где
! <*) -«*[«+4-Г''{(»+твг)’- (*+жГ(*+-4)Лj
-- '
Чтобы придать этим уравнениям вид, удобный для решения, первое уравнение (V.27) проинтегрируем по а; в интервале (0, х). В результате этого получаем парные интегральные уравнения
°? |
|
|
s) sin axda = |
■ |
4у х |
|* |< |
а; |
|
£ g (ак) D (а, |
, |
|||||||
° |
те |
|
|
|
|
|
|
(V.28) |
|
^ D (a, s) cos axda = 0, |
|х |> |
а. |
|
||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Введем неизвестную |
функцию |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
h (х, |
s) = |
j D (а, s) cos axda, |
(V.29) |
||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
где функция |
h (х, s) |
должна |
быть |
равной нулю |
при |х |> а |
|||
(это вытекает из второго уравнения (V.28)). Теорема обращения Фурье приводит к выражению
а |
|
D (а, 5) = £ h (хуs) cos axdx. |
(V.30) |
о |
|
Функция h (Ху s) должна быть построена такой, чтобы она обла дала свойством асимптотического поведения на границе трещины, т. е. такой, чтобы смещение было пропорционально квадратному корню расстояния от конца трещины. Для этого введем представ ление функции
» ( * • * > - ! |
■ | х | < “ - |
(V -31> |
х
где их (т, s) — некоторая неизвестная функция.
Подставляя (V.31) |
в |
(V.30) |
и |
принимая во внимание, |
что |
х |
|
|
|
|
|
(* |
cos axdx |
__ |
Я г » v |
/17 ооч |
|
J |
у Ц ^ Г - т А М , |
(V.32) |
|||
О |
|
|
|
|
|
приходим к выражению |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
D (a, s) = |
^ иг (т, s) / 0 (а т) xdt. |
(V.33) |
|||
|
|
о |
|
|
|
Представленная соотношением (V.33) функция D (a, s) автома тически удовлетворяет второму уравнению (V.28). Первое из этих уравнений сведем сначала к интегральному уравнению Абеля
[68] относительно функции иг (т, s). Для этого |
введем функцию |
W l (ак) = (1 — е|) — g (ак). |
(V.34) |
В силу уравнений (V.33) и (V.34) первое интегральное урав
нение (V.28) |
принимает вид |
|
|
||
|
“ г |
~ |
1 |
9 |
+ |
(! — е|) f |
» I (T, S) T Г /0(ат) sin axdaldi = |
^ - |
|||
о |
*- |
О |
■* |
|
|
+ |
U ui (т» s) х |
j Wx (ак) JQ(ах) sin axdx dx. |
(V.35) |
||
|
о |
|
о |
|
|
Используя равенство (III.53), уравнение (V.35) сводим к ин тегральному уравнению Абеля
л
и г (т, s) x d x |
2 |
% х |
, |
(1 — е|) J / х 2 — X2 |
л |
яЯ*4£>2 |
' |
асо
+ ^ Ги1 (т, 5) т j |
(ак) J0(ат) sin (ат) c?aj йт,| т |< a, (V.36) |
|
О [ |
о |
|
которое решаем аналогично уравнению (III.54). В результате это
го получим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
iA |
2v - , |
V |
2 |
Г |
1 |
( 2 |
4ир |
, |
(1 — е2) их (т, s) — я |
J |
-^т2 _ |
Д2 \ л |
|
+ |
|||
+ U ^1 (£» 5) S j ^1 (°^) /о (аЮcos (ад;) ас?а |
dx> |
т< |
Я- |
(V.37) |
|||||
6 *■ |
о |
|
|
J |
J |
|
|
|
|
Введем |
безразмерные |
координаты £ = т/a; |
ц = |
Е/а; |
5 = |
||||
= аа; z = |
х/а |
и обозначим |
|
|
|
|
|
||
|
Л = |
Л . |
Т /* |
\ |
я2 XD2s4 V |
l u x (g, 5) |
|
|
(V.38) |
|
— , |
Л (Е, Л) — —g------------- |
----------- |
|
|
||||
•Используя соотношения (V.38), уравнение (V.37) можно за писать в виде уравнения Фредгольма второго рода относительно функции
А (С, п) — j Л (т), п) К {%, г]) dy\ = КС. |
(V.39) |
ядро которого симметрично по £ и г)
к (С, л) = - ^ |
v |
f Р^1 (Р») Jo (РЛ) /о (РО dp. |
(V.40) |
||
1 |
-- £9 *J |
|
|
|
|
|
1 |
о |
|
|
|
Для быстрой сходимости |
бесконечного |
интеграла |
определим |
||
функцию |
|
|
Н |
|
|
Wl (п) = 4 0) (П) - |
|
|
|||
п * + В \ |
’ |
|
|||
|
|
|
|
||
Для того чтобы величина ^4(10) (дг) имела порядок п 6 для больших п, величины Н и В1 выберем так:
Я = ^ ( 3 4 - 4 е ! + 3);
(V.41)
5 1 = -8Й -(5е2 - 64 + 2 4 + 1 ) .
Поскольку [24]
f |
<"» Л («о * - 4 - ■ ( - ¥ • ) ( 4 1 ) ■ 0 < £ < ч. |
то выражение для ядра интегрального уравнения Фредгольма при нимает вид
|
- |
УТл |
+ |
к |
т % [ - 4 - л (- ^ ) * . (•н г ) |
||
|
+ |
] pA(i0) (рп) Jо (лр) Jо (£р) dp |
(V.42) |
Для решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода (V.39) применим метод замены интеграла конечной суммой. Тогда уравнение (V.39) можно записать так:
—т _
л (С, п) — 2 А (Л,-, п) к (С, Л;) л- = 1 Л ( V .43)
3—1
В качестве квадратурной формулы взята обобщенная формула трапеций
Л1 = 0 ; Лг = h> |
Лт = {т — 1) h = 1 ^ = т_ 1 |
(V.44) |
||
|
|
|
|
|
— Ат = /г/2; |
= /1^ — |
—: Ат —j = h. |
|
|
k |
А (1,2йл + я) |
k |
А (1,2йя + я) |
k |
Л (i,2hn -f- я) |
0 |
0,885123 |
5 |
0,998330 |
10 |
0,999484 |
1 |
0,981918 |
6 |
0,998761 |
11 |
0,999562 |
2 |
0,992942 |
7 |
0,999030 |
12 |
0,999666 |
3 |
0,996190 |
8 |
0,999241 |
13 |
0,999713 |
4 |
0,997594 |
9 |
0,999396 |
14 |
0,999811 |
Удовлетворяя уравнению (V.43) в точках £ = Щ (i = 1, 2,
т), для определения функции Л (£г, п) получаем систему ли нейных алгебраических уравнений
|
Л (п»> и) — 2 |
Л (%. п) К Olj. Л>) Ai= - ^ V nj |
|
|||
|
|
(i = |
1, |
2, |
m). |
(V.45) |
Решение системы интегральных уравнений (V.45) осуществля |
||||||
ется с помощью ЭВМ. При этом значения функции Л (1,2/bt |
+ л) |
|||||
для е2 = |
0,5345 представлены в табл. 2. |
|
||||
|
|
3. |
Определение коэффициента интенсив |
|||
|
|
ности напряжений |
|
|||
|
|
Аналогично, как и в статической теории |
||||
хрупкого разрушения, коэффициент интенсивностиК[д)(ир, |
t, d,D) |
|||||
динамических напряжений |
будет определяться [118] первым инва |
|||||
риантом |
напряжений |
ох + |
оу. |
На |
основании равенств |
(V.22) |
трансформанту Лапласа первого инварианта напряжений можно
записать |
так: |
ох + ву = |
— 2Xs2(1 — е|) Фц |
(V.46) |
||
|
|
|||||
где X — плотность пластины; е2 = |
с\1с2. |
|
|
|||
Определим теперь функцию фх |
через найденную в параграфе 2 |
|||||
данной |
главы функцию А (£, п). |
Для этого из равенств |
(V.33) |
|||
и (V.38) |
находим |
функцию |
|
|
|
|
|
D (a, s) = |
4а2v„ |
|
Л&Ч) |
/ . (««£)&£. |
(V.47) |
|
(1 —е£) S4JID* |
VI |
||||
|
|
|
|
|||
Равенство (V.47) можно записать еще так: |
|
|
||||
|
s - (1 |
|
Iя“• |
|
|
|
|
|
Г d Г Af (g, ri) |
J0( a a O m - |
(V 48) |
||
|
_ |
J ^ L |
v z |
|||
|
|
|
|
|||
На основании соотношений (V.26) и (V.48) для установления трансформанты Лапласа первого инварианта напряжений получим формулу
ох + оу = |
- |
- ^ г j - ± - |
(а2 + |
{а (1, п) («а) - |
|
Г |
i |
Г |
Ag, — j А |
(аа£) £dsj exp (— угу) cos axda. (V.49) |
|
J |
* |
I |
n |
|
|
U |
|
|
|
|
|
Рассуждая аналогично, как и в работе [244], можно показать, что сингулярная часть первого инварианта напряжений в окрест ности вершины трещины определяется только первым членом в выражении (V.49), т. е.
аа + Оу = |
— Х |
(!; П) |
J Т (со) У, (asa>) exp [— s Q/ со2 + |
c\y — |
||
|
|
|
— ico#)] d(o + 0 (1), |
(V.50) |
||
где 0 (1) — регулярная часть соотношения (V.50); |
|
|||||
|
|
а = |
cos; |
- |
ш2 + (1/2<Ф |
(V.51) |
|
|
Т (ш) = |
toVV + U/Ci)2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
Используя интегральное представление [15] функции Бесселя |
||||||
|
|
Jx (х) |
t |
п |
|
|
|
|
= — |
j exp (— ix cos 0) cos 0d0, |
|
||
равенство (V.50) приводим к виду |
|
|
||||
|
|
ox -\- ov ------ |
AlaVp |
A (!. n) j cos 0d0 x |
|
|
X |
j |
T (со) exp [— p |
+ |
cf У — icoXj)] da> + 0 (1), |
(V.52) |
|
где Xj = x — a cos 0. |
|
|
|
|
||
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|||
_ |
71 |
oo |
|
|
|
|
F = |
^cos 0c?0 j |
T (со) exp [— p (]/"coa + cj у — icoXx)] dco, |
(V.53) |
|||
|
0 |
—oo |
|
|
|
|
которая имеет вид, пригодный для вычисления обратного пре образования Лапласа методом Каньяра — де Хула [169, 176]. Метод состоит в преобразовании интеграла в правой части (V.53) в явную трансформанту Лапласа. Это можно выполнить, произво дя замену переменных
т = у У со2 + с~2— iG)Xr
Решая это уравнение относительно со |
|
|||||||
как функции т, |
получаем |
|
|
|
||||
со = ± К т 2 - |
R2/C\ JL- + |
|
, |
|
||||
|
|
|
|
|
(V.54) |
|
||
где Да= |
j/2, у = |
|
tg р (рис. 34). |
|
||||
Рассматриваем со |
как комплекс |
|
||||||
ную |
переменную и определяем |
кон |
|
|||||
тур в плоскости переменной со, вдоль |
|
|||||||
которого т |
принимает |
положитель |
|
|||||
ные значения. Обращаясь к рис. 34, |
|
|||||||
отмечаем, |
что |
интеграл |
в соотноше |
|
||||
нии |
(V.53) |
по |
переменной со |
имеет |
Рис. 34. Путь интегрирования |
|||
точки ветвления при со = ± |
icu |
а |
и разрезы в комплексной ш- |
|||||
разрезы в |
плоскости |
переменной |
со |
плоскости. |
||||
сделаны так, чтобы функция со2 + 1/ci |
|
|||||||
была |
однозначной и имела положительную действительную часть. |
|||||||
Так |
как т ограничено действительными неотрицательными значе |
|||||||
ниями, то равенство (V.54) является уравнением гиперболы в плоскости переменной со. Если Х г > 0 (Хг < 0), гипербола будет в верхней (нижней) полуплоскости.
Контур интегрирования в выражении (V.53) можно преобразо вать из действительной оси в указанную гиперболу путем исполь зования интегральной теоремы Коши и леммы Жордана [58]. После замены переменной интегрирования на т при помощи соот
ношения |
(V.54) |
находим, |
что |
F = j |
cos 0 1 J |
|V (со+) |
----- T (co~) d®x j exp (— sx) dxJ d0, |
0 |
Д/сi |
(V. |
|
|
|
|
|
где верхние индексы «плюс» или «минус» относятся к правой или левой ветви гиперболы.
Так как внутренний интеграл соотношения (V.55) имеет вид трансформанты Лапласа, то на основании [30] можем записать, что
F (t) = J Н [t - -£-) [т(©+)- ^ - - Т (со-) |
cos№, (V.56) |
о1
где^Я (0 — функция Хевисайда [134].
Используя соотношения (V.52), (V.53) и (V.56), а также теоре му свертки для преобразования Лапласа [30], находим первый ин
вариант напряжений в |
виде |
|
|
ох + Оу = |
4iav |
J |
(V .5 7 ) |
— - j j g f - |
j m ( f — r)F(T)dx, |
о
где т (t) = LTl - Л ^ nb j ; L""1 — оператор |
обратного |
преобра |
зования Лапласа (см. соотношения (V.14)). |
окрестности верши |
|
Чтобы определить выражение о* + сгу в |
||
ны трещины, необходимо выделить сингулярную часть |
функции |
|
F |
(t) из уравнения (V.56). Если принять, что c2t значительно боль |
||||||||||
ше, |
чем |
радиальное |
расстояние |
от |
вершины |
трещины |
г = |
||||
= |
V |
* T |
? , |
и малыми величинами порядка гсг it |
1 пренебречь, то |
||||||
F |
не будет |
зависеть от времени, |
т. е. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
q&i |
|
|
q<k |
|
||
|
|
F |
|
(q — |
z) Y |
а 2 — |
g2 |
|
(q — z ) Y a 2 — g2 ], |
(V.58) |
|
где |
z = x + |
iy\ z = x — iy; |
q = |
a cos со. |
|
|
|
||||
|
Используя результаты работы [73], сингулярную часть F |
||||||||||
можно записать так: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
F = |
- ^ |
U |
COS4 + |
0(1), |
(V.59) |
||
|
|
|
|
|
У 2аг |
|
* |
|
|
|
|
где 0 (1) — ограниченная величина при г - > 0 ; г и 0 — полярные координаты с началом в вершине трещины (х = а, у = 0) (см. рис. 33).
На основании равенств (V.57) и (V.59) получаем
Ох + Оу = — |
cos- у J ! » ( « ) * + 0(1). |
(V.60) |
Аналогично статической теории хрупкого разрушения динами ческий коэффициент интенсивности напряжений
(»р, t, d, D) = Av^ a I m (t) dt. |
(V-61) |
0 |
|
Когда динамическая нагрузка прикладывается к поверхности трещины, то около ее вершины генерируются две расходящиеся ци-; линдрические волны. Области вне фронтов этих волн, очевиднот невозбужденные. Контур волны около вершины трещины соответ ствует контуру волны для полубесконечной трещины. Для периода времени ts (прежде чем эти волны начнут взаимодействовать) пове дение напряжений описывается формулой
К\*> |
0 |
» 0 < f < * e, |
(V.62) |
Gy = -у= Г cos — |
|||
где г — расстояние от вершины трещины; К (д) « |
Y~t. |
||
Фронт волны напряжения теряет свое подобие после того, как начнется взаимодействие двух цилиндрических волн, исходя
щих из |
двух вершин трещины. Но |
|
|||||||
при близких расстояниях от вершины |
|
||||||||
особенность типа корня остается не |
|
||||||||
изменной. По |
истечении |
достаточно |
|
||||||
большого |
отрезка времени |
прохож |
|
||||||
дения |
волны, |
например |
c2t |
2а, |
|
||||
фронт волны сливается в одну расхо |
|
||||||||
дящуюся |
волну, которая |
окружает |
|
||||||
всю трещину |
(рис. 35). |
Это |
так |
на |
|
||||
зываемая |
конечная стадия |
удара. |
|
||||||
Авторы |
|
работы |
[231] |
представили |
|
||||
коэффициент |
интенсивности |
напря |
|
||||||
жений в виде |
произведения функций |
Рис. 35. Волновая картина в |
|||||||
раздельно от |
времени и геометриче |
окрестности трещины. |
|||||||
ских параметров.
Можно показать, что таким образом полученное решение имеет место для более широкого промежутка времени. Метод, исполь зованный здесь для определения асимптотического поведения ре шения около вершины трещины, требует только, чтобы граница волны напряжения была впереди исследуемой области. Так, если поле напряжений устанавливается в пределах расстояния г* от вершины трещины* то условие для времени принимает вид c2t ^
г*. Поскольку г* сохраняется достаточно малым, можно ска зать, что решение имеет силу практически для любых времен.
Условие c2t |
г* является дополнительным к статическому ограни |
чению г* |
а. |
Зависящий от времени коэффициент интенсивности напряже |
|
ний К 1Д), |
отнесенный к функции т (t), зависит от функции |
Л (1, /г). Численное обращение трансформанты Лапласа дает воз
можность вычислить т (£), а следовательно, и К 1Д) (2).
Задачу обращения преобразования Лапласа для соотношения (V.50) можно решать методами, основанными на разложении ори гинала в ряды по ортогональным функциям Лежандра. Таким образом, задача сводится к проблеме моментов на конечном про
межутке |
[221]. |
|
|
|
|
Пусть |
известно преобразование Лапласа функции т (г): |
||||
|
|
со |
|
|
|
|
G (XJ = ^ т (t) exp (— Xj) dt, |
(V.63) |
|||
где |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (^ ) = |
- Л(1’ Xl) ; |
1 |
as |
|
|
' А/ |
s |
|
||
Сведем |
бесконечный |
промежуток |
|
интегрированияг (0, оо) |
|
в конечный (0, 1), Для этого введем логарифмическую по времени связь
х = ехр (— ot), о > 0. |
(V.64) |
После подстановки (V.64) в (V.63) получаем |
|
|
|||||
|
oG (А,х) = j |
х а |
т (Xj) dx |
(хг = — a-1 In х). |
|||
|
о |
|
|
|
|
|
|
Отсюда при |
= (2к + |
1) о |
найдем, |
что |
|
|
|
|
_ |
|
1 |
|
|
|
|
|
oG [(2ft + 1) а] = j |
х&т (ях) dx. |
(V.65) |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
Итак, значение функции |
G (Хх) |
в |
точке |
(2к + |
1) а дает 2Л-й |
||
момент функции т (х) в интервале (0, |
1). |
|
образуют пол |
||||
Известно [7], что многочлены Лежандра |
Ph (х) |
||||||
ное ортогональное множество на интервале (—1, 1). |
|||||||
Теперь можно записать |
|
|
|
|
|
||
|
т (t) = |
2 ChPzk (e~at). |
|
(V.66) |
|||
Для полного определения т (t) остается вычислить Ck в урав нении (V.66). Заметим, что трансформантой Лапласа многочлена
Р& (eot) есть функция
|
.(. + 2/ |
(,>(. + 2>а) |
■ |
< ™ 7> |
||
где N (s) — многочлены степени, меньшей чем 2ft. |
|
|||||
Известно [7], что |
|
|
|
|
|
|
j |
1 |
|
0, |
|
|
(V.68) |
x2nP2h (х) dx = |
n<lk . |
|
||||
о |
|
|
|
|
|
|
Из (V.65) и (V.68) следует, что |
|
|
|
|
||
Фгь\(2п + |
1)а] = 0, |
п = |
0, 1, 2, . . . , |
к — 1. |
||
Значит, корни многочлена N (s) будут |
|
|
||||
К[п) = (2п + 1) а, |
п = |
0, |
1, |
ft— 1, |
|
|
а Фгл (А,х) может быть представлена в виде |
|
|
||||
Фг* (Ю — |
(At — о) (Хг — За) |
. . . [А,х — (2к + 1) а] |
А , |
|||
|
(Ах + |
2а) |
|
(Ах + 2ко) |
|
|
где А — неизвестная постоянная.
Для того чтобы определить Л, воспользуемся теоремой о началь ном значении [30]
lim А^Фгь (А^) = А = Р& (1) = 1. |
|
|
Значит, трансформанта Лапласа Ргл (е |
ot) дается соотношением |
|
Ф2А (А^х) =J (Хх — g) — За) . . |
[At - ( 2 k + i)a] |
(V.69) |
A»i (At -j- 2а) ••• (Я»х -j- 2ко) |
|
|