книги / Проектирование и расчёт крепи капитальных выработок

Рис. 7.1. Очертание набрызгбетонной крепи в двух сечениях полевого штрека гор. 710 м

где Н — глубина заложения выработки; А, — коэффициент боко­ вого давления в ненарушенном массиве пород; у — вес единицы объема пород; а* — корректирующий множитель, вводимый для приближенного учета влияния отставания крепления от проведе­ ния выработки, неупругого деформирования пород и пр., опреде­ ляемый одним из способов, описанных в п. 6.4.

Некруговое в общем случае кольцо имеет неровности, аппрок­ симируемые гипотрохоидальной кривой, параметры которой — число неровностей п г и средняя амплитуда 6 отклонений от про­ ектного контура — могут задаваться на основе статистической об­ работки результатов натурных измерений или согласно [25], при-

ВНИИОМШСа, которым выполнены соответствующие измерения (для каждой выработки представлено по два сечения, обозначенные на рисунках а и б).

Число выступов и впадин (соответственно) /гвыст и я Впад, сред­ ние величины отклонений от проектного контура б и толщины набрызгбетона во впадинах А занесены в табл. 7.1.

Из табл. 7.1 видно, что в реальных выработках условие n xb< .R, как правило, удовлетворяется. Расчетная схема рассматриваемой контактной задачи приведена на рис. 7.4.

Кольцо, моделирующее крепь, материал которого имеет дефор­ мационные характеристики E 1 w v 1 (соответственно модуль дефор­ мации и коэффициент Пуассона), деформируется совместно с ок­ ружающей средой, моделирующей массив пород и имеющей харак­

непрерывности векторов напряжений и смещений. Внутренний контур кольца L x свободен от действия внешних сил.

Граничные условия поставленной задачи имеют вид:

и «к» обозначены факторы, относящиеся к среде (массиву) и кольцу (крепи).

причем, поскольку в крепи начальных напряжений нет, в условиях

Тогда граничные условия для отыскания дополнительных на­

в тех случаях, когда крепь является незамкнутой, тонкий слой породы, примыкающий к незакрепленной части поперечного се­ чения выработки при расчете наделяется свойствами набрызгбетона. Это, конечно, вносит погрешности в результаты расчета для случаев, когда набрызгбетонное покрытие наносится не на всю по­ верхность выработки, однако, учитывая малую толщину кольца, согласно принципу Сен-Венана, можно считать, что эти погреш­ ности относятся к сравнительно небольшим участкам крепи вблизи незакрепленной поверхности и не являются существенными на ос­ тальной части периметра поперечного сечения крепи.

Если вокруг выработки имеется слой пород, ослабленный бу­ ровзрывными работами, или слой пород, закрепленный анкерами, то приближенный учет наличия этих слоев (из-за отсутствия в на­ стоящее время решения контактной задачи для многослойного не­ кругового кольца) может быть осуществлен путем введения так на­ зываемого приведенного или эффективного модуля деформации массива [34], определяемого по формулам (6.8), (6.9). Может быть также приближенно учтено влияние ползучести пород на основе метода переменных модулей, как это предложено в работе [12] и описано в §6.1.

Для выполнения расчета крепи на действие равномерного дав­ ления подземных вод, имеющих высокий уровень над шелыгой свода крепи, используется решение плоской контактной задачи теории упругости, приведенной на рис. 7.4, при наличии на внешнем кон­ туре поперечного сечения скачка дополнительных нормальных на­ пряжений ар, равного давлению воды — р г (или остаточному на­ пору, если коэффициенты фильтрации набрызгбетона и пород со­ измеримы), при граничных условиях

Как будет показано далее, алгоритм расчета крепи на равно­ мерное давление подземных вод является частным случаем алго­ ритма расчета на действие собственного веса пород при значении А, = 1.

7 .2 . Решение контактной задачи

Пусть г = © (£) — рациональная функция, осуществляющая конформное отображение внешности окружности радиуса 1 на внешность области, занимаемой кольцом и средой таким обра­ зом чтобы единичная окружность Г перешла в линию контакта L.

Такое отображение получается в два этапа. Сначала опреде­ ляются коэффициенты рациональной функции

реализующей конформное отображение внешности единичной ок­ ружности на внешность внутреннего контура поперечного сечения

ществляет отображение внешности единичной окружности на внеш­ ность внутреннего проектного (гладкого) контура сечения крепи; для достижения достаточной в практических целях точности можно

Второй этап построения требуемого отображения состоит в пре­ образовании, при котором единичная окружность Г переходит во

внешний контур сечения L, а окружность радиуса /?х< 1 — во внутренний контур L v Для этого сначала определяется радиус

/?!> 1 окружности, которая при отображении (7.7) преобразуется во внешний контур поперечного сечения крепи. Если обозначить через 1г расстояние от начала координат до верхней точки внутрен­

В качестве R* берется единственный, больший единицы, дейст­ вительный корень уравнения (7.9). Затем осуществляется преобра­ зование, при котором окружность единичного радиуса Г в плоско­

сти переменного | переходит в окружность радиуса R\ в плоскости При этом окружности единичного радиуса будет соответствовать

внешний контур, а окружности радиуса R x ~ —!—< 1 — внутрен-

ний контур поперечного сечения крепи. Отображающая функция (7.7) принимает вид

В отображающей функции (7.11) отброшен член q0, влияющий лишь на положение начала координат.

Вследствие симметрии контуров относительно вертикальной оси Ох все коэффициенты отображающей функции вещественны.

Введем комплексные потенциалы (2), ф< (г) (i = 0, 1), регу­ лярные в соответствующих областях S0 (бесконечная область, ог­ раниченная контуром L) и S i (область, занимаемая кольцом, огра­ ниченная контурами L и Lx) и обращающиеся в нуль на бесконеч­ ности, связанные с компонентами напряжений известными форму­ лами Колосова—Мусхелишвили. Тогда поставленная задача тео­ рии упругости сводится к краевой задаче теории аналитических функций комплексного переменного при граничных условиях:

Фо (t)+t<?o (0 + фо (0 =

Таким образом, первое граничное условие (7.13) на контуре принимает вид

Записывая граничные условия (7.13) с учетом (7.19) в преобра­ зованной области и произведя над ними операцию комплексного сопряжения, имеем на Г

в общем виде при произвольном числе п членов ряда отображающей функции (7.11); кроме того, ввиду отличия граничных условий (7.20) — (7.22) от рассмотренных в [41 ], здесь система уравнений будет иметь другие свободные члены; изменяются также и формулы для напряжений.

Отметим, что примененный в настоящей работе путь решения задачи отличается от метода М. П. Шереметьева и основан на пред-

деления коэффициентов которых получены рекуррентные соотно­ шения, что позволяет избежать использования вычетов и упрощает как вывод, так и вычисления. Указанный новый путь решения за­ дачи применен также для модификации алгоритмов, ранее опубли-

где Р г (£), Qi(b) — функции, голоморфные внутри единичной ок­ ружности Г и, следовательно, разлагающиеся в ряды

a P 2 (£). Qz (£)—функции, голоморфные вне окружности радиуса Rlt включая бесконечно удаленную точку, выражаемые разложениями

В силу геометрической и силовой симметрии относительно оси коэффициенты разложения искомых функций в ряды (7.28), (7.30) и (7.31) вещественны.

тегрируем его с учетом представлений (7.28) — (7.31) по контуру единичной окружности дважды, считая точку £ последовательно расположенной вне и внутри Г.

Результаты интегрирования отдельных выражений, входящих в 7.24, полученные на основании использования свойств интегралов