книги / Методы оценки трещиностойкости конструкционных материалов

Учитывая, что в рассматриваемом цилиндре с внешней коль­ цевой трещиной нормальные смещения точек перешейка трещины равны нулю, и используя соотношение (11.36), для определения нормальных смещений поверхности трещины можно записать такую формулу:

где величина X находится из равенства (11.25).

Выражение в квадратных скобках (11.36) заменим его значени­ ем по формулам (11.15) — (11.17). В результате этого, а также ис­ пользуя соотношение (11.25), формулу (11.37) представим в виде

иг (Г, 0) = (1 Р~ + X D J ф dx +

где L |x , -— j и g (x) определяются соотношениями (И .17) и (11.25).

На основании соотношений (11.17), (11.25), (11.27) и (II.30) выражение (11.38) преобразуем к такому виду:

Соотношения (11.35), (11.39) и определяют нормальные смещения поверхностей трещины.

Для дальнейших исследований необходимо знать значение пере­ мещений их (г, 0) на внешнем контуре трещины, т. е. при 2г = D. Это значение найдем следующим образом. Выражение, стоящее в соотношении (11.39) под знаком интеграла с верхним неограни­ ченным пределом, раскладываем в ряд по степеням £, полагая при

В соотношении (11.41) коэффициенты В\ определяются по фор­ муле (11.32), а коэффициенты Di — из соотношения

ООD

Используя соотношения (11.32), (II.33) и (11.42), коэффициенты Z?i вычисляем с помощью ЭВМ «Минск-32». При этом получим, что

П0= 0,6989; Dx = 1,5047; П2= 15,8619; D3= 404,5680. (11.43)

Подставляя в (11.41) вместо Bi и Di их значения из (II.33) и (11.43), находим, что

оL

— 0,0314е4 — 0,0046еб + |2е2(0,7524 — 0,3143е2 - 0,0976е4) +

+ £4е4(0,6609 — ОД627е2) + 0,5619£6е6 + 0 (е8). (11.44)

Для нахождения нормальных смещений на внешнем контуре трещины при 2г = D подставим выражения (11.35) и (11.44) в (11.39) и, производя необходимые вычисления, получаем такую приближенную формулу:

в области 2г <1 d перешейка трещины, будем определять на основа­ нии соотношения (11.22). Если в соотношение (11.22) подставить выражение (II.30), найдем, что

Предельное значение внешней нагрузки определяем в соответ­ ствии с расчетной моделью Гриффитса — Ирвина из критериаль­ ного уравнения (1.1). Коэффициент интенсивности напряжений К г, входящий в уравнение (1.1), находим на основании выраже­ ний (1.2)'и (11.48). В результате имеем

того решения, включающего величины е, близкие к единице, поступим следующим образом. Заметим, что в граничном случае рассматриваемой задачи при 8 ->■ 1 из соотношения (11.50 ) долж­ но следовать предельное значение внешней нагрузки для полу-

плоскости с поверхностной трещиной длины -у (D — d). На осно­

вании [105], а также результатов гл. III данной монографии это значение предельной нагрузки для полуплоскости с трещиной в принятых здесь обозначениях можно записать в виде

Из формулы (11.51) следует, что замкнутое решение для рассмат­ риваемой задачи можно представить так:

Подставляя выражение (11.53) в первое соотношение (11.52), получаем формулу для определения предельного значения внешней нагрузки Р = P# при 0 < 8 < 1. Эта формула имеет вид

*У 2 / 1 —в

раскрытие 2иг достигает некоторой величины бк, то происходит разрушение тела, т. е. условие распространения магистраль­ ной трещины определяется соотношением (1.5).

Физический механизм появления и взаимодействия микротре­ щин в зоне предразрушения около контура магистральной трещи­ ны еще недостаточно изучен. На основании 6к-модели развитие этой области в процессе нагружения тела будем усредненно опи­ сывать двумя характеристиками xQ и а0, т. е. будем считать, что в области предразрушения (рис. 7, б) на продолжении трещины действуют напряжения

где х0 — длина зоны предразрушения.

Таким образом, на основании изложенного, а также условия симметричности напряженно-деформированного состояния в ци­ линдре относительно плоскости трещины задача сводится к опре­

Это допущение, очевидно, внесет незначительную погрешность при исследовании поставленной здесь задачи.

Здесь Вп — неизвестные коэффициенты; v — коэффициенты Пуас­ сона.

l7 1= 1

+2 а д ( Ь . г ) е - Ч ;

Используя соотношения (11.61) и удовлетворяя граничным условиям (11.59) и (11.56), для определения неизвестных коэффи­

где т)п (п = 1, 2, 3, ...) — положительные корни уравнения (11.63), расположенные в порядке возрастания величины.

Решение парных (рядовых) уравнений (11.62). Неизвестные коэффициенты Вп определим, как и в предыдущем параграфе. Положим

где коэффициенты А п удовлетворяют уравнениям

На основании формулы для определения коэффициентов раз­ ложения Дини, приведенной в работе [15], а также соотношений (11.65) , находим

Коэффициенты cn определим таким образом:

Используя второе уравнение (11.62), соотношения (11.64), (11.65), (11.67), а также формулу для установления коэффициентов разложения Дини [15], для вычисления коэффициентов сп полу­ чаем такую формулу:

Нетрудно проверить, что при выполнении равенств (11.66) и (11.68) значения коэффициентов Вп, определенные по формуле (11.64), будут тождественно удовлетворять второму уравнению (11.62). Подставляя выражение для Вп из (11.64) в первое уравне­ ние (11.62) и учитывая при этом соотношения (11.66) и (11.68), для нахождения неизвестной функции ф (£) получаем уравнение

а L (г, р) определяется выражением (11.17).