книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов

Рис. 1. Схематическое изображение сечений тела с трещиной плоскостью, перпендикулярной к плоскости трещины (а) и совпадающей с плоскостью трещины (б).

размер области тела в окрестности вершины трещины, где материал деформирован за предел упругости, т. е. характерный линейный размер области предразрушения. Для некоторых классов матери­ алов эта область представляет собой вытянутую вдоль плоскости расположения трещины клинообразную область (см. рис. 1, а).

Разрушение, которое реализуется распространением трещины при выполнении условий автомодельности ее зоны предразрушения (характерный линейный размер зоны предразрушения мал по сравнению с размерами трещины и тела, х0 а), называется квазихрупким [145]. Если размеры зоны предразрушения х0 (пласти­ ческой зоны) соизмеримы с размерами трещины и тела, а пласти­ ческие деформации пе заполняют всего кинематического сечения разрушения, то разрушение в таком теле будем называть квазивязким.

В рамках концепций теории трещин [9, 82, 118, 145] разруше­ ние твердого тела рассматривается как процесс развития трещины. Такая теория более точно (по сравнению с классическими [138]) описывает явления разрушения. Она предусматривает следующий механизм разрушения. В процессе деформации тела в окрестности контура трещины возникает зона предразрушения. Развитие и фор­ мирование этой зоны происходит до тех пор, пока напряжения или деформации в ней не достигнут определенного (предельного) значения, т. е. пока не наступит предельно-равновесное состояние. В этот момент и происходит распространение (старт) трещины в зону предразрушения.

Поскольку предельно-равновесное состояние соответствует стартовому (начальному) моменту распространения трещины, оно характеризует только локальное разрушение тела. Математиче­ ские условия, которые описывают наступление предельно-равно­ весного состояния, называются критериями локального разру­ шения.

Формулировка критериев локального разрушения зависит от модельного представления зоны предразрушения. Остановимся подробнее на некоторых моделях локального разрушения твердых тел. С этой целью рассмотрим трехмерное тело, ослабленное плос­ кой трещиной с контуром L (рис. 1, б) и введем следующие обозна­ чения: а — характерный линейный размер трещины; х0 — харак­ терный линейный размер области предразрушения по нормали п к контуру трещины; Oraz — цилиндрическая система координат, выбранная так, что плоскость z = 0 совпадает с плоскостью трещи­ ны (случай сечения такого тела плоскостью, проходящей через ось Oz, показан на рис. 1, а); Н0 (а) — радиус-вектор контура трещи­ ны; R (а) — радиус-вектор линии пересечения поверхности зоны предразрушения с плоскостью z = 0 (см. рис. 1, б)\ Р — параметр внешней нагрузки, которая приложена симметрично относительно плоскости трещины. Имея в виду изложенное, рассмотрим неко­ торые основные модели механики хрупкого разрушения.

1. Модель Гриффитса — Ирвина. Эта модель [193] представля­ ет собой упругий континиум с трещиной (трещинами), для которого

(или каким-то другим линейным размером тела), т. е. выполняются

рушения локализируется в малой окрестности у вершины трещины. Компоненты сгрр, стгр, агг тензора напряжений в локальной системе координат Ог0$ (см. рис. 1, а) в окрестности рассматривае­ мой макротрещины нормального разрыва можно записать так

который зависит от конфигурации тела, размеров__^^фи£урации трещины, величины действующей нагрузки Р, но не зависит от координат г и Р; fa (|5) — известные функции угла Р; 0 (1) — огра­ ниченная величина при г0 ->■ 0.

Условием локального разрушения тела (страгивания трещины) является равенство (критерий Ирвина)

с трещиной, т. е. такое минимальное значение нагрузки Р, при достижении которого наступает распространение трещины; К\с — значение трещиностойкости материала (максимальное значение коэффициента в уловиях плоской деформации.

Напряженное состояние в теле считается симметричным отно­ сительно плоскости трещины и описывается методами линейной теории упругости. При этом можно показать [82, 145], что коэффи­

лированной модели. Равенство (1.4) определяет значение функции R (ос) для области предразрушения.

Сформулированную модель характеризуют, помимо упругих коэффициентов (закона Гука), еще две величины: о,0 и бк. Рассмат­ риваемая модель описывает развитие области предразрушения в окрестности контура трещины (увеличение размера х0), а усло­ вия распространения трещины (локального разрушения) сводятся к следующему равенству:

Если характерный линейный размер х0 области предразруше­ ния мал по сравнению с размером трещины, т. е. х0 ^ а, как это показано в работе [82], то из условия (1.5) и равенства (1.3) получа­ ем условие (Г.1).

Условие (1.5) является базовым для разработки локального критерия хрупкого разрушения в виде критического раскрытия трещины (KPT-критерий). Этот критерий сводится к следующему [82]: трещина начнет увеличиваться в длину (распространяться), как только ее раскрытие в вершине достигнет критического (для данного материала при заданных условиях) значения 6К.

3. Аналог бк-модели для упруго-пластического тела. Рассмот­ рим трехмерное тело, ослабленное плоской макротрещиной. Под макротрещиной здесь подразумевается такая трещина, для которой при заданных внешних нагружениях, размерах тела и его механи­ ческих характеристиках выполняются условия автомодельности зоны предразрушения в условиях предельного равновесия, т. е. имеет место понятие о тонкой структуре зоны предразрушения [145], когда а:0 « а и й 0 (а) « й (а).

Предельно-равновесное состояние такого тела можно опреде­ лить на основании критерия Гриффитса — Ирвина (1.1). Однако указанный критерий только интегрально учитывает свойства зоны предразрушения и не дает никакой информации о ее размерах, что необходимо для математического описания условий автомодель­ ности этих зон. Решение этой задачи целесообразно осуществить в рамках следующей расчетной схемы [1, 2].

Пусть внешняя нагрузка задана таким образом, что напряжен­ ное состояние тела симметрично относительно плоскости располо­ жения трещины, а материал тела считается упруго-пластическим, подчиняющимся условию пластичности Треска — Сен-Венана. В силу условий автомодельности зон предразрушения и симметрич­ ности напряженного состояния относительно плоскости располо­ жения трещины в достаточно малой окрестности ее контура будет осуществляться условие плоской деформации, которое описывает­ ся коэффициентом интенсивности напряжений К г. Как показыва­ ют экспериментальные данные [55, 163, 187], в случае плоской де­ формации пластические зоны локализуются главным образом вдоль некоторого слоя, направленного примерно под углом 45°—•

— 72° к плоскости расположения трещины. Поэтому зону предраз-

(Z = Z*) пластической зоны можно установить такие соотношения!

При экспериментальном определении характеристики трещиностойкости материала К\с с использованием критериального урав­ нения (1.1) необходимо выбирать такие геометрические параметры образцов, для которых выполняются условия автомодельности воны предразрушения. Если длина Z* пластической зоны может быть установлена экспериментально, то условие (1.11) можно применить для нахождения К\с или проверки достоверности оп­ ределения этой характеристики другим путем, т. е. выполнения условий автомодельности.

определения этих характеристик.

3. Некоторые соотношения теории упругости

При рассмотрении задач механики хрупкого разрушения важным и достаточно трудным этапом является определение и анализ напряженно-деформированного состояния в упругом трехмерном теле, ослабленном дефектами типа трещин. Это объясняется тем, что в случае трехмерных задач отсутствует такой единый и эффективный аналитический аппарат, как метод Колосова — Мусхелишвили [72] в плоской теории упругости.

Исходные уравнения пространственных задач теории упругос­ ти и основные методы их решения сформулированы в ряде учебни­ ков и монографий по теории упругости (см., например, [59, 63, 78, 130]). Ниже выводятся лишь некоторые соотношения статики и динамики упругого тела, необходимые в дальнейшем для ис­ следования предельного равновесия квазихрупкого цилиндра, ослабленного внешней кольцевой трещиной.

1. Исходные уравнения статики трехмерного упругого тела. Пусть упругое тело занимает некоторый объем и на его поверх-

в прямоугольной системе декартовых координат Oxyz; F^L F^y,

F $ — компоненты заданного вектора напряжения, действующего на поверхности тела S; п — внешняя нормаль к поверхности S; и, у, и; — компоненты (проекции) вектора упругих перемещений

и соответственно на оси Ox, Oy, Oz; u(S), y(S), iy(S) — значения функ* ций и, v, w в точках поверхности S.

Решение задачи теории упругости для такого тела сводится

к отысканию вектор-функции и упругих перемещений, которая при отсутствии массовых сил должна удовлетворять заданным на по­ верхности тела граничным условиям (1.12), (1.13) и векторному уравнению равновесия

Зависимость между функциями и, v, w и компонентами сгх, (Ту, а2, тХу, тХ2, Ту2 определяется на основании закона Гука, со­ отношений Коши и выражается такими формулами:

объемное расширение.

Если на поверхности тела S заданы условия (1.12), то опреде­ ление упругого равновесия тела составляет первую основную гра­ ничную задачу. Кроме первой основной задачи в теории упругос­ ти значительный интерес представляет и вторая основная гранич­ ная задача, т. е. определение упругого равновесия тела, когда на его поверхности S заданы условия (1.13). Наконец, во многих случаях (контактные задачи, задачи теории трещин и т, д.) большое

значение имеет основная смешанная граничная задача, т. е. когда на одной части поверхности тела заданы смещения, а на осталь­ ной — напряжения.

Вдальнейшем, при рассмотрении предельного равновесия тел

стрещинами, будут необходимы решения только основной сме­ шанной граничной задачи теории упругости.

Общее решение уравнения (1.14) было получено П. Ф. Папковичем [78], а позднее Г. Нейбером [74] в следующей форме:

где 4я — гармоническая вектор-функция; ф — гармоническая ска­

лярная функция; г — радиус-вектор точки тела.

Решение Папковича — Нейбера (1.16) включает четыре скаляр­ ные функции, а именно: ф и три скалярные компоненты Т 1?

Ч'з вектор-функции Y. Из решения (1.16) легко вывести более прос­ тое решение для случая, когда касательные напряжения равны нулю в плоскости, которую можно выбрать в качестве координат­ ной плоскости z = 0. При этом искомое решение будет содержать только одну гармоническую функцию. Действительно, учитывая выражения (1.15) и (1.16), касательные напряжения тхг и туг можно представить в следующем виде:

Чтобы напряжения (1.17) были равны нулю в плоскости 2 = 0,

Следовательно, при выполнении равенств (1.18) функции ф и