Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Проектирование и расчёт крепи капитальных выработок

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

11.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2925 26 27 28 29 > Следующая >>>

Первое слагаемое в формуле (10.61) представляет собой функ цию, регулярную вне окружности Ь ъ второе же слагаемое должно являться функцией, регулярной внутри контура L0 и, строго го воря, разложимой в ряд по полиномам Фабера от переменного z. Заранее неясно, допустимо ли в данной задаче путем перестановки порядка суммирования представить эту функцию в виде бесконеч ного ряда по положительным степеням г. Указанное затруднение можно обойти, с самого начала разыскивая приближенное решение задачи и взяв во втором слагаемом верхний предел, равный неко торому числу N, выбираемому в зависимости от желаемой точности. Поскольку замена верхнего предела числом N вносит некоторые усложнения в выкладки, можно, следуя [41], условно сохранить в формуле (10.61) бесконечный ряд, тем более, что впоследствии, усекая полученную бесконечную систему уравнений, мы прихо дим к упомянутому приближенному решению, которое, как пока зано в [41], мало отличается от точного.

Исходя из условия (10.60), функцию \р (z) представляем в виде

оо

.'=1

(10.62)

Как легко проверить, функция ф (z) регулярна в области S v Подставив выражение (10.62) в граничное условие (10.59) на

контуре L0, имеем

ф (*) + W ( * ) - Ф ( - у - ) - - J - Ф' (0 =

оо

S=1

(10.63)

Учитывая (10.61), запишем на L0:

k=i

оо

• ( f ) - Г Н т ) ' * ‘ Ш

k=\

Л=1

Подставляя выражение (10.64) в граничное условие (10.63), по лучим

k = \

-4 i ) - 4 i r +4 i r - 4 i ) >

(10.65)

S=1

Произведем конформное отображение внешности единичного круга на внешность эллиптического контура L0 с помощью рацио нальной функции

			( 10.66)
где
л CL- 4 - Ь	т	CL— Ъ	(10.68)
А = —-— ,	т	а + Ь	(10.68)
		а + Ь
Тогда на контуре L0 имеют место соотношения
т - хч,(т- г ) -	х - 1"'(т -”т)'		<1069>
причем т = е1в — точка единичной окружности,
Х= — ,	х = — .		(10.70)

Ат

Подставив выражения (10.69) в условие (10.66), с учетом (10.70) получим

Г К	( * - f )■'*+w	- * ( - 1 ) - ^ *	(--?■)
k=\
X ( —---- rriTj	-f kbkX~k	^ ---- mx'j	' —akX~k^ —

— mx)k— bkKk ^—---- mxj					+ kakXk+2		-----mxj		2 —	(10.71)
—kbkX-k+2 ^		---- m x j		’] =		[(Л s—W		( T—		_
					S = 1
- .4;X‘ (_L_ ш) - + в , (r—f-)" - в * - (-L_ mtJ].
Отсюда имеем
^ [ a * k * ( * —		+ M> *(т—				—kahl kx ^ —			тхЛ-(*+D +
k=1
-f kakKk		-----mx^ (			+ ) +	Ы>Х~‘4		-----mxj		bkxk
—kbk%~k XL	---- mx^			—ak%Tk		----- mx^ —(1 +			Xk)	bkxk
—kbk%~k XL	---- mx^			—ak%Tk		----- mx^ —(1 +			Xk)	X
x	—	mxj	-f kak^k+2			—	mxj	(ft+2) _		(10.72)
— (1 — K ) kbk^	(*	2)	----rn xj		j = ^		[Hs— K P O) (T—			J -
						S = 1
— A X ^	—	mx^	+ Bs^x—				—BSX~5 ---- mx^j J .

Разложим входящие в (10.72) выражения по степеням перемен ной х. Имеем для выражения, входящего в первое слагаемое

т \ ~ к

_ * / ,

\ ~ к

= т - * ^ , .

n v^v

v —2v

(Т“

т )

= т

]

= i ( -

l )

|!v+t).

(10.73)

v=0

После замены 2v + k = v получим

оо

V—k

(x — ^ _ j_ft = ^ * ( ^ l )

C X

x_v

(10.74)

\ = k

v+fe

= ^ ( _ l ) V CvmvT- ( 2v-ft)==

^ * ( - 1 )

x -v,

(10.75)

v=0

v = —k

т / - -----т т Г (+1> = т+2(1 — /пт2)-<А+1) =						т*+2 £	( - 1 )
' Т	'					Е
' Т	'					v=п=0
х CL(+1)m V v = Е ( - l)vCL(+1)m Y v+*+2 =
			v=0
			V—ft—2	v—ft—2	v—ft—2
=	^	( — 1)	2	C-(A+1)	/И	2 TV,	(10.76)
	V = f t - f 2
-L			<+ч = x (1			-

- x * E	( ~	1)VC I №+1, m			V v =	E	( - l ) vC		l (t+ l,»iV ''+ *
v=0						v=0
			OO		V— ft	V— ft		V — ft
		=	^ ( —	1)	2 C - ( k + \ ) t n			2	Tv,
		v=ft
		—	т т ^ *	1 = T~*+ 2 ( 1 — m t2/					_1 =
= T"ft+2	E	( -	l)v C L , m V v =			E	( -	l) v C ftv_ , m V v- A+2
	v=0					v=l
				v+ft—2		v+ft—2		v+ft—2
	- Г <-*>				2	r* 2			2 v
	- Г <-*>					C/f_l	/72		T ,
	v= —ft-j-2

(10.77)

(10.78)

-E

---- mx^

= x~k ( 1 — tnx f ~ x=

ft-1

= x - ftE (

l ) v C L 1m V v =

( —

l)vC *_im vT2v-ft =

v=0

ft—2

v+fe

v+ft v+ft

( —

1) 2

C4_ 2I

Tv,

(10.79)

V = — ft

V + f t

( т — ) + - - т 7 - Г

‘- ,г г *

/72 2

TV ,

(10.80)

v = —ft

v—ft

( т - Ч Ч

- v )

/72

„.v

(10-81)

T ,

v=ft

v—ft—2

(10.82)

В— Г ’-Г <-■>

b_(ft+2)

/72

(-\|— m-rj 2= ^ (—1) 2 Ck-2 m 2 rv	(10.83)
V = -(* -2 )

Введем обозначения

»+/ й-/ i+l

( - 1) 2 Ci 2 = ( - l )

m m

f I (i, / —нечетные),

= - /• • ч l <7<./ (t. / —четные).

Тогда

<-/ i-j	i-l
Qi.-j — i — 1) 2 C,-2 = ( - l )	2	11
		m m
T . e.
4t<—j	Qi, />	Qt,—j 4t, j
Имеем также
		i — i i — t

(Ю-84)

=(—i)7

'" ”"

(10.85)

( 10.86)

</_,.,= ( - ! ) 2 C_?

(10.87)

С использованием разложений (10.74) — (10.83) и обозначений (10.84) — (10.87) условие (10.72) принимает вид

		сю		V—ft				v+ft
^	a	^ Y	Я-к.уШ 2 т		v + bkl	* 2 ]	Як.^п	2	T - v -
k = \		V = k				V=—ft
			оо		V—ft—2
	—k		a	<7-он». v-itTl		T	-j- kd^K	X
			v=ft-f2
			_________V - ft+,____2			ft			v+fe-2
X ^ 4 -(k + i), v + i m 2						^	Qk-l . v - :xm		2 тV—
v=ft					v=—(ft—2)
			ft—2		v-fft+2
		— kbkl~ k Y		<7*-i,v+im 2		xv—ak%~k x
			V=—ft
			v+ft				V—ft
X	^	<7*.	2	Tv — (1 + Я * )6 Д * ^				2	Tv +

v=—ft

V=ft

к\

■1 ♦	I Н 4 - - 4- 4-
V	г>

Рис. 10.8. Схемы к изменению порядка суммирования

ооV—ft—2

+ к а ^ к^~2 ^			q_ (/г+2), vjт		2	тV —
		V =fe+ 2
			Л—2			v+ft—2
- ( 1 - ^	) ^ -	(А" 2>	^	4k-2.,m		2 TV
		v = —(ft—2)
							( 10.88)
	s		V+S			OO
= 2 ’		? , vm 2 T-v- , a				s£ Y	vtfl 2 TV +
S=1	v=—s					v=s
OO		V—s		s		v+s	“I
+ BS£	q^s,ypi	2 т	v— BSX	s ^		2	V
+ BS£	q^s,ypi	2 т	v— BSX	s ^	9s. v™		T

Изменяем порядок суммирования. При этом учитываем соотно шения, очевидность которых следует из схем изменения индексов суммирования, приведенных на рис. 10.8 , а, б, в, г, д, соответст венно:

оо	оо	V—ft	оо	v	V -ft
				*	2	V	(10.89)
Z i	Z	а*Y -A . -/и 2 т v =	Y J	И	2	V	(10.89)
Z i	Z	а*Y -A . -/и 2 т v =	Y J	И	ak%kq- k'^ n 2	х
ft= l	v = ft		V=1	ft= l

OO	ft	и
Vi*	V	и
V	V	/»Л“ Л
2 ,	2	;
ft= l	Vе —ft

v+ft	OO	oo	v+ft
~ _ - v _ V * V * t. 1-A,			1 *“ v+
2 t _ v = ^ 2 ,			1 *“ v+
	v = l	ft=v

248

			V=1	ft= v
	oo		oo
	2		Z ^V fA + D .v -xm					2	Tv=
	fe=l v=ft-f2
	=ZZk a k%kq _ (k+1) vi/nV—ft2—2xv=
		oo	V— 2
	V=3		ft=l
	oo		v—2					v—k—2
	Z8*Z kakXkq_ (4+1)_v_jm							v—k—2
	Z8*Z kakXkq_ (4+1)_v_jm								2	TV.
	V=1		A=I
где
			( 1		при		v >	3 ,
			l 0		при		V<3.
	Z	^					v-f-ft—
	Z	^		^АЯVi-i.v-i/n2Tv =
	Л=1 v=—(ft—2)
	Г	4! *					V + ft— 2
	= 2	,	Z				2	Tv+
	v = l		ft= v
	0 °	Пoo’			._		. k-M-2
	+ L	L					m	!	t -
	V = 1 f t = v-f-2
	oo	ft— 2				V-ffc+2
	2 ]					V-ffc+2
	2 ]	2 ] kb* k ~ kb - i > v +1m					2	x*=
	fe**1 v=—ft
	oo	oo					V+fe+2
	=Z Z k b k i~ k4 k ~ i> v + im						V+fe+2
	=Z Z k b k i~ k4 k ~ i> v + im						2	Tv +
	V=1 ft=v-f2
	OO	oo					fe—V-f-2
	+ZZ^					1)П*	fe—V-f-2		T .
	+ZZ^					1)П*	*2		T .
							*2		—V
	V=I ft=v
Аналогично имеем
OO	ft		V-f-ft
Z Z a^^’vm2Tv=Z *						z *	^ -	v	, v	- 2 Tv+
										V-f-ft
*=1	v= —ft				V=1	k—v
					V=1	k—v

(10.91)

(10.92)

(10.93)

(10.94)

249

			оо	бо	k—V
			n* т—Л*
	+		v=l	йкХ	2	т	V>
			v=l	k=v
2 2 bk%kq- k' vm2 t V = 2								v—Л
2 2 bk%kq- k' vm2 t V = 2					2 * bk%kq~k^			Tv,
Л=1 У=Л				v=l	Л=1
					v-Л—2
	2		2	^a^+2<7-(*+a)>^		2	tV==
	fe=l	v=fc+2
	oo		V — 2			V — Л— 2
	= 2		e i 2	a'+2<7-(A+2).v'«			2	TV.
	V*B! Л=1
Наконец, на основе схемы рис. 10.8, е имеем
оо	к—2						V -f& — 2
2*	2*						2	rv=
							2	rv=
Л«1	V— (Л -2 )
	оо		оо			У-\|-Л—2
	= 2	*	2 *	kbkK~ik~ 2)qk-*-'im		2	tV+
	V=1		Л=У+2
+ 2* 2*
	v=l	Л=у+2

Аналогично предыдущему получим

v+i

(10.95)

(10.96)

(10.97)

(10.98)

2 ‘ Y { А ~ К Р й ) я ^						2 t_ v =
s=l v=—s
оо	oo					V-j-S
= 2	2» ^A s ~			%sP^ qs- ^ n		2	t_v+
v»=l s*=v
w	w					д— Y
+ 2	* 2	*	* - w		?«.		*	(10.99)
+ 2	* 2	*	* - w		?«.		*
V «1	S e v
								v—s
2 *2 ‘ ^ ^ - , v	m	2	- v=	2	‘ 2 ’ ^	^	- ^	Tv, (10.100)
				V=1	S—1

250

( 10. 101)

s = l v = s

v= l s = l

V-f-S

v+s

•i*

r -ч•

s= l v = —s

TV=Z * Z * B^ " s<7s>vm

tV+

V=1

s=v

+ Y

^ - v m

( 10. 102)

v = l

s= v

Подставляя

полученные

выражения

(10.89) — (10.102)

в урав

нение (10.8 8 ) и учитывая соотношения (10.86), имеем

СО

Г V

V— к

v-fft

dk^k q~k, </п

T-v + £

bkX~kqkiVm 2

x_v —

V = 1

& = 1

Jfe=V

ft— V

V — 2

V—f t - 2

— £

bk\

kqk'jn

Tv— ex^

V-1«

fv-f

ft=*V

ft«=l

V - f e + 2

V + ft— 2

+ ^

-(k+i), v+lm

^ft^

V - l.v - l^

tV +

ft=l

ft=v

У+И-2

ft—v—2

, ,

kbk%-kqk_ltV+1m

T“ v— ^

kbkK~kqk- i%v+1m

rv-

f t = V + 2

f t = v + 2

ft— V-f-2

v+ft

— ^

1 — k „

Y 1

' _

<ft-

kbkh~~kqk-i, v-itn

x -v- £

аАГ

Як. у/П

T +

ft=v

v—ft

+ ^

flft^

kQk,vm

V— ^

( 1 +^ft) M ^ - f t , уЛ1

ft=V

ft=l

-Л

v-f-fe—2

V—2

V—ft—2

“

2)<7Л-2, V#*

+ Bi ^

&0ft^+2<7-(ft+2), vm

tV+

k=v+2fc---' "

ft=l

ft—v—2

+ ^

(fe

2)qk-2, vm

T^ =

ft=v+2

_ --

V + s

S—v

= Z* Z* ( i 4 s _ v m ~ T_V_Z * (i4s~ ^ p°)<7s’- v -

V— s

V—s

A[xsq_s, vm

^rn

S = 1

s*1

■>2

v-j-s

£ Л

Vs.v«

+ £ - B ;SX- S<7s,v™

(10.103)

Приравнивая в левой и правой частях уравнения (10.103) ко

эффициенты при одинаковых степенях переменной т,

имеем при

v = l ,

с»:

-ftг

ft—у

V—2

у—к—2

- е ^

kakKkq_(Л+1).

■1*1

—v

k = \

у—ft+2

оо

y-fft—2

*ка ^кд-(к+1), v + i ^

kb/jX kcjk-i, v -im

“

ft=l

ft=y

y+fe+2

оо

v-fft

/еЫ V -i.v+ i"i

а*Л

Л=у+2

ft=y

V—Л;

у—2

у—Л—2

“

+ ^

ei ^

fta^ ft+2<7-(ft+2). л/Я

ft=l

fc=I

оо

У -f-ft— 2

ОО

fcM r(*“ V _ , lV«

- 2

*(л5- я

5р 0) ^

—

ft=y-{-2

s=v

V — s

оо

V-f-S

—,^T

A'sl sq -SlVm

— ^

Bs%~sqs,jn

(10.104)

s=v

V ---k

У -f-fe

flft^V-ft. vm

Vft. v'71

2 +

fc=l

ft=yk V

1-Л-

ft— V — 2

fe - V + 2

kbk%

kbk%~Rqk_j, v+1m

ft*=y+2

ft=y

k — V

оо

ft—v—2

+ ^ T

kqktvm 12

X *

(* 2)^ - 2' vm

ft=v+2

252

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 2925 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги